北师大版高中数学必修第二册1-8三角函数的简单应用学案

1．8　三角函数的简单应用新课程标准学业水平要求会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(数学建模)2．能将实际问题抽象为三角函数模型．(数学抽象、数学建模)3．能够利用三角函数的性质解决物理问题．(数学建模、逻辑推理)4．会灵活运用三角知识解决现实生活中与三角有关的实际问题．(数学建模、数学运算) 课前篇·自主学习预案知识点　三角函数模型的简单应用(1)建立数学模型解决实际问题的一般步骤(2)三角函数的应用：①根据实际问题的图象求出函数解析式．②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．③利用搜集的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型． 课堂篇·研习讨论导案研习1  　函数解析式与图象的对应问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例1]　函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是(　　)[自主记][答案]　C[解析]　由奇偶性的定义可知函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]既不是奇函数也不是偶函数．选项A，D中，图象表示的函数为奇函数；B中，图象表示的函数为偶函数；C中，图象表示的函数既不是奇函数也不是偶函数． [巧归纳]　解决函数图象与解析式对应问题的策略(1)解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图象的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．(2)利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.[练习1]　函数f(x)＝cos x·|tan x|在区间上的大致图象为(　　) 答案：C 研习2  知模型求解析式[典例2]　电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω≠0)的图象如图所示，则当t＝时，电流强度是(　　)A．－5安   B．5安  C．5安   D．10安[自主记][分析]　先结合函数图象确定出函数解析式，再代入t＝求值即可．[答案]　B[解析]　由图象可知A＝10，T＝2×＝，∴＝，∴ω＝100π，∴I＝10sin.当t＝时，I＝10sin＝5(安)．[巧归纳]　在研究实际问题时，关键是将图形语言转化为符号语言，体现了数形结合的思想．依据图象判断函数的类型，用适当的形式设出其解析式，是解决这类问题的关键，利用待定系数法及数形结合的思想、方程的思想求出函数的解析式，同时注意结合实际问题的意义，注明函数的定义域．[练习2]　如图，牡丹江市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(1)求这一天最大的温差；(2)求这段曲线的函数解析式．解：(1)由图象，得这一天的最高温度是－2℃，最低温度是－12℃，则这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)．(2)由(1)得解得A＝5，b＝－7.由图象，得函数的周期T＝2(14－6)＝16，则＝16，解得ω＝.所以y＝5sin－7.由图象，知点(10，－7)在函数的图象上，则－7＝5sin－7，整理得sin＝0，又|φ|<，则φ＝－.则这段曲线的函数解析式是y＝5sin－7(6≤x≤14). 研习3  数据拟合题型[典例3]　某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：t/时03691215182124y/米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asin ωt＋b的图象．(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港口，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港口所需的时间)．[自主记][分析]　(1)观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，根据表中的数据作出散点图，从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y＝Asin(ωt＋φ)＋h的函数来拟合．由已知数据可以具体确定A，ω，φ，h的值．(2)根据(1)中所求的函数解析式，求出数值不小于5＋6.5＝11.5(米)的时段，从而就可回答题中的问题．[解]　(1)由已知数据，描出曲线如图：易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，∴ω＝＝，∴y＝3sint＋10.(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米)，由y≥11.5，得3sint＋10≥11.5，∴sint≥.①∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π.②由①②得≤t≤或≤t≤，化简得1≤t≤5或13≤t≤17，∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时．[巧归纳]　由于三角函数是周期函数，只有相关数据呈现周期性变化，才考虑用三角函数来拟合，并根据散点图的大致形态，选择适当类型的三角函数，再利用已知数据结合图象，确定函数解析式中的参数值．对实际问题的求解，需仔细审题，将问题转化为三角函数模型来解决(如本例中将实际问题转化为解三角不等式)，并回到实际情景作答．