数学必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案及答案

第五章  三角函数

5.6  函数y=Asin（ωx+φ ）的图像

1．理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sin x的图象进行交换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．

2．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图；能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．

3．求函数解析式时φ值的确定．

重点：将考察参数Α、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响的问题进行分解，找出函数y＝sin x到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图.

难点：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．

1.函数，（其中）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点_________（当>0时）或______________（当<0时）平行移动个单位长度而得到.

2.函数（其中>0且）的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有点的横坐标______________（当>1时）或______________（当0<<1时）到原来的  倍（纵坐标不变）而得到.

3.函数>0且A1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标___________（当A>1时）或__________（当0<A<1）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx的值域为______________.最大值为______________，最小值为______________.

4. 函数其中的（A>0,>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点___________（当>0时）或___________（当<0时）平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标____________（当>1时）或____________（当0<<1）到原来的  倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵横坐标____________（当A>1时）或_________（当0<A<1时到原来的A倍（横坐标不变）而得到.[来源:学+科+网]

提出问题

上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如y=Asin（ωx+φ ） 其中（ A＞０ ， ω ＞０ ） 的函数 ． 显然 ， 这个函数由参数 A ， ω ， φ 所确定 ． 因此 ， 只要了解这些参数的意义 ， 知道它们的变化对函数图象的影响 ， 就能把握这个函数的性质 ．

从解析式看 ， 函数 就是函数y＝Asin(ωx＋φ)

在 A ＝１ ， ω ＝１ ， φ ＝０ 时的特殊情形 ．

(1)能否借助我们熟悉的函数  的图象与性质研究参数 A ， ω ， φ 对函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响 ？

(2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)含有三个参数 ， 你认为应按怎样的思路进行研究.

    1. 探索 φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响

      为了更加直观地观察参数φ 对函数图象的影响 ， 下面借助信息技术做一个数学实验 ．如图 5.6.4，取 A ＝１ ， ω ＝１ ， 动点 M在单位圆 上以单位角速度按逆时针方向运动 ．图 5.6.4如果动点 M 以 为起点 （ 此时 φ ＝０ ）， 经过xｓ 后运动到点P ， 那么点 P 的纵坐标 y就等于 sinx ． 以 （ x ， y ） 为坐标描点 ， 可得正弦函数 y =sinx 的图象 ．

      在单位圆上拖动起点 ， 使点 绕点 旋转 到 ， 你发现图象有什么变化 ？如果使点 绕点 旋转- , , - ， 或者旋转一个任意角 φ呢

当起点位于 时 ， φ= ， 可得函数y＝sin(x＋) 的图象 ．进一步 ， 在单位圆上 ， 设两个动点分别以 ， 为起点同时开始运动 ． 如果以 为起点的动点到达圆周上点 P的时间为xｓ ， 那么以 为起点的动点相继到达点P 的时间是  (x- ｓ． 这个规律反映在图象上就是 ： 如果 F （ x ， y ） 是函数y＝sinx 图象上的一点 ， 那么 G(x- , y )就是函数 y＝sin(x＋) 图象上的点 ， 如图 5.6-4所示 ． 这说明 ， 把正弦曲线y＝sinx 上的所有点向左平移 个单位长度 ， 就得到y＝sin(x＋) 的图象 ．

   分别说一说旋转- , , - 时的情况 ．

      一般地 ， 当动点 M 的起点位置 Q所对应的角为φ 时 ， 对应的函数是 y＝sin(x＋φ) (φ0) ， 把正弦曲线上的所有点向左（ 当 φ ＞０ 时 ） 或向右 （ 当 φ ＜０ 时 ） 平移 个单位长度 ， 就得到函数y＝sin(x＋φ) 的图象 ．

2. 探索 ω （ ω ＞０ ） 对y=sin（ωx+φ ） 图象的影响下面 ， 仍然通过数学实验来探索 ．如图 5.6.5， 取圆的半径 A=1． 为了研究方便 ， 不妨令φ ＝． 当 ω ＝１ 时得到y＝sin(x＋) 的图象 ．

      取 ω ＝２ ， 图象有什么变化 ？ 取 ω ＝ 呢 ？取 ω ＝３ ，ω ＝ ， 图象又有什么变化 ？当 ω 取任意正数呢?

