高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时导学案，共4页。学案主要包含了基本不等式的定义，利用基本不等式求最值，利用基本不等式证明不等式等内容，欢迎下载使用。

课时学习素养目标：1.理解基本不等式ab≤a+b2 （a>0 ,b>0 ,当且仅当a=b 时,等号成立）.2.能利用基本不等式求最值，培养数学运算的核心素养.3.能利用基本不等式解决实际问题，培养数学建模的核心素养.
导 2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图所示，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能得出什么样的结论？
思：新知一 基本不等式的定义
∀a ，b∈ ，有a2+b2≥2ab ，当且仅当 时，等号成立.
特别地，如果a>0 ，b>0 ，我们用a ，b 分别代替上式中的a ，b ，可得 ，当且仅当 时，等号成立.
通常称ab≤a+b2 为基本不等式。其中，a+b2 叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
自主思考1. 基本不等式怎样证明？
探究：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．你能利用这个图形得出基本不等式ab≤a+b2的几何解释吗？
提示： (1)a+b2表示哪个线段？ (2)ab对应哪个线段呢？（3）半径与CD的大小关系如何？
议：探究点一 对基本不等式的理解
（1）已知 a，b>0 ，则下列不等式一定成立的是( )
A. a+b2≤ab B. (a−b)2>1 C. a+b≥2ab D. a+b≥2ab
（2）不等式a2+1≥2a 中等号成立的条件是( )
A. a=1 B. a=−1 C. a=0 D. a=±1
探究点二 利用基本不等式求最值
已知x>0 ，求x+1x 的最小值
已知x ,y 都是正数，求证：
（1）如果积xy 等于定值P ,那么当x=y 时,和x+y 有最小值2P.
（2）如果和x+y 等于定值S ,那么当x=y 时,积xy 有最大值 14S2
新知二 两个重要结论
已知x，y 都是正数，
（1）如果积xy 等于定值P，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 .
（2）如果和x+y 等于定值S，那么当x=y 时，积xy 有最大值 .
和定积最大，积定和最小
自主思考2. 当a>0 时，你能求出a+4a 的最小值吗？
解题感悟 基本不等式求最值的三个条件：
1.一正：符合基本不等式a+b2≥ab 成立的前提条件为a>0 ,b>0 .
2.二定：不等式的一边转换为定值.
3.三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.以上三点缺一不可.
迁移应用1. （1） 若x>0，求y=3x+12x的最小值；
（2）已知−1≤x≤1，求1−x2的最大值
（3）已知正实数a，b满足a+b=ab，则ab的最小值为（ ）
A.1 B. 2 C. 2 D.4
探究点三 利用基本不等式证明不等式
已知a ,b ,c 都是正数，求证：a+b+c≥ab+bc+ca ；
解题感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
（1）策略：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所证明的问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
（2）注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明问题可重新组合，创设使用基本不等式的条件再使用.
迁移应用2. 已知x,y,z都是正数，求证：(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz .
【检】
1. 已知a>0 ,b>0 ,且ab=2 ,那么a+b 的最小值是( )
A.4 B. 2 C. 22 D. 1
2. 不等式(x−2y)+1x−2y≥2成立的前提条件为
3. 若a>0 ，b>0 ，则1a+1b 4a+b （填“＞”“＜”“≥”或“≤”）.
4. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a 、b 、c ，则三角形的面积S 可由公式S=pp−ap−bp−c 求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=8 ，b+c=10 ，则此三角形面积的最大值为 .