湘教版（2019）选择性必修 第一册3.1 椭圆同步练习题

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册3.1 椭圆同步练习题，共4页。


1．椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1的离心率为( )．
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
解析 a2＝16，b2＝8，c2＝a2－b2＝8，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(2),4)＝eq \f(\r(2),2).
答案 D
2．若焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)，则m等于( )．
A.eq \r(3) B.eq \f(3,2)
C.eq \f(8,3) D.eq \f(2,3)
解析 ∵椭圆焦点在x轴上，
∴0故eq \f(2－m,2)＝eq \f(1,4)，∴m＝eq \f(3,2).
答案 B
3．若椭圆的两个焦点，短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )．
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(6),4)
解析 由题意，得eq \f(c,a)＝cs 60°＝eq \f(1,2)，故选A.
答案 A
4．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为eq \f(\r(3),2)，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析 由题意，得2a＝12，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，所以a＝6，c＝3eq \r(3)，b＝3，故椭圆G的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1.
答案 eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1
5．椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2两段，则椭圆的离心率是________．
解析 由题意知，eq \f(a＋c,a－c)＝eq \f(3,2)，整理得，eq \f(c,a)＝eq \f(1,5).
答案 eq \f(1,5)
6．如图，已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．
解 法一 由已知可设椭圆的方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，c2＝a2－b2，F1(－c，0)，因为PF1⊥F1A，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，b \r(1－\f(c2,a2))))，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a)))，
∵AB∥PO，∴kAB＝kOP，即－eq \f(b,a)＝－eq \f(b2,ac)，
∴b＝c，∴a2＝2c2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
法二 由法一知Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a)))，又△PF1O∽△BOA，
∴eq \f(PF1,BO)＝eq \f(F1O,OA)，∴eq \f(b,a)＝eq \f(c,a)，即b＝c，∴a2＝2c2，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
eq \a\vs4\al\c1(综合提高 （限时25分钟）)
7．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值
是( )．
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C．2 D．4
解析 由题意可得2 eq \r(\f(1,m))＝2×2，解得m＝eq \f(1,4).
答案 A
8．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是( )．
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1
B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1
D．椭圆的方程无法确定
解析 a＝5且c＝3，∴b＝4，
∴椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1.
答案 C
9．与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1具有相同的离心率且过点(2，－eq \r(3))的椭圆的标准方程是________________．
解析 所求椭圆的离心率为eq \f(1,2)，又e2＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，分情况设标准方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，然后把点代入，解方程组得eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1或eq \f(3y2,25)＋eq \f(4x2,25)＝1.
答案 eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1或eq \f(3,25)y2＋eq \f(4,25)x2＝1
10．已知椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的离心率为eq \f(1,2)，则m＝________．
解析 若m>4，则eq \f(m－4,m)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)，即4m－16＝m，m＝eq \f(16,3)；若m<4，则eq \f(4－m,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)，即16－4m＝4，m＝3.
答案 3或eq \f(16,3)
11．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
解 把已知方程化成标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1，于是a＝4，b＝3，c＝eq \r(16－9)＝eq \r(7)，∴椭圆的长轴和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)，两个焦点坐标分别是F1(－eq \r(7)，0)和F2(eq \r(7)，0)，四个顶点坐标分别是A1(－4，0)，A2(4，0)，B1(0，－3)和B2(0，3)．
12．(创新拓展)已知F1、F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若eq \(AF2,\s\up11(→))·eq \(F1F2,\s\up11(→))＝0，椭圆的离心率等于eq \f(\r(2),2)，△AOF2的面积为2eq \r(2)，求椭圆的方程．
解 如图所示，连接AF2.
∵eq \(AF2,\s\up11(→))·eq \(F1F2,\s\up11(→))＝0，∴AF2⊥F1F2，
因为椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，
则b2＝eq \f(1,2)a2，设A(x，y)(x>0，y>0)，
由AF2⊥F1F2知x＝c，
∴A(c，y)，代入椭圆方程得eq \f(c2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，
∴y＝eq \f(b2,a)，∵△AOF2的面积为2eq \r(2)，
∴S△AOF2＝eq \f(1,2)x×y＝2eq \r(2)，
即eq \f(1,2)c·eq \f(b2,a)＝2eq \r(2)，
∵eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，∴b2＝8，
∴a2＝2b2＝16，故椭圆的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.