高中人教A版 (2019)2.2 基本不等式第2课时学案设计

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课时学习素养目标：1.能够对式子进行变形，构造定值2.熟练掌握基本不等式及变形的应用.（数据分析）；3.能运用基本不等式求代数式的最值（数学运算）
【导】一、两个重要结论
已知x、y都是正数，
1.若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值_____．
2.若和 x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_____．
二、运用基本不等式求最值的三个条件：
1.“一正”：x，y必须是 ；
2.“二定”：求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为 ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为 .
3.“三相等”：当且仅当x=y时，等号成立。
如果题目中基本不等式不能满足“一正”、“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值。需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法；配系数法；分式型基本不等式；常值代换法“1”的代换。
思：探究一 利用基本不等式求最值
基本不等式的变形：
（1）ab≤a+b22 ,a ,b 都是正数,当且仅当a=b 时，等号成立.
（2）a+b≥2ab ,a ,b 都是正数，当且仅当a=b 时，等号成立.
（1）已知x>0 ，求x+1x 的最小值
若x<0，求x+1x 的最大值
迁移应用1.已知x<0，求最大值。
思路点拨：利用基本不等式求最值要满足“一正”、“二定”、“三相等”，现在x<0，，通过变形再利用基本不等式求最值。
探究二 变形构造定值—配项法
例2. 当x>1时，求函数y＝x＋eq \f(1,x－1)最小值。
迁移应用2.已知已知x>1 ，求y=4x+1+1x−1 的最小值；
解题感悟：以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形．一般地，形如f(x) ＝ax＋b＋eq \f(e,cx＋d)的函数求最值时可以考虑配凑法．
探究三 变形构造定值—配系数法
例3. 已知0迁移应用3.已知0＜x＜125，求y＝x(12－5x)的最大值
点拨：求积的最大值时，通过因式中的系数变形，使两个因式的和为定值。变形的过程中要保证恒等变形。
探究四 变形构造定值—分式型基本不等式
例4. 已知x>0，则函数的最小值为_______.
迁移应用4.（1）函数f(x)=x2−4x+5x−2(x⩾52)有( )
A. 最大值52B. 最小值52C. 最大值2D. 最小值2
（2）已知x＞0，求y＝eq \f(2x,x2＋1)的最大值．
解题感悟：分式型基本不等式有两种形式
当分子次数高于分母次数时，将分母当成整体，将分子改写成含有分母整体的形式，便可构造出积为定值的形式，利用基本不等式求解。
当分子次数低于分母次数时，分子分母同时除以分子，将分子化为常数，分母利用基本不等式求解。
探究五 变形构造定值—常值代换法“1”的代换
例5. 已知a>0 ，b>0 ，1a+1b=1 ，则a+b 的最小值为( )
A. 14 B. 12 C. 2 D. 4
迁移应用5. 已知a，b均为正实数，且2a+3b=4，则3a+2b的最小值为( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
解题感悟：利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知ax＋by为定值，求eq \f(c,x)＋eq \f(d,y)的最值”或“已知eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)为定值，求cx＋dy的最值” (其中a，b，c，d均为常参数)时可用常值代换处理。应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
【检】
1. 已知x>0 ，y>0 ，且2x+y=2 ，则xy 的最大值是( )
A. 14 B. 12 C.4 D.8
2. 已知0已知x>0，y>0，且2x+8y=xy，求x+y的最小值。