       取ω ＝２ 时 ， 得到函数 y＝sin(2x＋) 的图象 ．进一步 ， 在单位圆上 ， 设以 为起点的动点 ， 当 ω ＝１ 时到达点 P 的时间为 ｓ ，当 ω ＝２ 时到达点 P的时间为 ｓ． 因为 ω ＝２ 时动点的转速是 ω ＝１ 时的 ２ 倍 ，所以 ＝． 这样 ， 设 G （ x ， y ） 是函数y＝sin(x＋) 图象上的一点 ， 那么K （， y ） 就是函数y＝sin(2x＋)图象上的相应点 ， 如图 5.6-5示 ． 这说明 ， 把y＝sin(x＋) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（ 纵坐标不变 ）， 就得到 y＝sin(2x＋) 的图象 ．y＝sin(2x＋) 的周期为， 是y＝sin(x＋) 的周期的 倍 ．

      同理 ， 当 ω ＝ 时 ， 动点的转速是 ω ＝１ 时的 倍 ， 以为起点 ， 到达点 P的时间是 ω ＝１ 时的 ２ 倍 ． 这样 ， 把y＝sin(x＋) 图象上所有点的横坐标扩大到原来的 ２ 倍 （ 纵坐标不变 ）， 就得到 y＝sin(x＋) 的图象 ． y＝sin(x＋)的周期为４π，

 是 y＝sin(x＋) 的周期的 ２ 倍 ．

        一般地 ， 函数 的周期是 ， 把 y＝sin(x＋ φ) 图象上所有点的横坐标缩短 （ 当 ω ＞１ 时 ） 或伸长 （ 当 ０＜ ω ＜１ 时 ） 到原来的 倍 （纵坐标不变 ）， 就得到 的图象 ．

3. 探索 A（ A ＞０ ） 对 y=sin（ωx+φ ）图象的影响

     下面通过数学实验探索A 对函数图象的影响 ． 为了研究方便 ， 不妨令ω =2, φ ．当 A ＝１ 时 ， 如图 5.6.6， 可得y=sin（2x+）的图象 ．

改变 A 的取值 ， 使 A 取 ２ ， ， ３, 等 ， 你发现图象有什么变化 ？

当 A 取任意正数呢 ?

当 A ＝２ 时 ， 得到函数 y=2sin（2x+）的图象 ．

进一步 ， 设射线 与以为圆心 、 ２ 为半径的圆交于 ． 如果单位圆上以 为起点的动点 ， 以 ω ＝２ 的转速经过 xｓ 到达圆周上点 P ， 那么点 P 的纵坐标是 2sin（2x+）； 相应地 ， 点 在以 为圆心 、 ２ 为半径的圆上运动到点 T ， 点 T 的纵坐标是 2sin（2x+）．这样 ， 设 K（ x ， y ） 是函数y=sin（2x+） 图象上的一点 ， 那么点 N （ x ，2 y ）就是函数图象y=2sin（2x+）上的相应点 ， 如图 5.6.6所示 ． 这说明 ， 把 y=sin（2x+）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 ２ 倍 （ 横坐标不变 ）， 就得到 y=2sin（2x+）的图象 ．同理 ， 把y=sin（2x+） 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍（ 横坐标不变 ）， 就得到y=sin（2x+）的图象 ．

       一般地 ， 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 ， 可以看作是把y＝Asin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长 （ 当 A ＞１ 时 ）或缩短 （ 当 ０＜ A＜１ 时 ） 到原来的 A 倍 （ 横坐标不变 ） 而得到 ． 从而 ， 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的值域是 ［ － A ， A ］，最大值是 A ， 最小值是 － A

      你能总结一下从正弦函数图象出发 ， 通过图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ) （ A ＞０ ，ω ＞０ ） 图象的过程与方法吗 ?

         一般地 ， 函数y＝Asin(ωx＋φ) （ A ＞０ ， ω ＞０ ） 的图象 ， 可以用下面的方法得到 ： 先画出函数 y＝sinx的图象 ； 再把正弦曲线向左 （ 或右 ） 平移个单位长度 ， 得到函数y＝sin(x＋φ) 的图象 ； 然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 倍 （纵坐标不变 ）， 得到函数y＝sin(ωx＋φ) 的图象 ； 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍 （ 横坐标不变 ），这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象 ．

典例解析

例 １　 画出函数 y=sin（3x- ）的简图 ．

例 2  摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施 ， 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转 ， 可以从高处俯瞰四周景色 ． 如图 5.6.9， 某摩天轮最高点距离地面高度为 120ｍ ， 转盘直径为110ｍ ， 设置有 48个座舱 ， 开启后按逆时针方向匀速旋转 ， 游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱 ， 转一周大约需要30min ．