[练习3]　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：t/时03691215182124y/米1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天的上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪者进行活动．解：(1)由表中数据，知周期T＝12，∴ω＝＝.由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.又由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，∴A＝0.5，b＝1.0，即振幅为.∴y＝cost＋1.(2)由题意，当y>1时才对冲浪者开放，∴cost＋1>1，即cost>0，∴2kπ－<t<2kπ＋，即12k－3<t<12k＋3.∵0≤t≤24，∴令k分别为0,1,2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，∴在规定时间上午8时至晚上20时之间有6个小时可供冲浪者进行活动，即上午9时至下午15时. 研习4  三角函数模型的实际应用[典例4]　据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元．该商品每件售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)＝f(x－2)＋2.(1)分别写出每件该商品的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式；(2)哪几个月能盈利？[自主记][分析]　(1)根据题目给出条件结合三角函数的相关性质可求出解析式；(2)代入数值进行验证，可得g(x)>f(x)时x的每个取值．[解]　(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B．由题意可得A＋B＝8，－A＋B＝4，T＝8，∴A＝2，B＝6，ω＝.∵当x＝3时，f(x)取得最大值8，即2sin＋6＝8，∴φ＝2kπ－，k∈Z.不防令φ＝－，所以f(x)＝2sin＋6(1≤x≤12，x为正整数)，g(x)＝f(x－2)＋2＝2sin＋8(1≤x≤12，x为正整数)．(2)将x＝1,2，…，12代入f(x)，g(x)求出数值比较知，当x＝4,5,6,7,8,12时，g(x)>f(x)，故4,5,6,7,8,12月能赢利．[巧归纳]　建立三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题；最后将所得结果翻译成实际答案，要注意根据实际作答．[练习4]　如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.试求A，ω的值和M，P两点间的距离．解：∵函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)图象的最高点为S(3,2)，∴A＝2.由图象，得＝3，∴T＝12.又T＝，∴ω＝，即y＝2sinx.当x＝4时，y＝2sin＝3，∴M(4,3)．又P(8,0)，∴|MP|＝＝5，即MP的长是5.达标篇·课堂速测演习1．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发，在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)答案：C　解析：如图，过O作OD⊥AP于D，由题意，知∠AOD＝，OA＝1，AD＝，∴sin＝，即d＝2sin.结合图象知选C．2．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　)A．[0,1]   B．[1,7]C．[7,12]   D．[0,1]和[7,12]答案：D　解析：由已知可得该函数的周期为T＝12，ω＝＝，又当t＝0时，A，∴y＝sin，t∈[0,12]，可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．3．一根长为l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝(　　)A．   B．C．   D．答案：D　解析：因为周期T＝，所以＝＝2π，得l＝.[误区警示]　由三角函数模型处理物理问题失误[示例]　弹簧振子以点O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C两点相距20 cm，某时刻振子处在点B，经0.5秒振子首先到达点C．求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)振子在5秒内通过的路程及这时相对平衡位置的位移的大小．[错解]　(1)因为B，C相距20 cm，所以振幅A＝20 cm.因为振子从点B经0.5秒首次达到点C，所以周期T＝0.5 s，频率f＝＝2 Hz.(2)5 s内的路程＝位移＝5 A＝5×20＝100(cm)．[错因分析]　实际问题中，变量常常有一定的范围，因此，在转化为数学模型后要注意标出自变量的取值范围．[正解]　(1)设振幅为A，则2A＝20 cm，A＝10 cm.设周期为T，则＝0.5 s，T＝1 s，f＝1 Hz.(2)振子在1个周期内通过的距离为4A，故在t＝5 s内，距离为s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm)＝2(m)．5秒末物体处在点B，所以它相对平衡位置的位移为10 cm.[题后总结]　在解决实际问题时，要明确一些量的含义，避免出错．本例中，(1)振子以O为平衡位置，在B，C间做简谐运动，B，C相距20 cm，说明振子离开平衡位置的最大值点和最小值点相距20 cm，即2A＝20(cm)．(2)振子从点B经0.5 s首次达到点C，再返回点B才是一个周期，因此，应有＝0.5 s.(3)“路程”与“位移”有区别，“路程”只有数字的大小，“位移”不仅有大小，还有方向．例如，振子在一个周期内的路程为2×20(cm)＝40(cm)，在一个周期内的位移相对于初始点来说是0.