北师大版 (2019)必修 第二册第四章 三角恒等变换本章综合与测试达标测试

章末综合测评(三)　三角恒等变换

(满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数y＝＋的值域是(　　)

A．{0，2}　　　 B．{－2，0}

C．{－2，0，2}  D．{－2，2}

C　[y＝＋.

当x为第一象限角时，y＝2；

当x为第三象限角时，y＝－2；

当x为第二、四象限角时，y＝0.]

2．sin 80°cos 70°＋sin 10°sin 70°等于(　　)

A．－  B．－

C．     D．

C　[sin 80°cos 70°＋sin 10°sin 70°＝cos 10°cos 70°＋sin 10°sin 70°＝cos (70°－10°)＝cos 60°＝，故选C.]

3．已知α为第二象限角，sin α＝，则sin 的值等于(　　)

A．  B．

C．   D．

A　[∵sin α＝，α是第二象限角，∴cos α＝－，

则sin ＝sin αcos －cos αsin ＝×＋×＝.故选A.]

4．已知向量a＝，b＝(cos α，2)，且a∥b，则cos 2α＝(　　)

A．    B．－

C．－   D．

A　[向量a＝，b＝(cos α，2)，且a∥b，可得tan αcos α＝，

即sin α＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝，故选A.]

5．若将函数f(x)＝2sinx cos x－2sin2x＋1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　)

A．   B．

C．   D．

C　[将函数f(x)＝2sin x cos x－2sin2x＋1＝sin2x＋cos 2x＝sin 的图象向右平移φ个单位，可得y＝sin ＝sin 的图象．再根据所得图象关于y轴对称，可得－2φ＝kπ＋，k∈Z，故φ的最小正值是.]

6．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若它的终边经过点P(2，3)，则tan ＝(　　)

A．－   B．

C．      D．－

D　[依题意，角α的终边经过点P(2，3)，则tan α＝，tan 2α＝＝－，于是tan＝＝－.]

7．设奇函数f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)(ω>0)在x∈[－1，1]内有9个零点，则ω的取值范围为(　　)

A．[4π，5π)    B．[4π，5π]

C．     D．

A　[∵f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)＝2sin ，

∴φ－＝kπ(k∈Z)，∴2T≤1<T，∴2×≤1<×，∴4π≤ω<5π.故选A.]

8．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos (A＋B)，则C的值为(　　)

A．     B．

C．     D．

C　[∵m·n＝sin A cos B＋cos A sin B＝sin (A＋B)＝1＋cos (A＋B)，

∴sin (A＋B)－cos (A＋B)＝sin C＋cos C

＝2sin ＝1.

∴sin ＝，∴＋C＝或＋C＝(舍去)，∴C＝.]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．

9．化简下列各式，与tan α相等的是(　　)

A．

B．·

C．

D．

BC　[A不符合，＝＝＝；

B符合，因为α∈，·＝＝tan α；

C符合，＝＝tan α；

D不符合，＝＝.故选BC.]

10．已知函数f(x)＝cos ·，则下列区间中f(x)在其上单调递增的是(　　)

A．　 B．

C．   D．

AC　[f(x)＝cos ＝sin x＋＝sin ＋.

令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，可得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，

当k＝0时，函数f(x)在上单调递增，

又⊆，所以C满足题意；

当k＝1时，函数f(x)在上单调递增，所以A满足题意．]

11．已知f(x)＝sin 2，若a＝f(lg 5)，b＝f，则(　　)

A．a＋b＝0   B．a－b＝0　

C．a＋b＝1   D．a－b＝sin (2lg 5)

CD　[由余弦的二倍角公式化简可得

f(x)＝sin 2＝＝＝sin 2x＋，

∵a＝f(lg 5)，b＝f＝f(－lg 5)，

∴a＋b＝＋＝1，

a－b＝－＝sin (2lg 5)，故选CD.]

12．已知函数f＝cos 2x cos φ－sin 2x sin φ的图象的一个对称中心为，则下列说法正确的是(　　)

A．直线x＝π是函数f的图象的一条对称轴

B．函数f在上单调递减

C．函数f的图象向右平移个单位可得到y＝cos 2x的图象

D．函数f在上的最小值为－1

ABD　[∵f＝cos 2x cos φ－sin 2x sin φ＝cos 的图象的一个对称中心为，

∴cos ＝0，则＋φ＝＋kπ，∴φ＝＋kπ，k∈Z.

