高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数教案

专题12幂函数（练）

1．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（   ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】

由于为幂函数，则，解得：，

函数，且，当时， ，故 的图像所经过的定点为，

所以，即，解得：,

故答案选B
2．下列所给出的函数中，是幂函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

幂函数的定义规定；y=xa（a为常数）为幂函数，所以选项中A，C，D不正确；B正确；
故选B．
3．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的是　　

A．是偶函数 B．是单调递增函数

C．的值域为R D．在定义域内有最大值

【答案】B

【解析】

设，因为幂函数的图象经过点（4,2）,

所以，所以．

所以，它在单调递增．
4．幂函数(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a＝(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】

根据幂函数的性质，要使得函数为偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减函数，

则a2－10a＋23为偶函数，且a2－10a＋23＜0.

把每一个选项a的值代入检验得只有a=5同时满足.

故选C.
5．下列命题正确的是(    )

A．幂函数的图象都经过、两点

B．当时，函数的图象是一条直线

C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同

D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点

【答案】D

【解析】

对于A: 幂函数的图象都经过点（1，1），当n≤0时，不过（0，0）点，故A不正确；

对于B：当n＝0时，幂函数y＝xn的图象是一条直线y＝1，除去（0，1）点，故B不正确；

对于C：当两个幂函数的图象有三个交点，如y=x与y=x3有三个交点，这两个函数不相同，故C不正确；

对于D：因为幂函数的图象都经过点（1，1）且为偶函数时，所以图象一定经过点，故D正确.

故选：D.
6．已知幂函数的图象过点，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为是幂函数，所以，.

又函数的图象过点，所以，即，.

因此，.

故选：C.
7．已知幂函数f（x）=xa（a是常数），则（　　）

A．的定义域为R B．在上单调递增

C．的图象一定经过点 D．的图象有可能经过点

【答案】C

【解析】

（1）对于A，幂函数f（x）=xa的定义域与a有关，不一定为R，A错误；

（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=xa在（0，+∞）上单调递增，

a＜0时，幂函数f（x）=xa在（0，+∞）上单调递减，B错误；

（3）对于C，幂函数f（x）=xa的图象过定点（1，1），C正确；

（4）对于D，幂函数f（x）=xa的图象一定不过第四象限，D错误．

故选C．
8．若点在幂函数的图象上，则________．

【答案】

【解析】

解：设幂函数为，为实数，

由点在的图象上，得，解得，

则，

故．

故答案为：
9．是一个幂函数，则__________.

【答案】1

【解析】

根据幂函数的定义，可令，解得

故答案为：1
10．已知幂函数满足，则的解析式为_______．

【答案】

【解析】

由，得，即，故，解得

，又，所以或，当或时，的解析式均为

.

故答案为：
11．函数（常数）为奇函数且在是减函数，则______.

【答案】

【解析】

函数（常数）在是减函数,

,即,又,或;

当时,,为偶函数,不满足条件; 当时,,为奇函数,满足条件.

故答案为:.
12．已知幂函数的图象经过点，则的值为________.

【答案】

【解析】

因为为幂函数，

所以，

即

代入点，

得，即，

所以，

所以.

故答案为：.
13．已知幂函数的图象过点，且．

（1）试求出函数的解析式；

（2）讨论函数的单调性．

【答案】（1）；（2）是区间上的单调递增函数．

【解析】

（1）设，

因为图象过点，所以，∴，

函数的解析式为；

（2），定义域为，

设，则．

∵，∴，又，∴，

∴是区间上的单调递增函数．
14．已知幂函数在上单调递增，函数.

（1）求的值；

（2）当，时，记，的值域分别为集合，，设命题，命题，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）0；（2）.

【解析】

（1）依题意得：，或，

当时，在上单调递减，

与题设矛盾，舍去，

.

（2）由（1）得：，

当，时，，，即，，

当，时，，，即，，

若命题是成立的必要条件，则，

则，即，

解得：.
15．已知是整数，幂函数在上是单调递增函数.

(1)求幂函数的解析式；

(2)作出函数的大致图象；

(3)写出的单调区间，并用定义法证明在区间上的单调性.

