2022届新教材高中数学人教A版数系的扩充与复数的引入单元测试含答案14

2022届新教材人教A版  数系的扩充与复数的引入  单元测试

一、选择题

1、复数满足（其中是虚数单位），则的虚部为（    ）

A.2 B.

C.3 D.

2、已知为虚数单位，若复数，且复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，则（  ）

A． B．

C． D．

3、复数的虚部为（    ）．

A. B.1

C. D.

4、设复数满足，则(   )

A. B.2 C. D.4

5、若复数满足,则(　　)

A. B. C. D.

6、若，则（    ）

A.-2 B.2 C. D.

7、已知复数，则下列说法正确的是（  ）

A．复数的实部为3 B．复数的虚部为

C．复数的共轭复数为 D．复数的模为1

8、二次方程的根的情况为（    ）.

A．有两个不相等的实数根 B．有两个虚根

C．两个共轭虚根 D．有一实根和一虚根

9、

若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值是（    ）

A．    B．或    C．或    D．

10、复数满足，则复数的虚部是（    ）

A. B. C. D.

11、已知为虚数单位，复数，则（    ）

A. B.2 C. D.

12、在复平面内,复数对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13、已经复数满足（i是虚数单位），则复数的模是________．

14、已知复数满足，则___________.

15、已知复数（）的模为，则的取值范围是________

16、已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数______.

三、解答题

17、（本小题满分10分）（1）已知复数满足，求．

（2）若均为实数，且，求证：中至少有一个大于0.

18、（本小题满分12分）已知复数，，且满足是实数，求实数及的值.

19、（本小题满分12分）设虚数z满足．

（1）计算的值；

（2）是否存在实数a，使？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

参考答案

1、答案B

解析利用复数计算公式化简得到答案.

详解

，虚部为

故选：B

点睛

本题考查了复数的计算，属于简单题型.

2、答案B

解析先根据复数的对称关系求出，然后求出.

详解

因为复数，在复平面内对应的点关于实轴对称且，所以，所以，故选B.

点睛

本题主要考查复数的乘法，明确两个复数关于实轴对称的本质是求解关键.

3、答案A

解析化简复数得到答案.

详解

虚部为-1

故答案选A

点睛

本题考查了复数的代数运算，考查计算能力，属于简单题型.

4、答案C

解析首先，并且化简，然后求，并且求.

详解

， ，

点睛

本题考查了复数的代数运算，以及模的求法，属于基础计算问题.

5、答案C

解析把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．

详解

解：由，得，

∴．

故选：C．

点睛

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

6、答案C

解析根据共轭复数的性质可知，直接利用复数模的性质即可求解.

详解

因为

所以

，故选C.

点睛

本题主要考查了复数模的性质，共轭复数的性质，属于中档题.

7、答案C

解析，

所以的实部为，虚部为 ，

的共轭复数为，模为，

故选C.

8、答案B

解析将表示成复数的形式代入，利用复数相等即可求解.

详解：设,代入方程，得

所以有两个虚根.

故选：B.

点睛

本题主要考查利用换元法求方程的根及复数相等的概念，属于基础题.

9、答案D

解析，又复数为纯虚数，

∴，解得：

故选：D

10、答案A

解析首先求出，可得，最后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，将复数化简成的形式，即可得到复数的虚部

详解

由于，所以

故复数的虚部是

故选：A

点睛

本题考查复数模的公式，复数代数形式的乘除法，复数的基本概念，若，其中为复数的实部，为虚部，属于基础题。

11、答案A

解析对复数进行化简计算，然后根据复数的模长公式，得到答案.

详解

复数，

∴，

故选：A．

点睛

本题考查复数的运算，求复数的模长，属于简单题.

12、答案D

解析根据复数除法运算求得，根据复数几何意义可得结果.

详解

    对应的点的坐标为：

本题正确选项：

点睛

本题考查复数的几何意义、复数的运算，属于基础题.

13、答案

解析详解

，

，故答案为.

14、答案

解析因为，所以，

设，则，

故，，

联立，解得，，

则，

故答案为：.

15、答案

解析根据复数的模,利用模长公式得:,设,根据直线与圆有交点,圆心到直线的距离小于等于半径列不等式可解得.

详解

因为复数（）的模为,

所以,

设,则直线与圆有交点,

所以,解得,所以,

即.

故答案为:

点睛

本题考查了复数的模长公式,直线与圆的位置关系,数形结合思想,属于基础题.

16、答案

解析利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．

详解：解：是纯虚数，

，解得．

故答案为：．

点睛

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．

17、答案（1）5（2）见解析

（2）运用反证法，结合配方法进行证明即可.

详解：（1）解：设（、），则

由题意得

即

解得即，

（2）证明：反证法，假设，，.由题设知：

因为，，，，

则，由假设知，与不符，

所以中至少有一个大于零.得证.

点睛

本题考查了复数的乘法、加减法的运算，考查了复数相等的定义，考查了反证法，考查了数学运算能力.

解析

18、答案，

详解：解：因为，，

所以，

因为是实数，

所以，即：

所以，，

所以，

点睛

本题考查复数的乘法运算，复数的相关概念，复数的模等知识，考查运算能力，是基础题.

解析

19、答案（1）（2）存在，

（2）对于此种题型可假设存在实数a使根据复数的运算法则设可得即再结合和（1）的结论即可求解．

详解：解：（1）设则

∵

∴

∴

∴

∴

∴

（2）设假设存在实数a使

则有

∴

∵

∴

由（1）知

∴

点睛

本题考查了复数的运算法则以及复数模的运算，属于中档题.

解析