2022届新教材高中数学人教A版数系的扩充与复数的引入单元测试含答案3

2022届新教材人教A版  数系的扩充与复数的引入      单元测试

一、选择题

1、设i为虚数单位，表示复数z的共轭复数，若，则（   ）

A. B.2 C. D.1

2、已知为虚数单位，若复数，且复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，则（  ）

A． B．

C． D．

3、已知复数满足：（其中为虚数单位），则复数的虚部等于(    )

A.  B.  C.  D.

4、复数，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于（  ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

5、已知是虚数单位，复数在复平面内对应的点为，则为（    ）

A. B. C. D.

6、已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（    ）

A． B．0 C．1 D．0或1

7、已知复数，则下列说法正确的是（  ）

A．复数的实部为3 B．复数的虚部为

C．复数的共轭复数为 D．复数的模为1

8、若为第二象限角．则复数 （为虚数单位）对应的点在（　　）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

9、已知复数，则在复平面上表示的点位于（     ）

A、第一象限   B、第二象限   C、第三象限   D、第四象限 

10、在复平面内，复数的共轭复数z对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第二象限 D.第四象限

11、复数满足，则复数的虚部是（    ）

A. B. C. D.

12、复数等于（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13、已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____

14、已知复数满足，则___________.

15、在复平面内，复数对应的点与原点的距离是________

16、设复数（其中为虚数单位），则复数的实部为______，模为______．

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知复数（，i为虚数单位），且为实数.

（1）求复数z；

（2）设复数（x，）满足，求的最小值.

18、（本小题满分12分）设是虚数，是实数，且.

（1）求的值及的取值范围；

（2）若为纯虚数，求.

19、（本小题满分12分）方程有实数根，求实数的值．

参考答案

1、答案A

解析先求得，然后利用复数减法、除法、乘法的运算，化简所求表达式.

详解

依题意，故，故选A.

点睛

本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数乘法、除法、减法运算，属于基础题.

2、答案B

解析先根据复数的对称关系求出，然后求出.

详解

因为复数，在复平面内对应的点关于实轴对称且，所以，所以，故选B.

点睛

本题主要考查复数的乘法，明确两个复数关于实轴对称的本质是求解关键.

3、答案C

解析∵由题意可知： ？
, ∴其虚部为.  故选C.

4、答案D

解析先对进行化简，再求的共轭复数及的共轭复数在复平面对应的点

详解

，则，在复平面内对应的点为，为第四象限

答案选D

点睛

本题考查复数除法运算，共轭复数的概念及复数与复平面的点的对应关系，难度不大，综合性强

5、答案D

解析根据对应点的坐标求得的表达式，利用除法运算化简求得的表达式.

详解

由题，得.

故选：D.

点睛

本小题主要考查复数的除法运算，考查复平面上点和复数的对应关系，属于基础题.

6、答案C

解析首先整理复数,分子和分母同乘以分母的共轭复数,把复数整理成的形式，根据复数是一个纯虚数,得到且,解出式子中的值,得到结果．

详解

解：因为复数

因为复数是纯虚数，

所以

所以

故选：C

点睛

本题考查复数的乘除运算,考查复数的概念,是一个基础题,复数的加减乘除运算是比较简单的问题．

7、答案C

解析，

所以的实部为，虚部为 ，

的共轭复数为，模为，

故选C.

8、答案B

解析根据复数对应复平面的点，然后判断对应三角函数的符号即可得到答案.

详解

解：因为为第二象限角．所以，即复数的实部为负数，虚部为正数，所以对应的点在第二象限．

故选：B．

点睛

本题主要考查复数对应的复平面的点的相关概念，难度较小.

9、答案B

解析

10、答案A

解析化简计算出，写出其共轭复数，即可选出答案。

详解

，所以，故选A.

点睛

本题考查复数运算，共轭复数及其坐标表示。属于基础题。

11、答案A

解析首先求出，可得，最后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，将复数化简成的形式，即可得到复数的虚部

详解

由于，所以

故复数的虚部是

故选：A

点睛

本题考查复数模的公式，复数代数形式的乘除法，复数的基本概念，若，其中为复数的实部，为虚部，属于基础题。

12、答案A

解析利用复数的除法运算可得正确的计算结果.

详解

，

故选A.

点睛

本题考查复数的除法运算，注意分母实数化时是分子、分母同时乘以分母的共轭复数.

13、答案

解析先把复数分母有理化，再根据z在第四象限和，可得关于x，y的不等式组，进而可得点P在平面上形成的区域面积。

详解

由题得，z在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：

则其面积.

点睛

本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性。

14、答案

解析因为，所以，

设，则，

故，，

联立，解得，，

则，

故答案为：.

15、答案

解析利用复数的除法运算进行化简，求得复数对应的点的坐标，进而求得该点和原点的距离.

详解

，对应的点坐标为，到原点的距离为.

故填：.

点睛

本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应的坐标，属于基础题.

16、答案2     

解析先将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后化简，进而根据实部的定义得到实部，根据模的计算公式求模.

详解：,

∴复数的实部为2，模为,

故答案为：2；.

点睛

本题考查复数的运算，复数的实部的概念和复数的模的计算，属基础题，关键在于利用共轭复数的运算将分母实数化，即利用复数除法法则进行化简.

17、答案（1）；（2）

 (2)设（x，）,由得，可得的关系，从而解出答案.

详解

解：（1）由（），

得，

为实数，

，.

（2）设（x，），，

，

，即，

，

即复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆.

的最小值为.

点睛

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

解析

18、答案（1）的取值范围为；（2）或.

（2）先设出复数，结合为纯虚数可求.

详解：（1）设，其中且，

，

因为是实数，所以，解得，所以；

因为，所以，即；

所以的取值范围为.

（2）由（1）知，

，

因为为纯虚数，所以且，，

联立可得或，

所以或.

点睛

本题主要考查复数的运算及相关概念，待定系数法是求解复数的常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.

解析

19、答案或1

详解：已知，由．

整理，得．

∴．

解方程组，得或1.

点睛

本题考查了复数相等，一元二次方程的根，考查了基本运算能力，属于基础题.

解析