高中数学北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用复习练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用复习练习题，共9页。试卷主要包含了 tan5 +°ct5 -°，已知 sin ，已知 f - 3等内容，欢迎下载使用。


《二倍角的三角函数》同步测试
1．已知 450 °＜ α＜ 540 °，则 cs2 等于（ ）
A． -sin
2
B． cs
2
C． sin D． -cs
2 2
解析： cs2 cs2 , sin 2 ，
原式 = cs2 ，∵ 450 °< α<540 °，
∴csα<0．
∴原式 = cs
sin 2 ．
∵450°< α<540°，∴ 225°< <270 °．
2
∴sin <0．
2
∴原式 = sin 2 =-sin ．
答案： A
2．已知 θ为第三象限角， sin4 θ+cs4 θ= ，那么 sin2 θ等于（ ） 9
2 2
C． D．
3 3
解析： sin4 θ+cs4 θ= （sin2 θ+cs2 θ） 2-2sin2 θ·cs2 θ= ，
2 2
2 2
A．
3
B．
3
∴2sin2 θs2 θ= ， sin22 θ= ．
∴sin2 θ= ．
3
答案： B
3．设 5 π＜ θ＜ 6 π， cs =a，则 2
θ为第三象限角，
sin 的值等于（ 4
sin θ＜ 0， cs θ＜ 0， sin2 θ＞ 0，
）
．
．
4
2
C． D．
2
5 5 3
4
0．
解析： 原式 = sin5
sin 2 5
= sin \l "_bkmark1" 5
cs5
cs2 5 cs5
答案： 0
5．已知 tan2 θ= 2
解： tan2 θ= 2 2，
cs5
sin 5
2
sin 10
2
sin10
1
1 sin 10 2
2
sin 10
2cs2 sin
2 ， ＜ 2 θ＜ π，求 2
2 2 sin(
2tan 2 2，
1 tan2
1
的值．
)
A
B
1 a
2
1 a
2
1 a 1 a
2 2
解析： ∵5 π＜ θ＜ 6 π，
∴ ＜ ＜3 π， ＜ ＜ ．
2 2 4 4 2
∴ sin
答案： D
1 cs 2 1 a ．故 D 正确．
2 2
cs80
4． tan5 +°ct5 -°
=_____________．
∵2tan θ= 2 2 （1-tan2 θ），
则 2 tan2 θ-tan θ- 2 =0，
∴（ tan θ- 2 ）（ 2 tan θ+1） =0．
∴tan θ= 2 或 tan θ= （舍） ．
2
（∵ ＜2 θ＜ π，∴ ＜ θ＜ ）
2 4 2
4
3
7 7
7
3 4
1
7 2
10
7 2 7
3(1 tan Atan B)
1 tan Atan B
3
6．在△ABC 中， tanA+tanB+
3 3 tanAtanB 且 sinAcsA= ，试判断三角形的形状．
2
4
2cs2 1
原式 =
2 sin(
sin
)
cs sin 1 tan
cs sin 1 tan
3 2 2．
解： 由 sinAcsA= ，得
4
1 3 3
sin2A= ，即 sin2A= ，
2 4 2
∴2A=60°或 120°．
∴A=30°或 60°．
又由 tanA+tanB= 3 （1-tanAtanB），得
tan（A+B） = 3．
∴A+B=120°．
当 A=30°时， B=90°， tanB 无意义，
∴A=60°， B=60°，
即三角形为等边三角形．
7．已知 sin （ α- ） = ， cs2 α= ，求 sinα及 tan （ α+ ）． 4 10 25 3
又由 cs2α= 得 cs2 α-sin2 α= ，
25 25
即（ csα+sin α） （cs α-sin α） = ．
25
∴csα+sin α= ．
5
由①②得 sin α= ， cs α= ．
5 5
（sin α-csα） = ，
①
②
4 10
7
7 2
解： 由 sin （ α ） = ，得
即 sin α-cs α= ．
5
2
2
tan（ α+ ） =tan α+
1
3
．
1
5 7 11
5 7 11
3 3
2
3
∴tanα= ．
4
3
tan 3 3 4
3 1 3 tan 3 3
4
4 3 3 48 25 3
4 3 3 11
8．已知 f （x） =2sin （x+ ） cs （x+ ） +2 3 cs2 （x+ ） - 3．
2 2 2
（ 1）化简 f （x）的解析式；
（2）若 0≤θ≤π， 求使函数 f （x）为奇函数的 θ值；
（ 3）在（ 2）的条件下，求满足 f （x） =1， x∈［ - π， π］的 x 的取值集合．
解： （1） f （x） =sin （2x+ θ） + 3 ［1+cs （2x+ θ）］ - 3
=sin （2x+ θ） + 3 cs（2x+ θ）
=2sin （2x+ θ+ ）．
（2）若 f （x）为奇函数，则当 x=0 时， f （x） =0，
即 θ+ =k π（ k∈Z）．∴ θ= k ．
又∵ 0≤θ≤，π ∴ θ= ．
3
（ 3）此时 f （x） =2sin （2x+π） =-2sin2x，
由 f （x） =1
当 x∈［ - π，
得 sin2x= ．
2
π］时， 2x∈［ -2 π， 2 π］，
∴2x= , , ,
6 6 6 6
∴x 的取值集合为 { ,
12
．
, , }．
12 12 12
9．有一块半径为 R、中心角为 45°的扇形铁皮材料，为了截取面积最大的矩形铁皮，工
人师傅常将矩形的一边放在扇形的半径上， 然后作其最大的内接矩形． 你能帮工人师傅设计
一方案，选出矩形的四点吗 ?
解： 如图，设∠ POA= θ，则 PN= Rsin θ．
=
2 4
OM=QM =PN= Rsin θ， ON = Rcs θ．
MN =ON -OM =Rcs θ-Rsin θ．
则 S 矩形 PQMN =MN ·PN
=R（cs θ-sin θ） ·Rsin θ
=R2 （sin θcs θ-sin2 θ）
1 2 = R （sin2 θ-1+cs2 θ）
2
2 R2 ［sin （2 θ+ ）
2
］．
2
当 2 θ+ ，即 θ= 时， S 矩形 PQMN 最大且最大值为
4 2 8
2 1 2
R ．
2
因此可以这样选点，以扇形一半径 OA 为一边在扇形上作∠ AOP= ， P 为边 OP 与扇
8
形的交点， 自 P 作 PN⊥OA 于 N， PQ ∥OA 交 OB 于 Q， 若作 QM⊥ OA 于 M， 则矩形 MNPQ
为所求的面积最大的矩形．