高中数学第七章 随机变量及其分布7.4 二项分布与超几何分布课后作业题

2020—2021学年高二数学下学期  

7.4二项分布与超几何分布

专项训练

一、单选题（共12题；共60分）

1．设随机变量，若二项式，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

2．已知一个口袋中装有个红球和个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为，则的期望为（    ）

A． B．

C． D．

3．一质地均匀的正方体的六个面分别标有数字，现连续抛掷该正方体次，发现落地后向上数字大于的平均次数不小于，则抛掷次数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

4．某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（    ）

A．至少有个深度贫困村 B．有个或个深度贫困村

C．有个或个深度贫困村 D．恰有个深度贫困村

5．某班有18名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出6名学生，其中数学成绩优秀的学生数，则（    ）

A．13 B．12 C．5 D．4

6．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则n，p分别等于（　　）

A．n=45，p= B．n=45，p=

C．n=90，p= D．n=90，p=

7．已知，且，，则

A． B． C． D．

8．若随机变量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知随机变量满足下列分布列，当且不断增大时，

A．增大，增大

B．减小，减小

C．增大，先增大后减小

D．增大，先减小后增大

10．规定投掷飞镖3次为一轮，3次中至少两次投中8环以上的为优秀.现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖未在8环以上，用1表示该次投镖在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果.例如：“101”代表第一次投镖在8环以上，第二次投镖未在8环以上，第三次投镖在8环以上，该结果代表这一轮投镖为优秀："100”代表第一次投镖在8环以上，第二次和第三次投镖均未在8环以上，该结果代表这一轮投镖为不优秀.经随机模拟实验产生了如下10组随机数，据此估计，该选手投掷飞镖两轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率是

A． B． C． D．

11．同时抛掷三枚硬币，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为

A． B． C． D．

12．一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为，若，则

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（共4题；共20分）

13．设件产品中含有件次品，从中抽取件进行调查，则查得次品数的数学期望为__________.

14．一个口袋中有7个大小相同的球，其中红球3个，黄球2个，绿球2个.现从该口袋中任取3个球，设取出红球的个数为，则______.

15．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布（1000，）.且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过1000小时的平均值为______台.

16．一批产品的一等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的一等品件数，则__________。

三、解答题（共4题；共20分）

17．2020年第七次全国人口普查摸底工作从10月11日开始，10月31日结束．从11月1日开始进入普查的正式登记阶段．普查员进入每个住户逐人逐项登记普查信息，这期间还将随机抽取的住户填报普查长表，调查更为详细的人口结构信息．整个登记工作持续到12月10日结束．某社区对随机抽取的住户普查长表信息情况汇总，并按照住户人均年收入情况绘制出如下的频率分布直方图（假设该社区内住户人均年收人均在0到12万之间．）：

（1）若抽取的住户中，家庭人均年收人在万元的恰好有32户，则该社区共有住户约多少户．

（2）若从抽取的住户中人均年收人不高于8万元的住户中按照分层抽样的方法抽取10户，再从这10户中随机抽取4户对其住房和医疗保健情况进行调查，用X表示抽取的4户中家庭收入不少于6万元的住户数，求随机变量X的分布列与数学期望．

18．某零件加工工厂生产某种型号的零件，每盒10个，每批生产若干盒，每个零件的成本为1元，每盒零件需要检验合格后方可出厂.检验方案是从每盒零件中随机取出2个零件检验，若发现次品，就要把该盒10个零件全部检验，然后用合格品替换掉次品，方可出厂；若无次品，则认定该盒零件合格，不再检验，可出厂.

（1）若某盒零件有8个合格品，2个次品，求该盒零件一次检验即可出厂的概率；

（2）若每个零件售价10元，每个零件检验费用是1元.次品到达组装工厂被发现后，每个零件须由加工工厂退赔10元，并补偿1个经检验合格的零件给组装工厂.设每个零件是次品的概率是，且相互独立.

①若某盒10个零件中恰有3个次品的概率是，求的最大值点；

②若以①中的作为的值，由于质检员的失误，有一盒零件未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，求这盒零件最终利润(单位：元)的期望.

