人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时导学案，共16页。

2．会用基本不等式求解实际应用题．(数学建模)
某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的质量a和b，然后就把两次称得的质量的算术平均数a+b2作为项链的质量来计算．顾客对这个质量的真实性提出了质疑，那么这样计算的质量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？
知识点 用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值S24．
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2P．
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
在应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．
两个正数的积为定值，一定可以用基本不等式求它们的和的最小值吗？
[提示] 不一定．如y＝x＋1x(x>1)，若用基本不等式求最小值，则需要满足条件：x＝1x，即x＝1，但此式不成立，所以不能用基本不等式求最小值．
1．若x>0，则y＝x＋4x的最小值为________．
4 [∵x>0，
∴y＝x＋4x≥2x·4x＝4，
当且仅当x＝4x时等号成立．]
2．已知014 [∵0∴x(1－x)≤x+1-x22＝14，
当且仅当x＝1－x，即x＝12时等号成立．]
类型1 利用基本不等式求最值
【例1】 (1)已知x<54，求y＝4x－2＋14x-5的最大值；
(2)已知0[解] (1)∵x<54，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋14x-5＝－5-4x+15-4x＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝15-4x，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1．
(2)法一：∵00．
∴y＝x(1－3x)＝13×3x(1－3x)≤133x+1-3x22＝112，
当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立．
∴当x＝16时，y＝x(1－3x)取得最大值112．
法二：∵00．
∴y＝x(1－3x)＝3·x13-x≤3·x+13-x22＝112，
当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立．
∴当x＝16时，y＝x(1－3x)取得最大值112．
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
提醒：注意应用“拆”“拼”“凑”等技巧的目的是使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
[跟进训练]
1．(1)已知x>0，求y＝x2+5x+4x的最小值；
(2)(源于湘教版教材) 求函数y＝x1-x(0[解] (1)∵y＝x2+5x+4x＝x＋4x＋5≥24＋5＝9，
当且仅当x＝4x，即x＝2时等号成立．
故y＝x2+5x+4x(x>0)的最小值为9．
(2)因为00，1－x>0，
所以x1-x≤x+1-x2＝12，
当且仅当x＝1－x，即x＝12时等号成立．
故函数y＝x1-x(0 类型2 利用基本不等式求条件最值
【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1．求x＋2y的最小值．
[解] ∵x＞0，y＞0，8x＋1y＝1，
∴x＋2y＝8x+1y(x＋2y)＝10＋xy＋16yx≥10＋2xy·16yx＝18，
当且仅当8x+1y=1，xy=16yx，
即x=12，y=3 时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18．
[母题探究]
若把“8x＋1y＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求8x＋1y的最小值．
[解] ∵x>0，y>0，
∴8x＋1y＝(x＋2y)8x+1y＝8＋16yx＋xy＋2＝10＋16yx＋xy≥10＋216＝18，
当且仅当16yx＝xy时取等号，结合x＋2y＝1，得x＝23，y＝16，
∴当x＝23，y＝16时，8x＋1y取到最小值18．
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．
(2)把确定的定值(常数)变形为1．
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用基本不等式求解最值．
提醒：常值代换法适用于变量x，y是正实数，整式ax＋by与分式mx＋ny一个值已知求另外一个的最(大)小值问题．
[跟进训练]
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1a＋1b的最小值．
[解] ∵a＞0，b＞0，且a＋2b＝1．
∴1a＋1b＝1a+1b·1＝1a+1b·(a＋2b)＝1＋2ba＋ab＋2＝3＋2ba＋ab≥3＋22ba·ab＝3＋22，
当且仅当2ba=ab， a+2b=1，即a=2-1，b=1-22 时等号成立．
∴1a＋1b的最小值为3＋22．
类型3 利用基本不等式解决实际问题
【例3】 (源自北师大版教材)如图，动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(接头处不计)
(1)现有可围36 m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
(2)若使每间禽舍面积为24 m2，则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？
思路导引：引入每间禽舍的长和宽的参数x，y 数学建模 建立x，y的数量关系
数学运算 相应最值的求法
[解] (1)设每间禽舍的长为x m，宽为y m，则4x＋6y＝36，
