【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件限时小练39　圆锥曲线相关结论的应用

限时小练39　圆锥曲线相关结论的应用

1.已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆离心率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　由kOM·kAB＝－，知M，

∴kAB＝－＝kFP＝－，即a2＝2bc，

∴a4＝4(a2－c2)·c2，∴e＝.

2.椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则＝________.

答案　

解析　法一　联立方程组可得

即(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，

则x0＝＝，

y0＝1－x0＝1－＝，

所以kOP＝＝＝.

法二　椭圆化为＋＝1与y＝－x＋1交于MN，则中点与原点的斜率为，∴－1×＝－，∴＝.

3.已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，求|AB|＋|DE|的最小值.

解　法一　抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，

由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.

不妨设直线l1的斜率为k，

l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，

由

消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝＝2＋，

由抛物线的定义可知，

|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋.

同理得|DE|＝4＋4k2，

∴|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16，

当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号，

故|AB|＋|DE|的最小值为16.

法二　运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，

因此|AB|＋|DE|＝＋

＝＋＝＝≥16.