初中北师大版5 平方差公式教案

5　平方差公式

第1课时　平方差公式的认识

教学目标

一、基本目标

1．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算．

2．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力．

二、重难点目标

【教学重点】

弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点．

【教学难点】

会用完全平方公式进行运算．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P20～P21的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．根据条件列代数式：

(1)a、b两数的平方差可以表示为a2－b2；

(2)a、b两数差的平方可以表示为(a－b)2.

2．(x＋2)(x－2)＝x2－4；(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2；(x＋5y)(x－5y)＝x2－25y2.

(1)观察以上算式及其运算结果填空：上面三个算式中的每个因式都是多项式.等式的左边都是两个数的和与两个数的差的乘积，等式的右边是这两个数的平方的差；

(2)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.也就是说，两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.

3．已知a＋b＝10，a－b＝8，则a2－b2＝80.

4．计算(3－x)(3＋x)的结果是9－x2.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例题】运用平方差公式计算：

(1)(3x－5)(3x＋5)；

(2)(－2a－b)(b－2a)；

(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．

【互动探索】(引发学生思考)(1)直接套用公式计算；(2)把－2a看成一项，把b看成另一项；(3)先计算(x－2)(x＋2)，再计算(x－2)(x＋2)的结果与(x2＋4)的乘积．

【解答】(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25.

(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a－b)(－2a＋b)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2.

(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.

【互动总结】(学生总结，老师点评)运用平方差公式计算时，要注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．下列运算中，可以用平方差公式计算的是(　C　)

A．(x＋y)(x＋y)　 B．(－x＋y)(x－y)

C．(－x－y)(y－x)　 D．(x＋y)(－x－y)

2．(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2.

3．如果A2－B2＝8，且A＋B＝4，那么A－B的值是2.

4．计算：(－2018)2＋2017×(－2019)．

解：原式＝20182－(2018－1)×(2018＋1)

＝20182－20182＋1

＝1.

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　平方差公式的应用

教学目标

一、基本目标

1．进一步使学生理解并掌握平方差公式的灵活应用．

2．通过小结使学生理解平方差公式的数学表达式与文字表达式在应用上的差异．

二、重难点目标

平方差公式的应用及推广．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P21～P22的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

(一)探索平方差公式的几何背景

如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．

(1)请表示图中阴影部分的面积：a2－b2；

(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图2)，这个长方形的长和宽分别是a＋b，a－b，它的面积是(a＋b)(a－b)；

(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？说一说验证的理由．

解：能．理由：阴影部分的面积是不变的，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

(二)利用平方差公式探索规律

(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点．

(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？

解：两个连续奇数的积，等于这两个奇数中间的那个偶数的平方与1的差．

(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

解：(n－1)(n＋1)＝n2－1(n为偶数)．证明：根据平方差公式，得(n－1)(n＋1)＝n2－12＝n2－1.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】(教材P22例3)用平方差公式进行计算：

(1)103×97;  (2)118×122.

【互动探索】(引发学生思考)平方差公式有什么特点？怎样计算？

【解答】(1)原式＝(100＋3)(100－3)

＝1002－32

＝9991.

(2)原式＝(120－2)(120＋2)

＝1202－22

＝14 396.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题目的关键是恰当变形，将其变化为两数和与两数差的积的形式，使复杂的计算简单化，以达到事半功倍的效果．

【例2】先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.

【互动探索】(引发学生思考)先对代数式进行化简→代入已知值求化简后代数式的值．

【解答】原式＝4x2－y2－(4y2－x2)

＝4x2－y2－4y2＋x2

＝5x2－5y2

＝5(x＋y)(x－y)．

当x＝1，y＝2时，原式＝－15.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先将原代数式化简，再代值计算．尽量不要直接代入求值，这样不仅使计算复杂化，还容易出错．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)．利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

图1         

图2

2．长方形的长为(2a＋3b)，宽为(2a－3b)，则长方形的面积为4a2－9b2.

3．若(m＋3x)(m－3x)＝16－nx2，则mn的值为±36.

4．运用平方差公式简算：

(1)21×19；　(2)13.2×12.8.

解：(1)原式＝(20＋1)×(20－1)

＝400－1

＝399.

(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)

＝169－0.04

＝168.96.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数吗？

【互动探索】要判断整式是否为10的倍数→化简代数式→化简结果是否是10的倍数→作出判断．

【解答】原式＝9n2－1－(9－n2)

＝10n2－10

＝10(n＋1)(n－1)．

因为n为正整数，

所以(n＋1)(n－1)为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．

【互动总结】(学生总结，老师点评)在探究整除性或倍数问题时，要注意平方差公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！