（ １ ） 游客甲坐上摩天轮的座舱 ， 开始转动 t min 后距离地面的高度为 H ｍ ， 求在转动一周的过程中 ， H关于t 的函数解析式 ；

（ ２ ） 求游客甲在开始转动 ５ min后距离地面的高度 ；

（ ３ ） 若甲 、 乙两人分别坐在两个相邻的座舱里 ， 在运行一周的过程中 ， 求两人距离地面的高度差h （ 单位 ： ｍ ） 关于 t的函数解析式 ， 并求高度差的最大值 （ 精确到 ０．１ ）

1．函数y＝3sin的振幅和周期分别为(　　)

A．3,4      B．3，       C. ，4    D.，3

2．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为(　　)

A．y＝sin    B．y＝sin      C．y＝sinx        D．y＝sin

3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是，初相是，则这个函数的表达式是(　　)

A．y＝3sin     B．y＝3sin    C．y＝3sin   D．y＝3sin

4．函数y＝2sin图象的一条对称轴是____．(填序号)　

①x＝－；②x＝0；③x＝；④x＝－.

5．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.

(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；

(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.

1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.

2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+)的图象,并分别观察参数φ、ω、A对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.

参考答案：

一、    知识梳理

二、    学习过程

例 １　解 ：先画出函数y=sinx的图象 ； 再把正弦曲线向右平移 个单位长度 ，

 得到函数的图象 ； 然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍 ， 得到函数 的图象 ； 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 ２ 倍 ， 这时的曲线就是函数y=sin（3x- ）的图象 ， 如图 5.6.7所示 ．

下面用 “ 五点法 ” 画函数y=sin（3x- ）在一个周期（ ）内的图象 ．

令 X ＝3x- ， 则  x＝ （ X+ ）列表 （ 表 5.6.1），描点画图 （ 图 5.6.8）

例 2  分析 ： 摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转 ． 在旋转过程

中 ， 游客距离地面的高度 犎 呈现周而复始的变化 ， 因此可以考虑用三角函数来刻画 ．

解 ： 如图 5.6.10， 设座舱距离地面最近的位置为点 P ，以轴心 O为原点 ， 与地面平行的直线为 轴建立直角坐标系 ．

（ １ ） 设 时 ， 游客甲位于点 P（0 ，-55 ），

 以 OP为终边的角为 - ； 根据摩天轮转一周大约需要 ， 可知座舱转动的角速度约为 π  rad／min ，

由题意可得H=55sin（t- ）+65   ,

（ ２ ） 当 ＝５ 时 ， H=55sin（- ）+65 =37.5

所以 ， 游客甲在开始转动 5 min后距离地面的高度约为 37.5ｍ．

（ ３ ） 如图 5.6.10,甲 、 乙两人的位置分别用点 A,B表示 ， 则 ∠ AOB＝＝ ．

 经过 后甲距离地面的高度为 =55sin（t- ）+65 ，

 点 B相对于点 A 始终落后 rad， 此时乙距离地面的高度为=55sin（t- ）+65．

则甲 、 乙距离地面的高度差=55

=55,

利用，可得 =110,

当 =（或）， 即 ≈7.8（ 或 22.8） 时 ， 的最大值为 110 ≈7.2．

所以 ， 甲 、 乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2ｍ．

三、达标检测

1．【解析】　由于函数y＝3sin，∴振幅是3，周期T＝＝4.

【答案】　A

2．【解析】　函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的

2倍，得y＝sin的图象，再将此图象向左平移个单位，

得y＝sin＝sin的图象，选D.

【答案】　D

3．【解析】　由已知得A＝3，T＝，φ＝，ω＝＝7，所以y＝3sin.故选B.

【答案】　B

4．【解析】　由正弦函数对称轴可知．x＋＝kπ＋，k∈Z，x＝kπ＋，k∈Z，k＝0时，x＝.

【答案】　③

5． 【解】　(1)由2x－＝kπ＋，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝＋π，k∈Z；由2x－＝kπ，

k∈Z解得对称中心是，k∈Z；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z

解得单调递增区间是，k∈Z；由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得单调递减区间是，k∈Z.

(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，

∴当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取最小值为－1；

当2x－＝，即x＝时，f(x)取最大值为2.