高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置学案设计

2.5.2　圆与圆的位置关系

【学习目标】

【自主学习】

一．圆与圆的位置关系

二．圆与圆位置关系的判定

1.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．

一元二次方程

思考：将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？

【小试牛刀】

思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　　)

(2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(　　)

(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(　 　)

(4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(　 　)

【经典例题】

题型一  两圆的位置关系

点拨：判断两圆的位置关系的两种方法

1.几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.

2.代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.

例1 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：

(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．

【跟踪训练】1 已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为(　　)

A.1或3       B.4        C.0       D.2

题型二　两圆的公共弦问题

点拨：

1.求两圆公共弦长的方法

一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；

二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．

2.过两圆的交点的圆的方程

已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．

例2　已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.

(1)判断两圆的位置关系；

(2)求公共弦所在的直线方程；

(3)求公共弦的长度.

【跟踪训练】2 圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为________.

题型三 两圆相切

点拨：处理两圆相切问题的两个步骤

1.定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论．

2.转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．

例3 半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是(　　)

A．(x－4)2＋(y－6)2＝6

B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6

C．(x－4)2＋(y－6)2＝36

D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36

【跟踪训练】3 已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，求圆C的方程．

【当堂达标】

1.(多选)直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系可能是（    ）

A．相交 B．相切

C．相离 D．不能确定

2.已知两圆x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是(　　)

A.相离  B.相交  C.外切  D.内切

3．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的公切线条数是________．

4.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.

5.已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为________．

6.已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，当m为何值时，分别满足下列情况：

(1)圆C1与圆C2外切；

(2)圆C1与圆C2内含.　

【参考答案】

【自主学习】

一．2 3 1 4 0     2 1 0

二．d＞r1＋r2   d＝r1＋r2     |r1－r2|＜d＜r1＋r2   d＝|r1－r2|  0＜d＜|r1－r2|

思考：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线．

【小试牛刀】

(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

【经典例题】

例1 解：圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，

∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝＝a.

(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；

当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．

(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．

(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．(4)当|C1C2|＜3，即a＜3时，两圆内含.

【跟踪训练】1　D 解析：对两个圆的方程配方得圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1及圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝，则圆心距d＝|C1C2|＝＝，1－<<1＋，故两个圆相交，则这两个圆的公切线有2条.

例2 解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，则C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5，

圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝.

∴|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，|r1－r2|＝|5－|，

∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交.

(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.

(3)方法一由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3，

∴公共弦长为l＝2＝2＝2.

方法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组

解得或

∴|AB|＝＝2.即公共弦长为2.

【跟踪训练】2　 解析：由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.又圆C3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l的距离为d＝＝，

设圆C3的半径为r，由条件知，r2－d2＝－＝，所以弦长为2×＝.

例3 D 解析: 由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.

【跟踪训练】3 解：设圆C的半径为r，圆心距为d＝＝5，

当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，

当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，

∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.

【当堂达标】

1.AB 解析：根据直线与圆位置关系的确定，有一个公共点时相切，有两个公共点时相交．相离时无公共点．故选：AB．

2.C

3.3　解析：C1(1,2)，r1＝2；C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此两圆外切．所以公切线有3条．

4.1 解析: 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1。

5. 1 解析：O(0,0)，C(3,0)，两圆半径均为1，∵|OC|＝＝3，∴|PQ|的最小值为3－1－1＝1.

6.解: 易得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.

(1)如果圆C1与圆C2外切，则＝3＋2，

所以m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.

（2）如果圆C1与圆C2内含，则<3－2，

所以m2＋3m＋2<0，解得－2<m<－1.