即2x＋3y＝18．
设S＝xy(0有2x＋3y≥22x·3y，即26·S≤18．
所以S≤13.5．
当且仅当2x＝3y时，不等式中的等号成立，
此时2x=3y， 2x+3y=18，解得x=4.5，y=3．
因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为4.5 m和3 m时，可使每间禽舍面积最大，最大面积为13.5 m2．
(2)由(1)及题设条件知S＝xy＝24，设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y．
∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x=3y，xy=24 解得x=6，y=4．故每间禽舍长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
应用基本不等式解决实际问题的思路与方法
(1)理解题意，设出变量．
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题．
(3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值．
(4)根据实际背景写出答案．
[跟进训练]
3．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价．
[解] 设该长方体容器底面的长和宽分别为a m，b m，成本为y元，
由于长方体容器的容积为4 m3，高为1 m，
所以底面面积S＝ab＝4，y＝20S＋10[2(a＋b)]＝20(a＋b)＋80，
由基本不等式可得y＝20(a＋b)＋80≥20×2ab＋80＝160(元)，
当且仅当a＝b＝2时，等号成立，
因此，该容器的最低总造价为160元．
1．(2022·北京师大附中月考)已知正数x，y满足xy＝4，则x＋y( )
A．有最大值4B．有最小值4
C．有最大值2D．有最小值2
B [∵x>0，y>0，∴x＋y≥2xy＝4, 当且仅当x＝y＝2时取得等号，即x＋y有最小值4．故选B．]
2．(2022·河北沧州月考)已知x>0，y>0，且满足x＋6y＝6，则xy有( )
A．最大值32 B．最小值32
C．最大值1D．最小值1
A [xy＝x·6y6≤16x+6y22＝16×9＝32，当且仅当x+6y=6x=6y ，即x=3y=12时等号成立．
故选A．]
3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是( )
A．72 B．4 C．92 D．5
C [∵a＋b＝2，∴a+b2＝1．又∵a＞0，b＞0，
∴1a＋4b＝1a+4ba+b2＝52＋2ab+b2a≥52＋22ab·b2a＝92，
当且仅当2ab=b2a， a+b=2，即a=23，b=43 时，等号成立．
故y＝1a＋4b的最小值为92．故选C．]
4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
5 8 [由题意可知，年平均利润yx＝－x－25x＋18＝－x+25x＋18≤－2x·25x＋18＝8．
当且仅当x＝25x，即x＝5时，年平均利润最大，为8万元．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．利用基本不等式ab≤a+b2求最值时，必须满足哪三个条件？
[提示] 一正、二定、三相等．
2．应用基本不等式求最值的依据是什么？
[提示] a＋b≥2ab和ab≤a+b22，即“和定积最大，积定和最小”．
3．利用基本不等式求最值的常用方法有哪些？
[提示] 直接法、配凑法、常数代换法等．
课时分层作业(十三) 基本不等式的应用
一、选择题
1．(2022·湖南长沙市明德中学月考)当x>0时，函数y＝x＋3x+1的最小值为( )
A．23－1B．23
C．23＋1D．4
A [∵x>0，∴x＋1>0，
∴y＝x＋3x+1＝x＋1＋3x+1－1≥2x+1·3x+1－1＝23－1，当且仅当x＋1＝3x+1，即x＝3－1时等号成立．
∴函数y＝x＋3x+1的最小值为23－1．故选A．]
2．设x＞0，则y＝3－3x－1x的最大值是( )
A．3 B．－32 C．3－23 D．－1
C [∵x＞0，∴y＝3－3x+1x≤3－23x·1x＝3－23．当且仅当3x＝1x，且x＞0，即x＝33时，等号成立．]
3．y＝x3-2x的最大值为( )
A．1 B．2 C．322 D．324
D [由x(3－2x)≥0得0≤x≤32，
∴y＝x3-2x＝12×2x3-2x≤12×2x+3-2x22＝324
当且仅当2x=3-2x，即x=34时取等号，
∴y＝x3-2x的最大值为324．
故选D．]
4．(2022·江苏省新海高级中学月考)若a，b都是正数，且a＋b＝2，则4a+1＋1b的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
B [∵a＋b＝2，∴(a＋1)＋b＝3，
由 a，b都是正数，则a＋1>0，b>0，
∴4a+1＋1b＝13×4a+1+1b·[(a＋1)＋b]＝13×5+4ba+1+a+1b≥13×(5＋4)＝3，
当且仅当4ba+1＝a+1b，即a＝b＝1时等号成立．]
5．(多选)(2022·浙江省拔尖生月考)下列判断正确的有( )
A．x＋1x≥2(x>0)B．x＋16x+2≥6(x>0)
C．4x2＋9x2>12(x≠0)D．x2+3x2+2>2(x∈R)
ABD [选项A中，x>0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，故A正确；选项B中，x>0时，x＋2>2，故x＋16x+2＝x＋2＋16x+2－2≥216－2＝6，当且仅当x＝2时取等号，故B正确；选项C中，x≠0时x2>0，则4x2＋9x2≥24x2×9x2＝12，当且仅当4x2＝9x2时，即x2＝32时取等号，故C错误；选项D中，x∈R时x2+2≥2，则x2+3x2+2＝x2+2+1x2+2＝x2+2＋1x2+2≥2，当且仅当x2+2＝1时取等号，因x2+2≥2，故等号取不到，但x2+3x2+2>2(x∈R)是正确的，故D正确．故选ABD．]
二、填空题
