2021学年5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案

【新教材】5.6函数

（人教A版）

1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律；

 2. 通过对函数y = Asin(wx+φ)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系.

1.逻辑推理： 通过分析A、ω、φ，研究图像变换注意事项；

2.直观想象：图像的变换.

重点：通过五点作图法正确找出函数y＝sin x到y＝sin(ωx+φ)的图象变换规律。

难点：对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解．

一、    预习导入

阅读课本231-236页，填写。

1.函数，（其中）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点_________（当>0时）或______________（当<0时）平行移动个单位长度而得到.

2.函数（其中>0且）的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有点的横坐标______________（当>1时）或______________（当0<<1时）到原来的  倍（纵坐标不变）而得到.

3.函数>0且A1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标___________（当A>1时）或__________（当0<A<1）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx的值域为______________.最大值为______________，最小值为______________.

4. 函数其中的（A>0,>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点___________（当>0时）或___________（当<0时）平行移动个单位长

度，再把所得各点的横坐标____________（当>1时）或____________（当0<<1）到原来的  倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵横坐标____________（当A>1时）或_________（当0<A<1时到原来的A倍（横坐标不变）而得到.

1．思考辨析

(1)y＝sin 3x的图象向左平移个单位所得图象的解析式是y＝sin.(　　)

(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x.(　　)

(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin x．(　　)

2．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是(　　)

A．0，，π，，2π　　　　　B．0，，，，π

C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，

3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝________.

4．函数y＝3sin的频率为________，相位为________，初相为________．

题型一   

例 1 画出函数y＝sin(x＋)，x∈R，y＝sin(x－)，x∈R的简图

跟踪训练一

2.函数y = sin2x图像向右平移个单位所得图像的函数表达式为______ .

题型二 

例2、画出函数y=sin2x  xR；y=sinx  xR的图象（简图）

跟踪训练二

题型三  

例3画出函数y=2sinx,xR；y=sinx,xR的图象（简图）.

跟踪训练三

1．函数y＝3sin(2x＋)，x∈R由y=sinx怎样变换得到.

1．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)

A．3π，， B．6π，，

C．3π，3，－ D．6π，3，

2、已知函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图形沿着x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，那么已知函数的解析式为（　　）.

　  A.      　B.

    C.          D.

3、函数的图象，可由函数的图象经过下述________变换而得到（　　）.

　　　A.向右平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍

      B.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍

      C. 向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的

      D.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标缩小到原来的

4．函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(　　)

A．x＝－   B．x＝

C．x＝－ D．x＝

5．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．

6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f(x)的解析式．

答案

小试牛刀

1．　(1)×　(2)×　(3)×

2．B

3. 4.

4. 　x－　－.

自主探究

例 1 【答案】见解析.

【解析】列表

描点画图：

通过比较，发现：

(1)函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到

(2)函数y＝sin(x－)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动个单位长度而得到.

跟踪训练一

【答案】                                                   .

【解析】　

例2【答案】见解析.

【解析】函数y＝sin2x，x∈R的周期T＝＝π

我们先画在［0，π］上的简图,在[0, ]上作图,列表：

作图：

函数y＝sinx，x∈R的周期T＝＝4π

我们画［0，4π］上的简图，列表：

(1)函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的

(2)函数y＝sin，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到

跟踪训练二

【答案】

【解析】可看作把y=sin2x上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则y=sinx.

例3【答案】 见解析.

【解析】　画简图，我们用“五点法”

∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π

∴我们先画它们在［0，2π］上的简图列表：

作图：

(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］

图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变)

(2)y＝sinx，x∈R的值域是［－，］

图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的倍而得(横坐标不变)

跟踪训练三

1．【答案】见解析.

【解析】法一：(先伸缩法)①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin 2x的图象；③将所得图象沿

x轴向左平移个单位，得 y＝2sin（2x+）的图象.法二：(先平移法)①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位，得y＝sin（x+）的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝sin（2x+）的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin（2x+）的图象.

当堂检测 

1-4.BDBC

5.

6．【答案】 f(x)＝2sin..

【解析】　由最低点M，得A＝2.

在x轴上两相邻交点之间的距离为，故＝，即T＝π，ω＝＝＝2.

由点M在图象上得

2sin＝－2，即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，

∴φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，

∴φ＝.故f(x)＝2sin.