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    1.8三角函数的简单应用 北师大版(2019)高中数学必修第二册(含答案解析) 试卷
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    1.8三角函数的简单应用   北师大版(2019)高中数学必修第二册(含答案解析) 试卷01
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    高中数学北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用精品课后练习题

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    这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用精品课后练习题,共26页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.8三角函数的简单应用北师大版( 2019)高中数学必修第二册
    第I卷(选择题)

    一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
    1. 水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(33,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<π2).则下列叙述错误的是(    )
    A. R=6,ω=π30,φ=-π6
    B. 当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6
    C. 当t∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减
    D. 当t=20时,|PA|=63
    2. 如图,摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120 m,转盘直径为110 m,设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要20 min.游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动t min后距离地面的高度为H m,则在转动一周的过程中,高度H关于时间t的函数解析式是(    )
    A. H=55cosπ10t-π2+65(0≤t≤20)
    B. H=55sinπ10t-π2+65(0≤t≤20)
    C. H=55cosπ10t+π2+65(0≤t≤20)
    D. H=55sinπ10t+π2+65(0≤t≤20)
    3. 一观览车的主架示意图如图所示,其中O为轮轴的中心,距地面32m(即OM长),巨轮的半径为30m,AM=BP=2m,巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置,经过t分钟,该吊舱P距离地面的高度为h(t)m,则h(t)=(    )

    A. 30sin(π12t-π2)+30 B. 30sin(π6t-π2)+30
    C. 30sin(π6t-π2)+32 D. 30sin(π6t-π2)
    4. 如图,重庆欢乐谷的摩天轮被称为“重庆之眼”,其旋转半径为50米,最高点距离地面120米,开启后按逆时针方向旋转,旋转一周大约18分钟.将摩天轮看成圆面,在该平面内,以过摩天轮的圆心且垂直于地平面的直线为y轴,该直线与地平面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系,某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱,摩天轮开始启动,并记该时刻为t=0,则此人距离地面的高度f(t)与摩天轮运行时间t(单位:分钟)的函数关系式为(    )

    A. f(t)=50sinπ9t+20(t≥0) B. f(t)=50sin(π9t-π2)+70(t≥0)
    C. f(t)=50sin(π9t-π2)+20(t≥0) D. f(t)=50sin(π9t-π)+70(t≥0)
    5. 一个半径为5米的水轮示意图,水轮的圆心O距离水面2米,已知水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈,水轮上的点P到水面的距离y(单位:米)与时间x(单位:秒)满足函数关系式y=Asin(ωx+φ)+2,A>0,ω>0,则有(    )

    A. A=5,ω=3π10 B. A=5,ω=10π3
    C. A=3,ω=2π15 D. A=3,ω=15π2
    6. 如图所示,质点P在半径为2的圆周上按逆时针方向运动,其初始位置为P0(2,-2),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为   (    )
    A.
    B.
    C.
    D.
    7. 为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的平面直角坐标系.设秒针针尖的位置为P(x,y),若初始位置为P032,12,当秒针针尖从P0(注:此时t=0)正常开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为.(    )
    A. y=sinπ30t+π6
    B. y=sin-π60t-π6
    C. y=sin-π30t+π6
    D. y=sin-π30t-π3
    8. 一观览车的主架示意图如图所示,其中O为轮轴的中心,距地面32m(即OM长),巨轮的半径长为30m,AM=BP=2m,巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈,若点M为吊舱P的初始位置,经过t分钟,该吊舱P距离地面的高度为(    )
    A. 30sinπ12t-π2+30 B. 30sinπ6t-π2+30
    C. 30sinπ6t-π2+32 D. 30sinπ6t-π2

    二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
    9. 水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如下图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A3,-33出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时120秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为x,y,其纵坐标满足y=f(t)=Rsin (ωt+φ)(t⩾0,ω>0,|φ|<π2).则下列叙述正确的是(    )
    A. φ=-π3
    B. 当t∈0,60时,函数y=ft单调递增
    C. 当t∈0,60时,点P到x轴的距离的最大值为33
    D. 当t=100时,PA=6
    10. 如图,摩天轮的半径为40m,其中心O点距离地面的高度为50m,摩天轮按逆时针方向做匀速转动,且20min转一圈,若摩天轮上点P的起始位置在最高点处,则摩天轮转动过程中(    )