6．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________．
32 [由题意，矩形中长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋128a≥22×128＝32，当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32．]
7．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L-1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝20tt2+4，则经过________h 后池水中该药品的浓度达到最大．
2 [由C＝20tt2+4＝20t+4t≤204＝5，当且仅当t＝4t，即t＝2时等号成立．]
8．已知x>0，y>0，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________．
3 2 [∵x＞0，y＞0且x3＋y4＝1，
∴1＝x3＋y4≥2xy12，
∴xy≤3，
当且仅当x3＝y4＝12，即x＝32，y＝2时等号成立．]
三、解答题
9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
[解] (1)由2x＋8y－xy＝0，
得8x＋2y＝1，
又x>0，y>0，
则1＝8x＋2y≥28x·2y＝8xy，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64．
(2)由2x＋8y－xy＝0，
得8x＋2y＝1，∵x＞0，y＞0，
则x＋y＝8x+2y·(x＋y)＝10＋2xy＋8yx≥10＋22xy·8yx＝18．
当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18．
10．(2022·安徽省舒城中学月考)若对任意正数x，不等式2xx2+4≤2a＋1恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．{a|a≥0}B．aa≥-14
C．aa≥14D．aa≥12
B [依题意得，当x>0时，2a＋1≥2x+4x恒成立，
又因为x＋4x≥4，当且仅当x＝2时取等号，
所以，2x+4x的最大值为12，所以2a＋1≥12，解得a≥－14，所以a的取值范围为aa≥-14．故选B．]
11．若－4A．有最小值1B．有最大值1
C．有最小值－1D．有最大值－1
D [y＝x2-2x+22x-2＝12x-1+1x-1，
又∵－40．
故y＝－12-x-1+1-x-1≤－1．
当且仅当x－1＝1x-1，即x＝0时等号成立．故选D．]
12．(2022·天津市汇文中学月考)已知x>y>z，若1x-y＋4y-z≥nx-z恒成立，则n的最大值为( )
A．3 B．4 C．9 D．16
C [因为x>y>z，所以x－y>0，x－z>0，y－z>0，
原不等式变为n≤1x-y+4y-z(x－z)，
而1x-y+4y-z(x－z)＝1x-y+4y-z(x－y＋y－z)＝5＋y-zx-y＋4x-yy-z≥9，当且仅当y-zx-y＝4x-yy-z，即2x－3y＋z＝0时等号成立．所以1x-y+4y-z(x－z)的最小值是9，
n≤9，从而n的最大值是9．
故选C．]
13．(2022·上海市大同中学月考)已知正数a，b满足ab＋2a－2＝0，则4a＋b的最小值是________．
42－2 [∵ab＋2a－2＝0，∴a＝2b+2，
则4a＋b＝8b+2＋b＋2－2≥42－2，当且仅当b＝22－2时等号成立．]
14．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，求四周空白部分面积的最小值．
[解] 设阴影部分的高为x dm，则宽为72x dm，四周空白部分的面积是y dm2．
由题意，得y＝(x＋4)72x+2－72
＝8＋2x+144x≥8＋2×2x·144x＝56．
当且仅当x＝144x，即x＝12 dm时等号成立．
所以四周空白部分面积的最小值为56 dm2．
15．我们学习了二元基本不等式：设a>0，b>0，a+b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值．
(1)对于三元基本不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，a+b+c3≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)．
(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明：
设a>0，b>0，c>0，求证：(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值：
设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)·(1－c)的最大值．
[解] (1)对于三元基本不等式猜想：设a>0，b>0，c>0，a+b+c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
即横线处应填：3abc．
(2)因为a>0，b>0，c>0，
且a＋b＋c≥33abc>0，a2＋b2＋c2≥33a2b2c2>0，
所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥93a3b3c3＝9abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)因为a>0，b>0，c>0，a+b+c3≥3abc，
所以abc≤a+b+c33，
又因为a＋b＋c＝1，
0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1，
所以(1－a)(1－b)(1－c)≤1-a+1-b+1-c33＝827，
当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．
所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为827．