2022届新教材高中数学人教A版数系的扩充与复数的引入单元测试含答案12

2022届新教材人教A版  数系的扩充与复数的引入 单元测试

一、选择题

1、设复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2、在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

3、复数的虚部为（    ）．

A. B.1

C. D.

4、若，则（    ）

A. B. C. D.

5、若，则（    ）

A.-2 B.2 C. D.

6、关于复数，下列命题①若，则；②为实数的充要条件是；③若是纯虚数，则；④若，则.其中真命题的个数为（    ）

A.1 B.2

C.3 D.4

7、设为坐标原点，复数在复平面内对应的点分别为P、Q，则下列结论中不一定正确的是（    ）

A. B.

C. D.

8、已知虚数满足，则（    ）.

A．20 B．16 C．10 D．6

9、

已知为纯虚数，则实数的值为(    )

A．4    B．2    C．1    D．-2

10、若复数满足（是虚数单位），则的虚部为（    ）

A. B. C. D.

11、已知复数是纯虚数，则实数a＝（　　）

A．﹣2 B．6 C．﹣6 D．4

12、复数z满足，则

A． B．

C． D．

二、填空题

13、若复数满足（其中为虚数单位），则的模为__________.

14、已知复数满足，则___________.

15、若复数（为虚数单位）是方程（、均为实数）的一个根，则___

16、复数的共轭复数为_________．

三、解答题

17、（本小题满分10分）（1）计算：（i为虚数单位）；

（2）已知是一个复数，求解关于的方程，（i为虚数单位）.

18、（本小题满分12分）若复数所对应的点在第三象限，其中为虚数单位，为实数.

(1)求的取值范围.

(2)求的共轭复数的最值.

19、（本小题满分12分）关于的方程的两个根分别是、，且，求的值，并求方程的根.

参考答案

1、答案A

解析由题意，复数，

所以复数对应点为位于第一象限.

故选：A.

2、答案A

解析解：因为在复平面内，复数所对应的点的坐标为，

所以，所以

所以

故选：A

3、答案A

解析化简复数得到答案.

详解

虚部为-1

故答案选A

点睛

本题考查了复数的代数运算，考查计算能力，属于简单题型.

4、答案D

解析详解

由题意可得 ：，且：，

据此有：.

本题选择D选项.

5、答案C

解析根据共轭复数的性质可知，直接利用复数模的性质即可求解.

详解

因为

所以

，故选C.

点睛

本题主要考查了复数模的性质，共轭复数的性质，属于中档题.

6、答案C

解析对于①中，根据复数的模的计算公式，即可判定是正确的；对于②中，根据复数的概念与分类，即可判定是正确的；对于③中，根据复数的运算与复数的概念，即可判定是正确；对于④中，根据复数的运算和复数相等的条件，即可判定不正确．

详解

由题意，对于①中，因为，根据复数的模的计算公式，可得，即，所以是正确的；

对于②中，若复数为实数，根据复数的概念，可得，反之，当时，复数为实数，所以是正确的；

对于③中，，若是纯虚数，则且，所以正确；

对于④中，由，即，所以，所以，所以不正确；

综上①②③为真命题，故选C．

点睛

本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的运算，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的分类，以及复数的运算法则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

7、答案D

解析设出两个复数的代数式表达式,写出复数在复平面内对应的点分别为P、Q两点的坐标,运用平面向量运算的坐标表示公式、模的公式,结合复数的运算公式和复数模的计算公式对四个选项逐一判断即可.

详解

设,因此,

选项A: ,因为,

,所以本选项一定正确；

选项B: ,因为,

,所以本选项一定正确；

选项C:因为,,

所以本选项一定正确；

选项D:

,

,

,显然本选项不一定正确.

故选：D

点睛

本题考查了复数的加法、减法、乘法的运算法则,考查了复数模的计算公式,考查了平面向量的运算坐标表示以及平面向量模的计算公式.

8、答案D

解析利用立方差公式化简已知条件，根据为虚数，得到，由此求得.

详解：由于，所以，所以或.

由于为虚数，所以舍去，得.

所以.

故选：D

点睛

本小题主要考查复数运算，属于中档题.

9、答案B

解析因为为纯虚数，所以，即.故选B.

10、答案A

解析由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.

详解

因为,

所以,

所以复数的虚部为.

故选A.

点睛

本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.

11、答案B

解析本题考查复数的除法运算，以及对复数分类的实部、虚部讨论.

详解

已知复数为纯虚数，则实部为零虚部不为零。则，

故选:B.

点睛

复数的代数形式，为实部，为虚部.实部为零虚部不为零，则复数是纯虚数.

12、答案B

解析因为，所以,选B.

13、答案

解析在两边取模,计算可得到.

详解

因为,

所以,

所以,

所以,

故答案为:.

点睛

本题考查了复数的模的运算,属于基础题.

14、答案

解析因为，所以，

设，则，

故，，

联立，解得，，

则，

故答案为：.

15、答案

解析先由题意，得到，化简整理，再由复数相等，得到，根据复数模的计算公式，即可求出结果.

详解

因为复数（为虚数单位）是方程（、均为实数）的一个根，

所以，整理得：，

因此，解得.

所以.

故答案为：

点睛

本题主要考查求复数的模，熟记复数模的计算公式，以及复数相等的充要条件即可，属于常考题型.

16、答案

解析由共轭复数的定义可得结果.

详解：共轭复数为

故答案为：

点睛

本题考查了共轭复数的定义，考查了理解辨析能力，属于基础题目.

17、答案（1）8；（2）或

（2）设，建立等式，列方程组求解.

详解：（1）；

（2）设，，即，

，所以，解得或，

所以或.

故答案为：或

点睛

此题考查复数的运算，关键在于根据题意利用复数的运算法则，准确计算求解.

解析

18、答案（1）；（2）最小值为，无最大值

（2）根据共轭复数和模长运算得到，结合二次函数性质和的范围确定最值.

详解

（1）对应的点为，在第三象限，解得：

即的取值范围为

（2）

由（1）知当时，

为开区间无最大值，即无最大值

点睛

本题考查利用复数对应点的位置求解参数范围、复数模长最值的求解问题，涉及到二次函数最值的求解；易错点是忽略参数的范围限制，造成在求解二次函数最值时出现求解错误.

解析

19、答案当时，方程的根为，；当时，方程的根为，.

详解：对于二次方程，.

（1）当，即或时，由韦达定理得，.

又.

当时，即当或时，则，解得，

此时原方程为，该方程的两根分别为，；

当时，即当时，则，

整理得，解得（舍去）；

（2）当，即时，由韦达定理得，.

，解得，

此时，原方程为，解得，.

综上，当时，方程的根为，；当时，方程的根为，.

点睛

本题考查实系数一元二次方程的求解，考查了韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.

解析