    A. 经过10min点P距离地面10m
    B. 若摩天轮转速减半,则其周期变为原来的12倍
    C. 第17min和第43min时P点距离地面的高度相同
    D. 摩天轮转动一圈,P点距离地面的高度不低于70m的时间为203min
    11. 水车在古代是进行灌溉引水的工具,亦称“水转简车”,是一种以水流作动力,取水灌田的工具.据史料记载,水车发明于隋而盛于唐,距今已有1000多年的历史,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征,如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-33)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时120秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=R sin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,φ<π2),则下列叙述正确的是

    A. φ=-π3
    B. 当t∈(0,60]时,函数y=f(t)单调递增
    C. 当t=100时,PA=6
    D. 当t∈(0,60]时,f(t)的最大值为33
    12. 一半径为4米的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面2米,已知水轮每60秒逆时针转动一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时,则(    )
    A. 点P第一次到达最高点需要20秒
    B. 当水轮转动155秒时,点P距离水面2米
    C. 当水轮转动50秒时,点P在水面下方,距离水面2米
    D. 点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h=4sinπ30t+π6+2

    第II卷(非选择题)

    三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
    13. 如图所示,一个大风车的半径为8 m,每12 min旋转一周,最低点离地面2 m.若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是          .


    14. 2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国,作为主要战场的武汉,仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院,再次体现了中国速度.随着疫情发展,某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院,其占地是一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400m的等腰三角形组成的图形(如图所示),为使占地面积最大,则等腰三角形的底角为            .
    15. 如下图所示,某公司计划建造一座滨海公园,直线l1与l2均为海岸沿线,▵AOB是以∠O为直角的直角三角形,线段AB为“滨海栈桥”,线段OA将建成“阳光沙滩沿线”,线段OB将建成“灯塔沿线”.现要求“滨海栈桥”长度维持在5km不变的基础上,可适当调整“阳光沙滩沿线”与“灯塔沿线”的设计长度0
    16. 如图所示,一个半径为4米的筒车绕其轴心O按逆时针方向匀速转动,每旋转1周恰需要30秒,轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位:米,W在水面下时d为负数).将盛水筒W上浮到水面的一点设为起始位置,则d与时间t(单位:秒)之间的关系为d=Asinωt+φ+K(A>0,ω>0,-π2<φ<π2),确定A、ω、φ、K的值,则d=          .



    四、解答题(本大题共6小题,共72.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17. (本小题12.0分)
    游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转,其中心O距离地面40.5m,半径40m(示意图如下),游客从最低点处登上摩天轮,其与地面的距离随着时间而变化,已知游客将在登上摩天轮后30分钟到达最高点,自其登上摩天轮的时刻起,

    (1)求出其与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式;
    (2)若距离地面高度超过20.5m时,为“最佳观景时间”,那么在乘坐一圈摩天轮的过程中,该游客大约有多少“最佳观景时间”?
    18. (本小题12.0分)
    如图所示,一个水轮的半径为6m,水轮圆心O距离水面3m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上的点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间.

    (1)求动点P距水面的高度z(单位:米(m))与时间t(单位:秒(s))的函数关系(z与t满足正弦函数模型z=Asin(ωt+φ)+B);
    (2)在水轮的一圈转动中,求点P露出水面的时长?
    19. (本小题12.0分)
    如图,摩天轮的半径为50m,圆心O距地面的高度为65m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动,每30min转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱.

    (1)游客进入摩天轮的舱位,开始转动tmin后,他距离地面的高度为h,求h关于t的函数解析式;
    (2)已知在距离地面超过40m的高度,游客可以观看到游乐场全景,那么在摩天轮转动一圈的过程中,游客可以观看到游乐场全景的时间是多少?
    20. (本小题12.0分)
    一个半径为2米的水轮如图所示,其圆心O距离水面1米,已知水轮按逆时针匀速转动,每4秒转一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P ​0)开始计算时间.

    (1)以过点O且与水面垂直的直线为y轴,过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,试将点P距离水面的高度h(单位:米)表示为时间t(单位:秒)的函数;
    (2)在水轮转动的任意一圈内,有多长时间点P距水面的高度超过2米?
    21. (本小题12.0分)
    筒车是我国古代发明的一种水利灌概工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用,现有一个筒车按逆时针方向匀速转动.每分钟转动5圈,如图,将该简车抽象为圆O,筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P,已知圆O的半径为4m,圆心O距离水面2m,且当圆O上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.

