数学必修 第一册2.2 基本不等式第2课时学案

这是一份数学必修 第一册2.2 基本不等式第2课时学案，共8页。


某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数eq \f(a＋b,2)作为项链的重量来计算．顾客对这个重量的真实性提出了质疑，那么这样计算的重量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？
知识点 用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值eq \f(S2,4).
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq \r(P).
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
x＋eq \f(1,x)的最小值是2吗？
[提示] 不一定．如当x<0时，x＋eq \f(1,x)<0.
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．
1.若x>0，则y＝x＋eq \f(4,x)的最小值为________．
4 [∵x>0，∴y＝x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝4.
当且仅当x＝eq \f(4,x)时等号成立．]
2.已知0eq \f(1,4) [∵0当且仅当x＝1－x，即x＝eq \f(1,2)时等号成立．]
类型1 利用基本不等式求最值
【例1】 (对接教材P45例题)(1)已知x(2)已知0[解] (1)∵x0，
∴y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵0∴1－2x>0，
∴y＝eq \f(1,4)×2x(1－2x)≤eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋1－2x,2)))2＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16).
∴当且仅当2x＝1－2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章3.2函数的基本性质求解．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．(1)已知x>0，求y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)的最小值；
(2)已知0[解] (1)∵y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)＝x＋eq \f(4,x)＋5≥2eq \r(4)＋5＝9，
当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时等号成立．
故y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)(x>0)的最小值为9.
(2)法一：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝eq \f(1,3)×3x(1－3x)
≤eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3x＋1－3x,2)))2＝eq \f(1,12).
当且仅当3x＝1－3x，即x＝eq \f(1,6)时，等号成立．
∴当x＝eq \f(1,6)时，y＝x(1－3x)取得最大值eq \f(1,12).
法二：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝3·xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－x))≤3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋\f(1,3)－x,2)))2
＝eq \f(1,12)，
当且仅当x＝eq \f(1,3)－x，即x＝eq \f(1,6)时，等号成立．
∴当x＝eq \f(1,6)时，y＝x(1－3x)取得最大值eq \f(1,12).
类型2 利用基本不等式求条件最值
【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1.求x＋2y的最小值．
[解] ∵x＞0，y＞0，eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，
∴x＋2y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝10＋eq \f(x,y)＋eq \f(16y,x)
≥10＋2eq \r(\f(x,y)·\f(16y,x))＝18，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)＝1，,\f(x,y)＝\f(16y,x)，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝3))时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
若把“eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)的最小值．
[解] ∵x>0，y>0，
∴eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))
＝8＋eq \f(16y,x)＋eq \f(x,y)＋2＝10＋eq \f(16y,x)＋eq \f(x,y)≥10＋2eq \r(16)＝18.
当且仅当eq \f(16y,x)＝eq \f(x,y)时取等号，
结合x＋2y＝1，得x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,6)，
∴当x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,6)时，eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)取到最小值18.
常数代换法求最值
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值．
[解] 法一：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))·1
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))·(a＋2b)
＝1＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)＋2＝3＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥3＋2eq \r(\f(2b,a)·\f(a,b))
＝3＋2eq \r(2)，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2b,a)＝\f(a,b)，,a＋2b＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)－1，,b＝1－\f(\r(2),2)))时等号成立．
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为3＋2eq \r(2).
法二：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋2b,a)＋eq \f(a＋2b,b)＝1＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)＋2
＝3＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥3＋2eq \r(2)，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2b,a)＝\f(a,b)，,a＋2b＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)－1，,b＝1－\f(\r(2),2)))时，等号成立，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为3＋2eq \r(2).
类型3 利用基本不等式解决实际问题
【例3】 (对接教材P46例题)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
引入每间虎笼的长和宽的参数x，y，建立等式2x＋3y＝18.由此思考每间虎笼面积xy最值的求法．
[解] 设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2eq \r(2x·3y)＝2eq \r(6xy)，
所以2eq \r(6xy)≤18，得xy≤eq \f(27,2)，
即Smax＝eq \f(27,2)，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4.5，,y＝3.))
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－eq \f(3,2)y.
∵x>0，∴0∵00.
∴S≤eq \f(3,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(6－y＋y,2)))2＝eq \f(27,2).
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
应用基本不等式解决实际问题的思路与方法
(1)理解题意，设出变量．
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题．
(3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值．
(4)根据实际背景写出答案．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
[解] 设隔墙的长度为x(x>0) m，总造价为y元，则隔墙造价为2x×248＝496x元，池底造价为200×80＝16 000元，
四周围墙造价为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2×\f(200,x)))×400＝800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(200,x)))元．
因此，总造价为y＝496x＋800eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(200,x)))＋16 000＝1 296x＋eq \f(160 000,x)＋16 000
≥2eq \r(1 296x·\f(160 000,x))＋16 000
＝28 800＋16 000
＝44 800.
当1 296x＝eq \f(160 000,x)，即x＝eq \f(100,9)时，等号成立．
这时，污水池的长为18 m.
故当污水池的长为18 m，宽为eq \f(100,9) m时，总造价最低，最低为44 800元．
1．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
B [∵a>0，b>0，∴a＋b≥2eq \r(ab)＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.]
2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )
A．1B．2eq \r(2)
C．2D．4
A [由基本不等式得，ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝1.
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝2，,a＝b，))即a＝b＝1时，等号成立．
∴ab的最大值为1.]
3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是( )
A．eq \f(7,2)B．4
C．eq \f(9,2)D．5
C [∵a＋b＝2，∴eq \f(a＋b,2)＝1.
∴eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))
＝eq \f(5,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,b)＋\f(b,2a)))≥eq \f(5,2)＋2eq \r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq \f(9,2)，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2a,b)＝\f(b,2a)，,a＋b＝2，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,3)，,b＝\f(4,3)))时，等号成立．
故y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为eq \f(9,2).]
4．若x>0，则x＋eq \f(2,x)的最小值是________．
2eq \r(2) [x＋eq \f(2,x)≥2eq \r(x·\f(2,x))＝2eq \r(2)，当且仅当x＝eq \r(2)时，等号成立．]
5．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
5 8 [由题意可知，平均利润eq \f(y,x)＝－x－eq \f(25,x)＋18＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))＋18≤－2eq \r(x·\f(25,x))＋18＝8.
当且仅当x＝eq \f(25,x)，即x＝5时，年平均利润最大，为8万元．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．利用基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)求最值时，必须满足哪三个条件？
[提示] 一正、二定、三相等．
2．应用基本不等式求最值的依据是什么？
[提示] a＋b≥2eq \r(ab)和ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，即“和定积最大，积定和最小”．
3．利用基本不等式求最值的常用方法有哪些？
[提示] 直接法、配凑法、常数代换法等．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)
2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点)
1．通过基本不等式求最值，提升数学运算素养．
2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.