湘教版（2019）选择性必修 第一册3.1 椭圆同步练习题

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1．下列说法正确的是( )．
A．已知F1(－5，0)，F2(5，0)，到F1，F2两点的距离之和为8的点的轨迹是椭圆
B．已知F1(－5，0)，F2(5，0)，到F1，F2两点的距离之和为10的点的轨迹是椭圆
C．到F1(－5，0)，F2(5，0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆
D．到F1(－5，0)，F2(5，0)两点的距离之和等于点P(0，4)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
解析 根据椭圆的定义判断，应特别注意定义中2a＞|F1F2|条件的利用．A中|F1F2|＝10，而到F1，F2两点距离之和为8＜10，所以点的轨迹不存在，故A错．B中|F1F2|＝10，所以到F1，F2两点距离之和为10的点的轨迹是线段F1F2，故B错．C中点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故C错．D中点P到F1，F2的距离之和为eq \r(52＋42)＋eq \r(52＋42)＝2eq \r(41)＞|F1F2|＝10，所以点的轨迹是椭圆，故选D.
答案 D
2．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为( )．
A．2 B．3
C．5 D．7
解析 由椭圆的方程知a＝5，∴2a＝10.
根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a.
∵其中一段长为3，∴另一段长为7.
答案 D
3．椭圆3x2＋4y2＝12的两个焦点之间的距离为( )．
A．12 B．4
C．3 D．2
解析 方程可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，则c2＝a2－b2＝1，∴c＝1，
∴2c＝2.
答案 D
4．若方程eq \f(x2,25－m)＋eq \f(y2,16＋m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
解析 由题意16＋m＞25－m＞0，∴eq \f(9,2)＜m＜25.
答案 (eq \f(9,2)，25)
5．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，方程x2sin α＋y2cs α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．
解析 转化为椭圆的标准方程eq \f(x2,\f(1,sin α))＋eq \f(y2,\f(1,cs α))＝1，焦点在y轴上，则eq \f(1,cs α)>eq \f(1,sin α)，则sin α>cs α，eq \f(π,4) <α答案 eq \f(π,4)< α6．已知椭圆经过点(eq \f(\r(6),3)，eq \r(3))和点(eq \f(2\r(2),3)，1)，求椭圆的标准方程．
解 法一 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．
∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，\r(3)))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)，1))都在椭圆上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·（\f(\r(6),3)）2＋n·（\r(3)）2＝1，,m·（\f(2\r(2),3)）2＋n·12＝1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2m,3)＋3n＝1，,\f(8m,9)＋n＝1.))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝\f(1,9).))
∴所求椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,9)＝1.
法二 当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
∵点(eq \f(\r(6),3)，eq \r(3))和点(eq \f(2\r(2),3)，1)在椭圆上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(（\f(\r(6),3)）2,a2)＋\f(（\r(3)）2,b2)＝1，,\f(（\f(2\r(2),3)）2,a2)＋\f(12,b2)＝1.))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝1，,b2＝9，))而a＞b＞0，
∴a2＝1，b2＝9不合题意，即焦点在x轴上的椭圆的方程不存在．
当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
∵点(eq \f(\r(6),3)，eq \r(3))和点(eq \f(2\r(2),3)，1)在椭圆上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(（\r(3)）2,a2)＋\f(（\f(\r(6),3)）2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(（\f(2\r(2),3)）2,b2)＝1.))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝9，,b2＝1.))
∴所求椭圆的方程为eq \f(y2,9)＋x2＝1.
eq \a\vs4\al\c1(综合提高 （限时25分钟）)
7．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋eq \f(9,a)(a＞0)，则点P的轨迹是( )．
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
解析 |PF1|＋|PF2|＝a＋eq \f(9,a)≥6.∴轨迹为线段或椭圆．
答案 D
8．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )．
A．2 B．4
C．8 D.eq \f(3,2)
解析 如图，F2为椭圆的右焦点，连接MF2，则ON是△F1MF2的中位线，从而有|ON|＝eq \f(1,2)|MF2|.
又|MF1|＝2，根据椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，
∴|MF2|＝8，从而有|ON|＝4.
答案 B
9．若方程x2＋ky2＝5表示椭圆，则实数k的取值范围是__________．
解析 将椭圆的方程化为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,\f(5,k))＝1，
依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(5,k)>0，,\f(5,k)≠5，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k>0，,k≠1.))
故实数k的取值范围是(0，1)∪(1，＋∞)．
答案 (0，1)∪(1，＋∞)
10．若椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，1)，那么k的值__________．
解析 由已知得：x2＋eq \f(y2,\f(5,k))＝1，又焦点在y轴上，
∴1＝eq \f(5,k)－1，解得：k＝eq \f(5,2).
答案 eq \f(5,2)
11．已知周长为40的△ABC的顶点B、C在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，顶点A(6，0)是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边BC上，求椭圆的方程．
解 由椭圆的定义知：
40＝|AB|＋|BC|＋|CA|＝4a，
∴a＝10，而c＝6.
∴b2＝a2－c2＝64.
∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1.
12.
(创新拓展)如图，点P是椭圆eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1(a>b>0)上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
解 在椭圆eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1中，a＝eq \r(5)，b＝2.
∴c＝eq \r(a2－b2)＝1.又∵点P在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(5).①
由余弦定理知：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4.②
①式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，③
③－②，得(2＋eq \r(3))|PF1|·|PF2|＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－eq \r(3))，
∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin 30°＝8－4eq \r(3).