    (1)根据如图所示的直角坐标系,将点P到水面的距离h(单位:m,在水面下,h为负数)表示为时间t(单位:s)的函数,并求t=13时,点P到水面的距离;
    (2)在点P从P0开始转动的一圈内,点P到水面的距离不低于4m的时间有多长?
    22. (本小题12.0分)
    如图所示,一个摩天轮的半径为10 m,轮子的底部在地面上2 m处,如果此摩天轮按逆时针转动,每30 s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.

    (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式;
    (2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m?
    答案和解析

    1.【答案】C 
    【解析】
    【分析】
    本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题.考查了运用三角函数的最值,周期等问题,以及确定函数的解析式.
    求出函数的解析式,再分析选项,即可得出结论.
    【解答】
    解:由题意,R=27+9=6,T=60=2πω,∴ω=π30,
    点A(33,-3),即t=0,代入可得-3=6sinφ,
    ∵|φ|<π2,∴φ=-π6,故A正确;
    f(t)=6sin(π30t-π6),
    当t∈[35,55]时,π30t-π6∈[π,53π],
    ∴点P到x轴的距离的最大值为6,故B正确;
    当t∈[10,25]时,π30t-π6∈[16π,2π3],函数y=f(t)先增再减,故C错误;
    当t=20时,π30t-π6=π2,P的纵坐标为6,|PA|=27+81=63,故D正确,
    故选:C.
      
    2.【答案】B 
    【解析】
    【分析】
    本题考查了三角函数模型应用问题,也考查了运算求解能力,是中档题.
    建立适当的直角坐标系,用坐标表示点P,建立高度H与t的函数关系式,从而求出对应的函数值.
    【解答】
    解:如图,设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心O为原点,与地面平行的直线为x轴,建立直角坐标系.

    设t=0min时,游客甲位于点P(0,-55),以OP为终边的角为-π2,
    根据摩天轮转一周大约需要20min,
    可知座舱转动的角速度约为,
    由题意可得H=55sin(π10t-π2)+65,0≤t≤20.
    故选B.
      
    3.【答案】B 
    【解析】
    【分析】
    本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质.
    由实际问题确定解析式中A的值以及函数的周期,从而求得ω,再由h(0)=0求得φ.
    【解答】
    解:设h(t)=Asin(ωt+φ)+k,
    易知最大值为60,最小值为0,
    所以A=60-02=30,又T=12以及T=2πω可得ω=π6,k=602=30,
    当t=0时,ht=0,所以φ=-π2;
    所以解析式为h(t)=30sin(π6t-π2)+30,
    故选B.
      
    4.【答案】B 
    【解析】
    【分析】
    本题考查求三角函数模型的解析式,考查实际应用能力,属于中档题.
    由题意,设f(t)=Asin (ωt+φ)+B(A>0,  ω>0),根据题意求出A,B,ω,φ即可.
    【解答】
    解:由题意,设f(t)=Asin (ωt+φ)+B(A>0,  ω>0),
    ∴-A+B=20A+B=120,⇒A=50B=70,
    ∵T=18,∴ω=2π18=π9,
    当t=0时,sin φ=-1,φ=-π2,
    ∴f(t)=50sin(π9t-π2)+70(t⩾0),
    故选B.
      
    5.【答案】A 
    【解析】
    【分析】
    本题主要考查求三角函数的解析式,三角函数的模型在实际生活中的应用,属于中档题.
    由题得到最大值,求得A的值,利用周期得到ω的值即可.
    【解答】
    解:由题目可知最大值为7,
    所以7=A×1+2,得A=5,
    由于水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈,
    所以T=203s,故ω=2πT=3π10.
      
    6.【答案】C 
    【解析】
    【分析】
    本题考查了三角函数模型的应用.
    由到x轴距离就是旋转角的正弦值的绝对值的两倍,再由初始位置是-π4,从而确定三角函数关系式d=|y|=2sint-π4.然后确定函数的图象.
    【解答】
    解:根据点P0的坐标可得∠xOP0=-π4,
    故∠xOP=t- π4.
    设点P(x,y),
    则由三角函数的定义,可得sin∠xOP=y2,
    即sin t-π4= y2,
    故y=2sint-π4,
    因此点P到x轴的距离d=|y|=2sin (t-π4),
    根据解析式可得C选项图像符合条件.
    故选C.
      