19．《讲课中国行动（2019—2030年）》包括15个专项行动，其中全民健身行动提出鼓励公众每周进行3次以上、每次30分钟以上中等强度运动，或者累计150分钟中等强度75分钟高强度身体活动.日常生活中要尽量多动，达到每天6千步～10千步的身体活动量.某高校从该校教职工中随机抽取了若干名，统计他们的人均步行数（均在2千步～14千步之间），得到的数据如下表：

（1）求，，的值；

（2）“每天运动一小时，健康工作五十年”，学校为了鼓励教职工积极参与锻炼，决定对日均步行数不低于千步的教职工进行奖励，为了使全校30%的教职工得到奖励，试估计的值；

（3）在第（2）问的条件下，以频率作为概率，从该校得到奖励的教职工中随机收取3人，设这3人中日均步行数不低于10千步的人数为，求的分布列和数学期望.

20．随着5G通讯技术的发展成熟，移动互联网短视频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台，为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核，短视频审核通过的概率为，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为，若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐.

（1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；

（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.

参考答案

1．C

【详解】

二项式展开式的通项公式为，

又，

∴，，

即 ，解得：，

此时，，

经检验可得，，

∴，，

故选：C

2．A

【详解】

由题意可知，每次摸球中中奖的概率，则，

因此，的期望为.

故选：A.

3．C

【详解】

由题意，每次抛掷正方体落地后出现向上数字大于4的概率为，设表示抛掷n次

落地向上数字大于的次数，则，由题意，即，.

故选：C

4．B

【详解】

用表示这个村庄中深度贫困村数，服从超几何分布，

故，

所以，

，

，

，

.

故选：B

5．C

【详解】

，则，故.

故选：.

6．C

【解析】

随机变量服从二项分布，若，根据二项分布的期望公式以及二项分布的方差公式可得，，解得，故选C．

7．B

【详解】

∵，∴，，∴，且，解得，

∴，故选．

8．A

【详解】

由题意，，解得，则，所以.

故选：A.

9．C

【详解】

由题意可知，随机变量满足二项分布，即，易得，所以当且不断增大时，增大，先增大后减小.故选C.

10．B

【详解】

模拟实验中，总共进行了10轮，每轮中至少两次投中8环以上的有6轮，用频率估计概率可得该选手每轮拿到优秀的概率为，因此，该选手投掷飞镖两轮，相当于做两次伯努利试验，那么至少有一轮可以拿到优秀的概率.

故本题正确答案为B.

11．B

【详解】

每枚硬币正面向上的概率都等于，

故恰好有两枚正面向上的概率为：.

故选B.

12．B

【详解】

由题意，，，，故选B.

13．

【详解】

设抽得次品数为，则随机变量的可能取值有、、，

则，，，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

所以，.

故答案为：.

14．

【详解】

依题意，设取出红球的个数为，则，而口袋中有红球3个，其他球4个，故

，，

，，

故.

故答案为：.

15．375

【详解】

由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为，

则部件正常工作超过10000小时的概率为，

又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为台.

故答案为：375.

16．9

【详解】

由题意可知，该事件满足独立重复试验，是二项分布模型，
其中，，，
则．
故答案为：．

17．（1）1600户；（2）分布列见解析；期望为．

【详解】

解：（1）依题意，由频率分布直方图可知，

，

所以，

所以抽取的住户中，家庭人均年收入在万元的比重恰好为，又恰好为32户，所有住户共计约为160户，

进而可得该社区共有住户约1600户．

（2）依题意，在家庭人均年收入不高于8万元的住户中分层抽样抽取10户，

可知10户中，收入在是1户，是2户，是3户，是4户，

其中不少于6万的占4户，再从这10户中随机抽取4户对其住房和医疗保健情况进行调查，

所有X的可能值为0，1，2，3，4．

所以，

；，

，

故随机变量X的分布列为：

所以．

18．（1）；（2）①；②期望为54元.

【详解】

（1）设“该盒零件一次检验即可出厂”为事件，

（2）①某盒10个零件恰好有3个次品的概率

，

当，，当，

所以当时，取到最大值，故的最大值点为.

②由题意可知，这盒零件中次品的个数为，

则，，

，

所以这盒零件最终利润的期望为54元.

19．（1），，；（2）；（3）分布列见解析，.

【详解】

（1）由题意得：，解得：；；则，解得：.

（2）日均步行数在内的频率为：，

日均步行数在内的频率为，

则，解得：.

当时，全校的教职工能够得到奖励.

（3）由题意知：该校得到奖励的教职工在全校教职工中所占的比例为，

日均步行数不低于千步的教职工在得到奖励的教职工所占的比例为，，

，，，，

的分布列为：

数学期望.

20．（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.

【详解】

（1）设“该短视频获得重点分发推荐”为事件，

则.

（2）设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量，可取.

则，

；；

；，

所以随机变量的分布列如下：

.(或)