高中人教A版 (2019)3.3 幂函数学案

这是一份高中人教A版 (2019)3.3 幂函数学案，共13页。学案主要包含了幂函数的概念，幂函数的图象及应用，比较幂值的大小等内容，欢迎下载使用。
3．3　幂函数
学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xα的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．


知识点一　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二　五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．

2．五个幂函数的性质

y＝x
y＝x2
y＝x3

y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞) 上增，
在(－∞，0] 上减
增
增
在(0，＋∞)上减，
在(－∞，0)上减

知识点三　一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当01)．其中幂函数的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　幂函数有①⑥两个．
(2)已知是幂函数，求m，n的值．
考点　幂函数的概念
题点　由幂函数定义求参数值
解　由题意得
解得或
所以m＝－3或1，n＝.
反思感悟　判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数．
跟踪训练1　(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　C
解析　由幂函数的定义知k＝1.
又f ＝，所以α＝，
解得α＝，从而k＋α＝.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于(　　)
A．2 B．1 C. D．0
答案　A
解析　因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，
所以a＝1，－b＋1＝0，
即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
二、幂函数的图象及应用
例2　(1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
解　因为f(x)＝xα的图象过点P，
所以f(2)＝，即2α＝，
得α＝－2，即f(x)＝x－2，
f(x)的图象如图所示，

定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
(2)下列关于函数y＝xα与y＝αx的图象正确的是(　　)

答案　C
反思感悟　(1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练2　(1)如图所示，C1，C2，C3为幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取(　　)

A.，－2，
B．－2，，
C．－2，，
D.，，－2
答案　C
(2)在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　)

考点　幂函数的图象
题点　幂函数有关的知图选式问题
答案　C
解析　选项A中，幂函数的指数a1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误；
选项D中，幂函数的指数a0，直线y＝ax－在y轴上的截距为正，D错误．
三、比较幂值的大小
例3　比较下列各组数的大小．
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3)与.
解　(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，所以0.5>0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－－1.
(3)因为在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以＝1，
又在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以＝1，所以.
反思感悟　此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
跟踪训练3　比较下列各组数的大小：
(1)和；
(2)，和.
解　(1)函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，
又3