    7.【答案】C 
    【解析】
    【分析】
    本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的应用.
    易知函数的最小正周期T=60,可求出ω.再利用初始位置的坐标求出φ,问题得以解决.
    【解答】
    解:由题意,设y=Asin(ωx+φ),
    由题意知,函数的最小正周期T=60,
    ∴ω=-2π60=-π30,A=(12)2+(32)2=1,
    设函数解析式为y=sin(-π30t+φ)(0<φ<π2)(秒针是顺时针走动).
    又∵t=0时,初始位置为P032,12,
    ∴t=0时,y=12.
    ∴sinφ=12,∴φ=π6,
    ∴y=sin(-π30t+π6).
    故选C.
      
    8.【答案】B 
    【解析】
    【分析】
    本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,建立直角坐标系,
    由实际问题确定解析式中A的值以及函数的周期,从而求得ω,再由h(0)=0求得φ,即可求出结果,属于基础题.
    【解答】
    解:如图所示,以点M为坐标原点,以水平方向为x轴,以OM所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

    因为巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈,则转动的角速度为π6每分钟,
    经过t分钟之后,转过的角度为∠BOA=π6t,所以,在转动的过程中,点B的纵坐标满足:
    y=32-30sinπ2-π6t=30sinπ6t-π2+32
    则吊舱距离地面的距离h=30sinπ6t-π2+32-2=30sinπ6t-π2+30.
    故选B.
      
    9.【答案】AD 
    【解析】
    【分析】
    本题考查三角函数模型及函数y=Asinωx+φ的图象与性质,属于中档题.
    由已知求出R,ω,φ,得f(t)的解析式,然后利用正弦函数的性质逐一分析求解即可.
    【解答】
    解:∵A3,-33在圆上,∴圆的半径R=32+(-33)2=6,
    又T=120,∴ω=2π120=π60,
    所以f(t)=6sin(π60t+φ),
    由已知f(0)=-33,即-33=6sinφ,sinφ=-32,
    又|φ|<π2,所以φ=-π3,
    所以A正确,
    所以f(t)=6sin(π60t-π3),
    当t∈0,60时,π60t-π3∈[-π3,2π3],
    由正弦函数的性质知,f(t)在[0,60]上有增有减,
    所以B错误;
    当t∈0,60时,π60t-π3∈[-π3,2π3],
    则6sin(π60t-π3)∈[-33,6],
    即点P到x轴的距离的最大值为6,
    所以C错误;
    当t=100时,f(100)=6sin⁡4π3=-33,
    又P在圆上,
    所以P-3,-33,∴PA=6,
    ∴D正确.
    故选AD.
      
    10.【答案】ACD 
    【解析】
    【分析】
    本题考查三角函数的模型应用,考查三角函数的解析式的求解于应用,考查了三角不等式的求解,属于中档题.
    根据题意求出A、h、T和ω,得到在t时刻时点P离地面的高度h=40cosπ10t+50,t≥0.进而可确定各选项正误.
    【解答】
    解:由图形知,可以以点O为原点,OP所在直线为y轴,与OP垂直的向右的方向为x轴建立坐标系.

