数学选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式课后测评

2020—2021学年高二数学下学期  

7.1条件概率与全概率公式

专项训练

一、单选题（共12题；共60分）

1．如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列.已知数列的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率

A． B． C． D．

2．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则（    ）

A． B． C． D．

3．某次校园活动中，组织者给到场的前1000名同学分发编号的号码纸，每人一张，活动结束时公布获奖规则.获奖规则为：①号码的三位数字之和是7的倍数者可获得纪念品；②号码的三位数字全是奇数者可获得纪念品.已知某同学的号码满足获得纪念品的条件，则他同时可以获得纪念品的概率是

A．0.016 B．0.032 C．0.064 D．0.128

4．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．篮子里装有3个红球，4个白球和5个黑球,球除颜色外，形状大小一致．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B= “取出一个红球，一个白球”，则=（    ）

A． B． C． D．

6．在10个形状大小均相同的球中有5个红球和5个白球，不放回地依次摸出2个球，设事件表示“第1次摸到的是红球”，事件表示“第2次摸到的是红球”，则（    ）

A． B． C． D．

7．甲乙两人进行乒乓球比赛，两人打到平，之后的比赛要每球交替发球权且要一人净胜两球才能取胜，已知甲发球甲获胜的概率为，乙发球甲获胜的概率为，则下列命题正确的个数为（    ）

（1）若，两人能在两球后结束比赛的概率与有关

（2）若，两人能在两球后结束比赛的概率与有关

（3）第二球分出胜负的概率与在第二球没有分出胜负的情况下进而第四球分出胜负的概率相同

（4）第二球分出胜负的概率与在第球没有分出胜负的情况下进而第球分出胜负的概率相同

A． B． C． D．

8．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，记事件“两卦的六根线中恰有两根阳线”，“有一卦恰有一根阳线”，则（    ）,

A． B． C． D．

9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是

①；②；③事件B与事件相互独立；④，，是两两互斥的事件.

A．②④ B．①③ C．②③ D．①④

10．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分).

甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83

乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74

现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P(AB)，P(A|B)的值分别是

A．，  B．，

C．，  D．，

11．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件，“摸得的两球不同色”为事件，则概率为

A． B． C． D．

12．一个盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回的取两次，每次取出一件.设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”.则（  ）

A． B． C． D．

二、填空题（共4题；共20分）

13．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.

14．伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则______.

15．由“0，1，2”组成的三位数密码中，若用A表示“第二位数字是2”的事件，用B表示“第一位数字是2”的事件，则__________.

16．如图，是圆的内接正方形，将一颗豆子随机扔到圆内，记事件：“豆子落在正方形内”，事件：“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则条件概率__．

三、解答题（共4题；共20分）

17．已知,求.

18．假设有箱同种型号零件，里面分别装有件、件、件，而且一等品分别有件、件和件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求：

（1）先取出的零件是一等品的概率；

（2）两次取出的零件均为一等品的概率．

19．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：个黑球2个红球；个红球；恰有1个白球；恰有2个白球；个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.

（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）；

（2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；

（3）设顾客抽一次奖小张获利元，求变量的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求的最大值.

20．为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标)、推理能力(指标)、建模能力(指标)的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养，若，则数学核心素养为一级；若，则数学核心素养为二级；若，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：

(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；

(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为，求随机变量的分布列及其数学期望.

参考答案

1．C

【详解】

由题意知，事件共有=120个基本事件，事件“局部等差”数列共有以下24个基本事件，

（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个， 含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.

含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.

含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2个，

含4，3，2的同理也有2个.

含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，

含5，3，1的也有上述4个，共24个，

=.

故选C.

2．A

【详解】

设事件 “4个人去的景点不相同”，

事件 “小赵独自去一个景点”，

则（A），

（B），

，

则

故选：A

3．D

【详解】

记某同学获得纪念品､纪念品分別为事件､，

则事件发生的充要条件是：三位数字均是1，3，5，7，9五个数中的一个，

对应的概率；

事件是在三位数字均为奇数的基础上，还需满足三位数字之和为7的倍数，

三个之间的数字之和范围为，

又因为每位数字都是奇数，故其和亦为奇数，

故三位数字之和只可能是7或21，所以三位数字从小到大排列只有以下五种可能：

①1，1，5，对应的三位数个数为；

②1，3，3，对应的三位数个数为；

③3，9，9，对应的三位数个数为；

④5，7，9，对应的三位数个数为；

⑤7，7，7，对应的三位数有1个；

故.

