高中数学3.1 椭圆练习

这是一份高中数学3.1 椭圆练习，共5页。


eq \a\vs4\al\c1(基础达标 限时20分钟)
1．已知曲线C的方程为x3＋x＋y－1＝0，则下列各点中在曲线C上的点
是( )．
A．(0,0) B．(－1,3)
C．(1,1) D．(－1,1)
解析 点P(x0，y0)在曲线f(x，y)上⇔f(x0，y0)＝0.
答案 B
2．给出下列曲线，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是( )．
①4x＋2y－1＝0；②x2＋y2＝3；③eq \f(x2,2)＋y2＝1；④eq \f(x2,2)－y2＝1.
A．①③ B．②④
C．①②③ D．②③④
解析 ∵y＝－2x－3可变形为4x＋2y＋6＝0，显然与直线4x＋2y－1＝0平行，故排除A、C，将y＝－2x－3代入③eq \f(x2,2)＋y2＝1，并整理得9x2＋24x＋16＝0，即(3x＋4)2＝0.解之得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(4,3)，,y＝－\f(1,3).))
答案 D
3．已知点A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程
是( )．
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析 由两点式，得直线AB的方程是eq \f(y－0,4－0)＝eq \f(x＋1,2＋1)，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝eq \r(2＋12＋42)＝5.设点C的坐标为(x，y)，则eq \f(1,2)×5×eq \f(|4x－3y＋4|,5)＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
答案 B
4．已知△ABC的顶点分别为A(－4，－3)，B(2，－1)，C(5,7)，则AB边上的中线的方程为________．
解析 因为AB中点的坐标为(－1，－2)，所以AB边上的中线方程为eq \f(y－7,－2－7)＝eq \f(x－5,－1－5)，即3x－2y－1＝0(－1≤x≤5)．
答案 3x－2y－1＝0(－1≤x≤5)
5．人造卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点离地面距离为p，远地点离地面距离为q，地球的半径为R.则卫星运行轨道的短轴长为________．
解析 由于近地点与远地点到地球中心的距离的和为2a，∴2a＝(p＋R)＋(q＋R)，
∴a＝R＋eq \f(p＋q,2)，c＝a－(p＋R)＝eq \f(q－p,2).
∴b＝eq \r(a2－c2)＝ eq \r(R＋\f(p＋q,2)2－\f(q－p,2)2)
＝eq \r(R2＋Rq＋p＋pq).
∴短轴长为2eq \r(R2＋Rq＋p＋pq).
答案 2eq \r(R2＋Rq＋p＋pq)
6．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线和椭圆有公共点时：
(1)求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程．
解 联立得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x2＋y2＝1，,y＝x＋m，))
消去y，整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.
(1)由Δ≥0，得20－16m2≥0，
解得－eq \f(\r(5),2)≤m≤eq \f(\r(5),2).
(2)由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(2m,5)，,x1x2＝\f(m2－1,5)，))
所以弦长L＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
＝ eq \r(2[\f(4m2,25)－\f(4m2－1,5)])＝eq \f(2,5)eq \r(10－8m2).
当m＝0时，L取得最大值eq \f(2\r(10),5).
此时直线的方程为y＝x.
eq \a\vs4\al\c1(综合提高 限时25分钟)
7．已知双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为( )．
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由xeq \\al(2,1)－eq \f(y\\al(2,1),3)＝1与xeq \\al(2,2)－eq \f(y\\al(2,2),3)＝1，得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(3x1＋x2,y1＋y2)＝6.
答案 D
8．如图，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行．之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2>a1c2；
④eq \f(c1,a1)其中正确式子的序号是( )．
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
解析 由题意知，a1>a2，c1>c2，∴①错误．
对于轨道Ⅰ有|PF|＝a1－c1；对于轨道Ⅱ有|PF|＝a2－c2，∴a1－c1＝a2－c2，∴②正确．
∵a1－c1＝a2－c2，a1>a2，
∴eq \f(a1－c1,a1)∴eq \f(c1,a1)>eq \f(c2,a2)，即c1a2>c2a1，∴③正确，④错误．
答案 B
9．(2011·福建高考)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率为________．
解析 设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，
若曲线为椭圆，则2c＝3t,2a＝|PF1|＋|PF2|＝6t，
e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
若曲线为双曲线，则2c＝3t,2a＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1|－|PF2))))＝2t，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2).
答案 eq \f(1,2)或eq \f(3,2)
10．直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有两个公共点，则k的取值范围为________．
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2－y2＝1))得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－k2≠0，,4k2＋81－k2>0，))
∴－eq \r(2)答案 －eq \r(2)11．有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍．已知A、B两地相距10千米，顾客购物的标准是总费用较低．求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地．
解 如图，以AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，则A(－5,0)、B(5,0)．
若在A地购货费用较低，则价格＋A地运费≤价格＋B地运费，设B地每千米的运费是a元，则3aeq \r(x＋52＋y2)≤aeq \r(x－52＋y2).
因为a>0，所以8x2＋8y2＋100x＋200≤0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,4)))2＋y2≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,4)))2.
所以以点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25,4)，0))为圆心，eq \f(15,4)为半径的圆C，是这两地购物区域的分界线．
即圆C内的居民从A地购物便宜，圆C外的居民从B地购物便宜，圆C上的居民从A、B两地购物总费用相等．
12．(创新拓展)为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8 km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图)．考察范围为到A，B两点的距离之和不超过10 km的区域．
(1)求考察区域边界曲线的方程；
(2)如图所示，设线段P1P2是冰川的部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2 km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？
解 (1)设边界曲线上点P的坐标为(x，y)，则由|PA|＋|PB|＝10知，点P在以A，B为焦点，长轴长为2a＝10的椭圆上，此时短半轴长b＝eq \r(52－42)＝3.
所以考察区域边界曲线(如图)的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)易知过点P1，P2的直线方程为4x－3y＋47＝0.因此点A到直线P1P2的距离为
d＝eq \f(|－16＋47|,\r(42＋－32))＝eq \f(31,5).
设经过n年，点A恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得eq \f(0.22n－1,2－1)＝eq \f(31,5).
解得n＝5，即经过5年，点A恰好在冰川界线上．