    设摩天轮按逆时针方向旋转tmin时,点P离地面的高度为hm.
    由题意A=40,T=20可得ω=2π20=π10,
    故点P离地面的高度h=40sin(π10t+π2)+50,
    即在t时刻时点P离地面的高度h=40sin(π10t+π2)+50,
    化简得h=40cosπ10t+50,t≥0.
    当t=10min时,h=10(m),故A正确;
    若摩天轮转速减半,T=40,则其周期变为原来的2倍,故B错误;
    第17min,P点距离地面的高度为h(17)=40cos17π10+50=40cos3π10+50;
    第43min,P点距离地面的高度为h(43)=40cos43π10+50=40cos3π10+50,
    第17min和第43min时P点距离地面的高度相同,故C正确;
    摩天轮转动一圈,P点距离地面的高度不低于70m,
    即40cosπ10t+50≥70,即cosπt10≥12,
    ∵0≤t≤20,得0≤πt10≤2π,
    ∴0≤πt10≤π3或5π3≤πt10≤2π,
    解得0≤t≤103或503≤t≤20,共203min,故D正确.
    故选ACD.  
    11.【答案】AC 
    【解析】
    【分析】
    本题考查三角函数模型的应用,考查三角函数的性质问题,属于中档题.
    由条件可求出f(t)=6sin⁡(π60t-π3),t⩾0,进而根据相关性质即可判断出各选项正误.
    【解答】
    解:由题意得R=32+-332=6,T=120=2πω,
    所以ω=π60.
    由A(3,-33)容易求出∠xOA=-π3,
    又|φ|<π2,所以φ=-π3,故选项A正确;
    此时f(t)=6sin⁡(π60t-π3),t⩾0.
    当t∈(0,60]时,π60t-π3∈(-π3,2π3],
    所以sin⁡(π60t-π3)∈(-32,1],
    于是f(t)∈(-33,6],因此f(t)max=6,故选项D错误;
    由于π60t-π3∈(-π3,2π3],
    因而f(t)=6sin⁡(π60t-π3),在t∈(0,60]上不单调递增,故选项B错误;
    当t=100时,yP=f(100)=6sin⁡(π60×100-π3)=-33,
    所以xP=-62-(-33)3=-3,即P(-3,-33),
    所以|PA|=6,故选项C正确.
    故选AC.  
    12.【答案】ABC 
    【解析】
    【分析】
    本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    设点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)依题意可知f(t)的最大值为6,最小为-2,可得A+B=6,-A+B=-2,解得A,B.60=2πω,解得ω.当t=0时,f(t)=0,得sinφ求出φ,可得所求的函数关系式为f(t).进而对各个选项依次判断即可.
    【解答】
    解:设点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为
    f( t)= Asin(ω t+φ)+ B( A>0,ω>0,|φ|<π2)
    依题意可知f(t)的最大值为6,最小为-2,
    ∴A+B=6,-A+B=-2,解得A=4,B=2.
    2πω=60,解得ω=π30.
    ∴f(t)=4 sin(π30t+φ)+2,
    当t=0时,f(t)=0,得sinφ=-12,|φ|<π2,φ=-π6,
    故所求的函数关系式为f(t)=4 sin(π30t-π6 )+2, D错误,
    令4 sin(π30t-π6 )+2 =6,
    可得:sin(π30t-π6)=1,
    ∴π30t-π6=π2,解得t=20.
    点P第一次到达最高点要20s时间.A正确,
    f(155)=f(35)=4sin⁡(π30×35-π6)+2=2,B正确;
    f(50)=4sin⁡(π30×50-π6)+2=-2,C正确.
    故选ABC.
      
    13.【答案】 h(t)=-8cosπ6t+10(t≥0) 
    【解析】
    【分析】
    本题考查三角函数在实际问题中的应用,利用三角函数的特征,可设 h(t)= y(t)+2,y(t)=-8cos θ+8,利用函数的周期以及y(0)=0求出θ与时间t的关系即可.
    【解答】
    解:首先考虑建立直角坐标系,以最低点的切线作为x轴,最低点作为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.

    那么,风车上翼片端点P所在位置可由函数x(t),y(t)来刻画,而且 h(t)= y(t)+2,所以只需要考虑y(t)的解析式.
    又设P的初始位置在最低点,即y(0)=0.
    在Rt△O1PQ中,cos θ=8-y(t)8,所以y(t)=-8cos θ+8.
    而2π12=θt,∴θ=π6t,
    所以y(t)=-8cosπ6t+8(t≥0),
    则h(t)=-8cosπ6t+10(t≥0).
    故答案为h(t)=-8cosπ6t+10(t≥0).
      
    14.【答案】π8 
    【解析】
    【分析】
    本题考查了三角形面积公式的应用、二倍角公式和三角函数的最值,属于中档题.
    可先求出4个三角形的面积,再求出正方形的边长进而得到面积,最后得到答案.
    【解答】
    解:设等腰三角形的底角为α,
    由三角形的面积公式可得4个等腰三角形的面积和为:
    4×12×800cos⁡α×400sinα=320000sin⁡2α,
    可得正方形边长为800cosα,
    故正方形面积为(800cosα)2=640000cos2α=320000(1+cos2α),
    所以所求占地面积为:
    320000(1+cos⁡2α+sin⁡2α)=320000[2sin⁡(2α+π4)+1],
    所以当2α+π4=π2,即α=π8时,占地面积最大,此时底角为π8.
    故答案为π8.
      