【答案】(1)；(2)图象见解析；(3)减区间为；增区间为，证明见解析.

【解析】

(1)由题意可知，，即

因为是整数，所以或

当时，

当时，

综上所述，幂函数的解析式为.

(2) 由(1)可知，则

函数的图象，如图所示：

(3)由(2)可知，减区间为；增区间为

当时，

设任意的，且

则

又，且

即在区间上单调递增.

1．已知幂函数的图象过点，则此幂函数（    ）

A．过点 B．是奇函数

C．过点 D．在上单调递增

【答案】C

【解析】设，由题意可得，，，

所以，函数的图象不过点.

，该函数的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数.

，该函数的图象过点，且在上单调递减.

因此，C选项正确.

故选C.
2．已知幂函数的图象经过点，则下列命题中不正确的是（    ）

A．函数图象过点

B．当时，函数取值范围是

C．

D．函数单调减区间为

【答案】C

【解析】因为幂函数的图象经过点，

所以，解得

所以幂函数，

所以函数图像过，故A选项正确，

单调递减，单调递增，

所以当时，函数取值范围是

故B选项正确，

为偶函数，故C选项错误，

在上单调减区，故D选项正确.

故选：C.
3．已知幂函数在区间上是单调递增函数,则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】 是幂函数,则

解得或

又 在区间上是单调递增函数

故选:A.
4．给出幂函数：①；②；③；④；⑤.其中满足条件的函数的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】

如图，只有上凸函数才满足题中条件，所以只有④满足，其他4个都不满足，

故选：A.
5．若函数与图象关于对称，且，则必过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，，，

所以，函数的图象过定点，

又函数与图象关于对称，因此，函数必过定点.

故选：D.
6．若幂函数的图像经过点，则在定义域内函数（    ）

A．有最小值 B．有最大值 C．为增函数 D．为减函数

【答案】A

【解析】

幂函数，

代入点，

得，所以，

所以，

所以有最小值.

故选：A.
7．若幂函数的图象过点，则（     ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】

因为幂函数的图象过点，所以幂函数的解析式为：

则.

故选：B
8．已知幂函数在上是减函数，则实数__________.

【答案】2

【解析】

因为是幂函数，

所以，解得，

当时，，函数在上是减函数，符合题意，

当时，，函数在上是增函数，不符合题意，

所以.

故答案为：
9．已知幂函数的图像过点，则的定义域是________.

【答案】

【解析】

由于经过点，代入得，所以的定义域是.
10．函数是幂函数，且在上是减函数，则实数_____

【答案】2

【解析】

，当时在上是减函数，满足条件，当不满足条件.
11．已知幂函数是在上的减函数，则m的值为______.

【答案】

【解析】

因为是幂函数，所以，所以或，

当时，，此时在上递增，不符合，

当时，，此时在上递减，符合.

故答案为：.
12．幂函数的图像过点,则的减区间为__________.

【答案】

【解析】

设幂函数的解析式为

代入点，得，所以

所以幂函数为，定义域为，

所以，则需要

即其定义域为或，

而的对称轴为

所以其单调减区间为

所以的减区间为.
13．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上为减函数，求满足不等式的实数a的取值范围.

【答案】或.

【解析】

由于幂函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数，即m为奇数.又该函数在上为减函数，因而，即.

又，从而.

故不等式可化为.

函数的定义域为，且在与上均为减函数，因而，或，或，解得a的取值范围为或.
14．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数.

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数c的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在区间上是单调增函数，即，解得.

又，.

当时，不是偶函数；

当时，是偶函数.

故函数的解析式为.

（2）由（1）知，则.

对任意的恒成立，，且.又，，解得.

故实数c的取值范围是.
15．已知幂函数的图象经过点．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）判断函数在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在区间上是减函数．

【解析】

（Ⅰ）∵是幂函数，则设（α是常数），

∵的图象过点，

∴，

故，即；

（Ⅱ）在区间上是减函数．证明如下：

设

∴，

，

∴在区间上是减函数．