于是所求概率为.

故选：D.

4．D

【详解】

由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，

设男生甲被选中为事件，其概率为，

设女生乙也被选中为事件，其概率为，

所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.

故选：D.

5．B

【详解】

两个球颜色不同，则可能是一红一白，一红一黑，或一白一黑，所以事件中事件基本事件的个数为，其中两人球一红一白的方法数是，所求概率为．

故选：B．

6．A

【详解】

设第一次摸出红球为事件，第二次摸出红球为事件，

则“第一次摸到红球”的概率为：

“在第一次摸出红球，第二次也摸到红球”的概率是

由条件概率公式有

故选：A

7．B

【详解】

（1）先求连续两球，甲乙各赢一个的概率，不妨设甲先发球，此时可能是甲赢乙赢或者乙赢甲赢，所以两球各赢一个的概率为，所以若，设打了个球，则两人不能结束比赛的概率为，则两人能在两球后结束比赛的概率为，与无关，所以该命题错误；

（2）同（1），设打了个球，则两人能在两球后结束比赛的概率为，与无关，所以该命题错误；

（3）不妨设甲先发球，第二球分出胜负即两球要么是甲赢，要么是乙赢，所以第二球分出胜负的概率为，在第二球没有分出胜负的情况下进而第四球分出胜负的概率是条件概率，第二球没有分出胜负，说明前两球各赢一个球，其概率为，在第二球没有分出胜负的情况下进而第四球分出胜负的概率为，所以第二球分出胜负的概率与在第二球没有分出胜负的情况下进而第四球分出胜负的概率相同，所以该命题是正确的；

（4）不妨设甲先发球，第二球分出胜负的概率为，在第球没有分出胜负的概率为

，所以第二球分出胜负的概率与在第球没有分出胜负的情况下进而第球分出胜负的概率相同,所以该命题正确.

故选：

8．B

【详解】

由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个，

两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个，而事件所包含的情况可分为两种，

即第一种是取到的两卦中一个为两阳一阴，另一个为全阴；

第二种是两卦中均为一阳两阴；而事件中只包含后者，

即：,

事件的概率，

所以

故选：B

9．A

【详解】

由题意，，是两两互斥的事件，

，，；

，由此知，②正确；

，；

而

.

由此知①③不正确；

，，是两两互斥的事件，由此知④正确；

对照四个命题知②④正确；

故选：A.

10．A

【详解】

由题意知，，

表示20人随机抽取一人，既是甲组又是英语口语测试成绩不低于85分的概率，，

根据条件概率的计算公式得.

11．B

【详解】

依题意，，，

则条件概率．故答案选B．

12．C

【详解】

事件前两次取到的都是一等品，由古典概型的概率公式得，

由古典概型的概率公式得，由条件概率公式得，

故选C.

13．

【详解】

设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，

又，，，

故.

故答案为：.

14．

【详解】

由已知得，，

则.

故答案为：

15．

【详解】

由“0，1，2”组成的三位数密码，共有个基本事件，

又由用A表示“第二位数字是2”的事件，用B表示“第一位数字是2”的事件，

可得，

所以.

故答案为：.

16．

【详解】

如图,设正方形边长为，由几何概型的概率公式可得,

（A），，

由条件概率公式可得,．

故答案为：

17．， .

【详解】

因为，所以，

因为，所以，

因此，,

从而.

18．（1）；（2）.

【详解】

（1）记事件“任取的一箱为第箱零件”，则、、，

记事件“第次取到的是一等品”，则、，

由题意知、、构成完备事件组，且，

，，，

由全概率公式得；

（2）因为，，，

由全概率公式得

.

19．(1)中一至四等奖分别对应的情况是.(2);(3)194.

【详解】

（1）；，，

，

∵，

∴中一至四等奖分别对应的情况是.

（2）记事件为顾客摸出的第一个球是红球，事件为顾客获得二等奖，则.

（3）的取值为，则分布列为

由题意得，若要不亏本，则，

解得，即的最大值为194.

20．（1）；（2）见解析

【详解】

（1）由题可知:建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是.

记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件.

则

(2)由题可知，数学核心素养一级的学生为: ，非一级的学生为余下4人

  的所有可能取值为0,1，2，3.

随机变量的分布列为：