    15.【答案】303 
    【解析】
    【分析】
    本题考查三角函数模型的实际应用,属于中档题. 
    设∠ABO=θ,该公司日均盈利为fθ万元,利用辅助角公式结合正弦型函数的性质可求得fθ取最大值时θ满足的条件,结合诱导公式可求得OB的长.
    【解答】
    解:设∠ABO=θ,则OA=ABsinθ=5sinθ,OB=ABcosθ=5cosθ,
    设该公司日均盈利为fθ万元,
    则fθ=10sinθ+25cosθ,其中0<θ<π2,
    所以fθ=10sinθ+25cosθ=30sinθ+φ,其中φ为锐角,且tanφ=2,
    由tanφ=sinφcos φ=2sin2φ+cos2φ=1cosφ,sinφ>0,解得sinφ=63,
    因为0<θ<π2,则φ<θ+φ<π2+φ,
    故当θ+φ=π2时,fθ取最大值,
    此时OB=5cosθ=5cosπ2-φ=5sinφ=5×63=303.
    故答案为303.
      
    16.【答案】4sinπ15t-π6+2﹒ 
    【解析】
    【分析】
    本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与应用问题,理解函数解析式中参数的物理意义,是解题的关键,属于中档题.
    根据d的最大值和最小值列方程组可求A和K,根据周期为30秒可求ω,根据t=0时,d=0即可计算φ﹒
    【解答】
    解:由题意,d=Asin (ωt+φ)+K,
    由图可知d的最大值为6,最小值为-2,即A+K=6-A+K=-2,解得A=4,K=2,
    ∵每30秒转1圈,∴周期T=2πω=30,∴ω=π15,
    ∴d=4sinπ15t+φ+2,
    依题意,可知当t=0时,d=0,即0=4sinφ+2,可得sinφ=-12,
    ∵-π2<φ<π2,∴φ=-π6﹒
    ∴d=4sinπ15t-π6+2﹒
      
    17.【答案】解:
    (1)设h(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),
    则A=40,b=40.5,
    所以h(t)=40sin(ωt+φ)+40.5(ω>0),
    第一次到最高点旋转了半周期,
    所以T=60min⇒ω=2πT=π30(rad/min),
    游客从最低点登上,所以φ=-π2,
    故h(t)=40sin(π30t-π2)+40.5(t≥0),
    (或h(t)=-40cosπ30t+40.5(t≥0)).
    (2)令h(t)>20.5,
    则40sin(π30t-π2)+40.5>20.5
    ⇒sin(π30t-π2)>-12(或cosπt30<12),
    所以-π6+2kπ<π30t-π2<7π6+2kπ
    ⇒π3+2kπ<π30t<5π3+2kπ(k∈Z),
    ⇒10+60k 所以(50+60k)-(10+60k)=40min,
    因此,在乘坐一圈摩天轮的过程中,
    该游客大约有40min最佳观景时间. 
    【解析】本题主要考查了三角函数的实际应用,属于中档题.
    (1)设h(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),根据已知条件求出A、ω、φ的值,可得出函数h(t)的解析式;
    (2)解不等式h(t)>20.5,即可得解.

    18.【答案】解:(1)建立如图所示的直角坐标系,设角φ∈-π2,0是以Ox为始边,OP0为终边的角,
    OP每秒钟所转过的角为5×2π60=π6,则OP在时间t内所转过的角为π6t,
    由题意可知水轮逆时针转动,得z=6sin(π6t+φ)+3,
    当t=0时,z=0,得sinφ=-12,即φ=-π6,
    故所求的函数关系式为z=6sin(π6t-π6)+3(t⩾0).

    (2)由点P露出水面,即z>0.
    即z=6sin(π6t-π6)+3>0,
    可得sin(π6t-π6)>-12
    解得:-π6+2kπ<π6t-π6<7π6+2kπ,k∈Z,
    ∴12k (8+12k)-12k=8.
    ∴在水轮转动的一圈内,有8s的时间点P露出水面. 
    【解析】本题考查在实际问题中建立三角函数模型,考查三角函数的最值,周期,解析式,为中档题.
    (1)先建立直角坐标系,则z=Asin(ωx+φ)+B,根据z的最大和最小值求得A和B,利用周期求得ω,当x=0时,z=0,进而求得φ的值,则函数的表达式可得;
    (2)由于最大值为6,即z=6sinπ6t-π6+3>0可求得t的范围,得到所求.

