高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第1课时学案及答案

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5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图像
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图像
【课前预习】
知识点一
(1)y=Asin(ωx+φ)+B y=Acs(ωx+φ)+B
知识点二
1.左 右 |φ|
2.横 1ω
3.纵 A
4.|φ| φω
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)将函数y=sin x的图像向左平移π2个单位长度就得到y=sinx+π2=cs x的图像.
(2)把函数y=cs x图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)得到函数y=cs13x的图像.
(3)将函数y=sin x图像上各点的纵坐标变为原来的2倍,便得到函数y=2sin x的图像.
(4)把函数y=sin 3x的图像向左平移π4个单位长度就得到y=sin 3x+π4=sin3x+34π的图像.
知识点三
0 π2 π 3π2 2π
诊断分析
(1)√ (2)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)d=2sin2π15t-π6+1 [解析] (1)设h(t) =Acs ωt+B(A<0,ω>0),∵大风车每12 min旋转一周,∴2πω=12,∴ω=π6.由题意得,h(t)的最大值与最小值分别为14,2, ∴-A+B=14,A+B=2,解得A=-6,B=8,∴h(t)=-6csπ6t+8.
(2)由题意知水轮的半径为2米,水轮的圆心O距离水面1米,所以A=2.又水轮每分钟旋转4圈,所以水轮转一圈需要15秒,所以最小正周期T=15=2πω,解得ω=2π15.当t=0时,d=0,则2sin φ+1=0,得φ=2kπ-π6(k∈Z),又|φ|<π2,所以φ=-π6,所以d与t的函数关系式为d=2sin2π15t-π6+1.
探究点二
例2 解:函数y=sinx-π6的图像可以看作是把y=sin x的图像上所有的点向右平移π6个单位长度而得到的.
变式1 C [解析] 因为y=sin2x+π3=sin 2x+π6,所以将函数y=sin 2x的图像向左平移π6个单位长度,就可得到函数y=sin2x+π3的图像.
变式2 A [解析] y=sin 2x=csπ2-2x=cs2x-π2=cs 2x-π4=cs2x-π8-π4,∴要得到y=cs2x-π4的图像,只要将y=sin 2x的图像向左平移π8个单位长度即可.故选A.
例3 C [解析] 只需将函数y=sinx-π6的图像上所有点的横坐标缩短为原来的13,纵坐标不变,便可得到函数y=sin3x-π6的图像,故选C.
变式 A [解析] 把余弦函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的14,纵坐标不变,即可得到y=cs 4x的图像.再将y=cs 4x图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,即可得到y=2cs 4x,x∈R的图像.故选A.
例4 BD [解析] y=sin x的图像y=sinx+π3的图像y=sin2x+π3的图像y=3sin2x+π3的图像.y=sin x的图像y=sin 2x的图像y=sin 2x+π6=sin2x+π3的图像y=3sin2x+π3的图像,故选BD.
变式1 C [解析] 将y=sin x的图像上所有的点向右平移π10个单位长度,得到y=sinx-π10的图像,再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin12x-π10的图像.
变式2 C [解析] 把函数y=2sin x,x∈R的图像上所有的点向左平移π6个单位长度,得到函数y=2sinx+π6的图像,再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到函数y=2sinx3+π6,x∈R的图像.故选C.
变式3 A [解析] 将函数y=2sin2x+π4图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sinx+π4的图像,再将所得图像向左平移π4个单位长度,得到y=2sinx+π4+π4=2sinx+π2=2cs x的图像,故选A.
拓展 解:方法一:①把y=sin x的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到y=2sin x的图像;②将所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=2sin 2x的图像;③将所得图像向左平移π8个单位长度,得到y=2sin 2x+π8的图像;④将所得图像向上平移2个单位长度,得到y=2sin2x+π4+2的图像.
方法二:①将y=sin x的图像向左平移π4个单位长度,得到y=sinx+π4的图像;②将所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin2x+π4的图像;③把所得图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到y=2sin2x+π4的图像;④将所得图像向上平移2个单位长度,得到y=2sin2x+π4+2的图像.
探究点三
例5 解:(1)列表:
(2)描点画图:
变式 解:f(x)=cs2x-π3,列表如下.
图像如图所示.
【课堂评价】
1.ABC [解析] 令2x-π4=0,π2,π,3π2,2π,得x=π8,3π8,5π8,7π8,9π8,故所取点的坐标可以是π8,0,3π8,2,5π8,0,7π8,-2,9π8,0.故选ABC.
2.D [解析] 根据图像变换的方法,可知把y=sin x的图像上所有的点向左平移π3个单位长度后得到y=sinx+π3的图像,故选D.
3.A [解析] 当x=0时,y=sin2×0-π3=-32<0,排除B,D;当x=π6时,y=sin2×π6-π3=sin 0=0,排除C,故选A.
4.A [解析] 将函数y=3sinx-π6的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=3sin12x-π6的图像.
5.y=sin 3x [解析] 将正弦函数y=sin x的图像上所有点的纵坐标保持不变,横坐标缩短为原来的13,所得图像对应的函数解析式为y=sin 3x.
x
-2π3
π3
4π3
7π3
10π3
x2+π3
0
π2
π
3π2
2π
y
3
6
3
0
3
2x-π3
-π3
0
π2
π
32π
53π
x
0
π6
512π
23π
1112π
π
f(x)
12
1
0
-1
0
12