人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时学案，共5页。


授课提示：对应学生用书第20页
[教材提炼]
知识点 基本不等式
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
(1)对∀a、b∈R.a2＋b2与2ab的大小如何？
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.可得到CD＝eq \r(ab)，eq \f(1,2)AB＝eq \f(a＋b,2)，由CD小于或等于圆的半径，可得出什么样的不等关系？

知识梳理 (1)∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)如果a＞0，b＞0，我们用eq \r(a)，eq \r(b)分别代替上式中的a，b，可得eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，①当且仅当a＝b时，等号成立．
通常称不等式①为基本不等式(basic inequality)．其中，eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab) 叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
[自主检测]
1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2＞2|ab|
答案：A
2．若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2eq \r(ab)
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＞eq \f(2,\r(ab)) D.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
答案：D
3．若x＞0，y＞0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.eq \f(1,x＋y)＞eq \f(1,4) B.eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)≥1
C.eq \r(xy)≥2 D.eq \f(1,xy)≥1
答案：B
授课提示：对应学生用书第21页
探究一 用基本不等式判断不等式的成立
[例1] 有下列式子：①a2＋1＞2a；②eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))≥2；③eq \f(a＋b,\r(ab))≥2；④x2＋eq \f(1,x2＋1)≥1，其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a，
故①不正确；对于②，当x＞0时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x＋eq \f(1,x)≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x＜0时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝－x－eq \f(1,x)≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，∴②正确；对于③，若a＝b＝－1，则eq \f(a＋b,\r(ab))＝－2＜2，故③不正确；对于④，x2＋eq \f(1,x2＋1)＝x2＋1＋eq \f(1,x2＋1)－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故④正确．∴选C.
[答案] C
利用基本不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a＞0，b＞0.
设M＝a＋eq \f(1,a－2)(2＜a＜3)，N＝x(4eq \r(3)－3x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(4\r(3),3)))，则M，N的大小关系为( )
A．M＞N B．M＜N
C．M≥N D．M≤N
解析：M＝a＋eq \f(1,a－2)＝a－2＋eq \f(1,a－2)＋2＞4，
N＝x(4eq \r(3)－3x)＝eq \f(1,3)×3x(4eq \r(3)－3x)≤eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x＋4\r(3)－3x,2)))2＝4.
∴M＞N.
答案：A
探究二 用基本不等式证明不等式
[例2] [教材P44由公式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的证明过程探究]
(1)证明不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
[证明] ∵a2＋b2≥2ab
b2＋c2≥2bc
c2＋a2≥2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取等号)
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
(2)已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)≥a＋b＋c.
[证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq \f(bc,a)＞0，eq \f(ac,b)＞0，eq \f(ab,c)＞0.
则eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)≥2eq \r(\f(abc2,ab))＝2c，eq \f(bc,a)＋eq \f(ab,c)≥2b，eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)≥2a.
由不等式的性质知，2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,a)＋\f(ac,b)＋\f(ab,c)))≥2(a＋b＋c)，
∴eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)≥a＋b＋c.
利用基本不等式证明不等式的注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件；
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用．
授课提示：对应学生用书第21页
一、千变万化，不离其宗eq \x(►逻辑推理)
基本不等式的几种常见变形及结论
(1)a＋b≥2eq \r(ab)(a＞0，b＞0)；
(2)ab≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)；
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，(a，b∈R)；
(4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(ab＞0)；
(5)a＋eq \f(k,a)≥2eq \r(k)(a＞0，k＞0)；
(6)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a，b都是正实数)．
[典例] 已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，求证：eq \r(ab)＋eq \r(ac)＋eq \r(bc)≤1.
[证明] ∵eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，eq \r(bc)≤eq \f(b＋c,2)，eq \r(ac)≤eq \f(a＋c,2)，
∴eq \r(ab)＋eq \r(ac)＋eq \r(bc)≤eq \f(2a＋b＋c,2)＝1.
故原不等式成立．
二、忽视基本不等式的条件eq \x(►逻辑推理)
[典例] 设y＝x＋eq \f(1,x)，求y的取值范围．
[解析] 当x＞0时，y＝x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2.
当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取“＝”．
当x＜0时，y＝x＋eq \f(1,x)＝－[(－x)＋eq \f(1,－x)]
∵(－x)＋eq \f(1,－x)≥2
∴－[(－x)＋eq \f(1,－x)]≤－2.
当且仅当x＝eq \f(1,x)时，即x＝－1时取“＝”．
∴y的取值范围为{y|y≤－2或y≥2}．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.探索并了解基本不等式的证明过程．
直观想象
逻辑推理
2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小．
3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.