∵0＜φ＜，∴φ＝.则f＝cos .

∵f＝cos ＝cos π＝－1，

∴直线x＝π是函数f的图象的一条对称轴，故A正确；

当x∈时，2x＋∈，∴函数f在上单调递减，故B正确；

函数f的图象向右平移个单位，得到y＝cos ＝cos 的图象，故C错误；

当x∈时，2x＋∈，∴函数f在上的最小值为cos π＝－1，故D正确．故选ABD.]

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确的答案填在题中横线上．

13．cos 89°cos 1°＋sin 91°sin 181°＝________．

0　[cos 89°cos 1°＋sin 91°sin 181°＝cos 89°cos 1°－cos 1°sin 1°＝sin 1°cos 1°－cos 1°sin 1°＝0.]

14．设α为钝角，且3sin 2α＝cos α，则sin α＝________．

　[因为α为钝角，所以sin α>0，cos α<0，

由3sin 2α＝cos α，可得6sin αcos α＝cos α，所以sin α＝.]

15．已知β∈，满足tan (α＋β)＝，sin β＝，则tan α的值为________．

　[因为β∈，sin β＝，

所以cos β＝，所以tan β＝＝，

又因为tan (α＋β)＝，

所以tan α＝tan [(α＋β)－β]＝

＝＝.]

16．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．

　[f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin ，因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.]

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)已知0<α<，sin α＝.

(1)求tan α的值；(2)求cos 2α＋sin 的值．

[解]　(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝，

所以tan α＝.

(2)根据二倍角公式与诱导公式可得：cos 2α＋sin ＝1－2sin2α＋cosα＝1－＋＝.

18．(本小题满分12分)计算：(1)；

(2)tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°.

[解]　(1)

＝

＝

＝＝sin 30°＝.

(2)由tan (25°＋35°)＝＝，

可得tan 25°＋tan 35°＝(1－tan 25°tan 35°)，

即tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35°＝.

19．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.

(1)求sin θ和cos θ的值；

(2)若sin (θ－φ)＝，0<φ<，求cos φ的值．

[解]　(1)∵a与b互相垂直，则a·b＝sin θ－2cos θ＝0，

即sin θ＝2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1得sinθ＝±，cos θ＝±，

又θ∈，∴sin θ＝，cos θ＝.

(2)∵0<φ<，0<θ<，∴－<θ－φ<，则cos (θ－φ)＝＝，

∴cosφ＝cos [θ－(θ－φ)]＝cos θcos (θ－φ)＋sin θsin (θ－φ)＝.

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos －sin .

(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明；

(2)若θ为第一象限角，且f ＝，求cos 的值．

[解]　(1)结论：函数f(x)为定义在R上的偶函数．

证明：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，

f(x)＝cos －sin

＝cos ＝cos x，

所以f(－x)＝cos (－x)＝cos x，

所以f(－x)＝f(x).

因此，函数f(x)为定义在R上的偶函数．

(2)因为f ＝cos ＝，

所以cos ＝.

由于θ为第一象限角，故sin ＝.

所以cos ＝cos ＝sin ＝2sin cos ＝2××＝.

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos 4x.

(1)求f(x)的最小正周期及最大值；

(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．

[解]　 (1)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos 4x＝cos 2x sin 2x＋cos 4x

＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin ，

∴f(x)的最小正周期T＝，最大值为.

(2)由f(α)＝，得sin ＝1.

∵α∈，则<4α＋<，

所以4α＋＝π，故α＝π.

22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋2sinx cos x(x∈R).

(1)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若关于x的方程f(x)－t＝1在内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．

[解]　(1)f(x)＝2cos2x＋2sinx cos x

＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2＋1＝2sin ＋1.

令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).

因为x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为，.

(2)依题意，得2sin ＋1－t＝1，

所以t＝2sin ，即函数y＝t与y＝2sin 的图象在内有两个交点．

因为x∈，所以2x＋∈.

当2x＋∈时，sin ∈，

y＝2sin ∈[1，2]；当2x＋∈时，

sin ∈，y＝2sin ∈[－1，2].由函数y＝t与y＝2sin 的图象(图略)，

得1≤t<2，

所以实数t的取值范围是[1，2).