    19.【答案】解:(1)由题意可知:设在时刻t(min)时点P距离地面的高度h=Asin(ωt+φ)+k.
    A=50,k=65,T=30,∴ω=2π30=π15,
    即h=50sin(π15t+φ)+65.
    又∵t=0时,h=15,∴50sinφ+65=15,解得φ=-π2,
    ∴h=50sin (π15t-π2)+65.
    (2)由(1)知,h=50sin(π15t-π2)+65=-50cos⁡π15t+65,
    -50cos⁡π15t+65⩾40,化为:cos⁡π15t⩽12.
    ∴π3⩽π15t⩽5π3,解得5≤t≤25.
    ∴在距离地面超过40m的高度,游客可以观看到游乐场全景,那么在摩天轮转动一圈的过程中,游客可以观看到游乐场全景的时间是:20min. 
    【解析】本题考查了三角函数的解析式及其图象与性质、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    (1)由题意可知:设在时刻t(min)时点P距离地面的高度h=Asin(ωt+φ)+k,A=50,k=65,T=30,可得ω.再根据t=0时h=15,解得φ,即可得出h关于t的函数解析式;
    (2)h≥40,解出即可得出.

    20.【答案】解:(1)如图,设水轮与x轴正半轴交点为A,y轴与水面交点为B.

    根据题意,设 h=asin(ωt+φ)+b  ,
    a=r=2,b=OB=1,
    ∠BOP0=π3,φ=-π6,
    因为函数 h=asinωt+φ+b的最小正周期 T=4,所以ω=2π4=π2,
    点P距离水面的高度h(单位:米)表示为时间t(单位:秒)的函数是
    h=2sin(π2t-π6)+1(t⩾0).
    (2)根据题意,h=2sin(π2t-π6)+1>2,sin(π2t-π6)>12 ,
    不妨设 t∈[0,4],则-π6⩽π2t-π6⩽11π6,
    所以π6<π2t-π6<5π6,
    解得,23 所以,在水轮转动的任意一圈内,点P距水面的高度超过2米的时间有43秒.
     
    【解析】本题考查三角函数模型应用问题,考查运算求解能力,属于中档题.
    (1)设水轮与x轴正半轴交点为A,y轴与水面交点为B,建立三角函数关系式表示高度h关于时间t的函数;
    (2)由h关于t的函数,令h≥2,求出t∈[0,4]时的取值范围,再计算有多长时间即可.

    21.【答案】解:(1)设P(x,y),则点P到水面的距离h=2+y;                      
    由题可知,OP0与Ox的夹角为π6;                          
    OP在时间t转过的角度为5×2π60×t=π6t;                        
    由图可知,点P的纵坐标y=4sin(-π6+π6t);                 
    因此,则点P到水面的距离h=2+y=4sin(π6t-π6)+2;         
     当t=13时,h=4sin(π6×13-π6)+2=2,所以点P到水面的距离为2m;
    (2)根据题意,点P到水面的距离不低于4m,应满足:
    4sin(π6t-π6)+2≥4,得sin(π6t-π6)≥12.                            
    因为筒车转动一圈需要12秒,从P0开始转动一圈,则0≤t≤12,
    得-π6≤π6t-π6≤11π6 
    因此π6≤π6t-π6≤5π6  ,解得2≤t≤6.                                 
    因此在点P从P0开始转动的一圈内,点P到水面的距离不低于4m的时间有4s. 
    【解析】本题考查三角函数的实际应用,属于一般题.
    (1)求出点P的纵坐标,即可得点P到水面的距离h与时间t的函数,令t=13即可求此时点P到水面的距离;
    (2)解4sin(π6t-π6)+2≥4即可判断.

    22.【答案】解:(1)设在t s时,摩天轮上某人在高h m处.
    这时此人所转过的角为2π30t=π15t,
    故在t s时,此人相对于地面的高度为h=10sinπ15t+12(t≥0).
    (2)由10sinπ15t+12≥17,
    得sinπ15t≥12,则52+30k≤t≤252+30k,k∈N.
    故在摩天轮转动的一圈内,此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m. 
    【解析】本题考查三角函数模型,属于中档题.
    (1)根据已知条件,运用待定系数求出h=10sinπ15t+12(t⩾0);
    (2)由10sinπ15t+12⩾17,解得t的范围,即可得到答案.

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