高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用3 从速度的倍数到向量的数乘本节综合与测试随堂练习题

第二章　平面向量及其应用

§3　从速度的倍数到向量的数乘

基础过关练

题组一　向量数乘运算及运算律

1.若a=-b(b≠0),则(　　)

A.a和b方向相同,|a|=2|b|

B.a和b方向相同,|b|=2|a|

C.a和b方向相反,|a|=2|b|

D.a和b方向相反,|b|=2|a|

2.已知向量a与b方向相反,且|a|=r,|b|=R,b=λa,则λ的值等于(　　)

A. B.- C.-  D.

3.设m是非零向量,μ是非零实数,下列结论中正确的是(　　)

A.m与μm的方向相反 B.m与μ2m的方向相同

C.|-μm|≥|m| D.|-μm|≥|μ|m

4.已知M为△ABC的边AB的中点,△ABC所在平面内有一点P,且满足=+,若||=λ||,则λ的值为(　　)

A.2 B.1 C.  D.4

题组二　向量的线性运算

5.-=(　　)

A.a-b+2c B.5a-b+2c

C.a+b+2c D.5a+b

6.若2-(b+c-3x)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则向量x=　　　　　　　　. 

7.

如图所示,在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=　　　　.(用a,b表示) 

题组三　共线(平行)向量基本定理及应用

8.已知向量a,b为不共线的向量,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　)

A.A,B,D B.A,B,C

C.B,C,D D.A,C,D

9.已知a,b为不共线的向量,向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于(　　)

A.10 B.-10 C.2 D.-2

10.设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则(　　)

A.P,A,C三点共线 B.P,A,B三点共线

C.P,B,C三点共线 D.以上均不正确

11.已知向量a=c,b=c+a,求证:a∥b.

题组四　直线的向量表示

12.已知O、A、B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则(　　)

A.点P在线段AB上

B.点P在线段AB的延长线上

C.点P在线段AB的反向延长线上

D.点P在射线AB上

13.

(2020吉林长春第二中学高一下期末)如图,P为△ABC内一点,且=+,延长BP交AC于点E,若=λ,则实数λ的值为　　　　. 

14.(2020四川绵阳中学高二上学期期中)已知▱ABCD的两条对角线AC与BD交于点E,O是平面内任意一点,请探究+++与的关系,并证明.

能力提升练

题组一　向量的线性运算

1.()四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD是(　　)

A.梯形 B.平行四边形

C.菱形 D.矩形

2.()如图所示,向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3.设=p,=q,=r,则以下等式中成立的是(　　)

A.r=-p+q B.r=-p+2q

C.r=p-q D.r=-q+2p

3.()如图所示,在任意四边形ABCD中,E为AD的中点,F为BC的中点.请探究向量+与向量是否平行,并说明理由.

题组二　共线(平行)向量基本定理及应用

4.(2019陕西西安高一期末,)在△ABC中,O为其内部一点,且满足++3=0,则△AOB和△AOC的面积比是(　　)

A.3∶4 B.3∶2 C.1∶1 D.1∶3

5.(2019广东汕头高一期末,)已知a,b是不共线的向量, =λa+b, =a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件为(　　)

A.λ+μ=2 B.λ-μ=1

C.λμ=-1  D.λμ=1

6.()设e1与e2是两个不共线的向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则实数k的值为(　　)

A.-  B.-2  C.2  D.

7.()设a,b是两个不共线的非零向量,记=a,=tb(t∈R),=(a+b),那么当实数t为何值时,A,B,C三点共线?

题组三　直线的向量表示

8.()已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=,则P一定为△ABC的(　　)

A.AB边中线的三等分点(非重心)

B.AB边的中点

C.AB边中线的中点

D.重心

9.(2020四川双流中学高二上学期入学考试,)已知A、B、P是直线l上三个相异的点,平面内的点O∉l,若正实数x、y满足4=2x+y,则+的最小值为　　　　. 

10.()如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段OB上一个靠近点B的三等分点,设=a,=b.

(1)用向量a与b表示向量,;

(2)若=,求证:C,D,E三点共线.

答案全解全析

§3　从速度的倍数到

向量的数乘

基础过关练

1.D 2.C 3.B 4.A 5.A

8.A 9.C 10.A 12.D 

1.D　∵a=-1/2b(b≠0),-1/2<0,∴a和b方向相反,且|a|=|"-"  1/2 b|=1/2|b|,∴|b|=2|a|.故选D.

2.C　∵b=λa,|a|=r,|b|=R,∴|b|=|λ||a|.

又a与b方向相反,∴λ=-R/r.

3.B　当μ>0时,m与μm的方向相同,当μ<0时,m与μm的方向相反,A错误;由于μ2>0,故m与μ2m的方向相同,B正确;|-μm|=|-μ||m|,由于|-μ|与1的大小关系不确定,故|-μm|与|m|的大小关系不确定,C错误;|μ|m是向量,而|-μm|表示长度,两者不能比较大小,D错误.

4.A　由(PC) ⃗=(PA) ⃗+(PB) ⃗,可得四边形PACB是平行四边形,又M为△ABC的边AB的中点,∴PC=2PM,又∵|(PC) ⃗|=λ|(PM) ⃗|,∴λ=2.故选A.

5.A　(3a+1/2 b+c)-(2a+3/4 b"-" c)=(3a-2a)+(1/2 b"-"  3/4 b)+(c+c)=a-1/4b+2c.故选A.

6.答案　4/21a-1/7b+1/7c

解析　由题知2x-2/3a-1/2b-1/2c+3/2x+b=0,∴7/2x=2/3a-1/2b+1/2c,

∴x=4/21a-1/7b+1/7c.

7.答案　1/4b-1/4a

解析　(MN) ⃗=(MB) ⃗+(BA) ⃗+(AN) ⃗=-1/2 (BC) ⃗+(BA) ⃗+3/4((AB) ⃗+(AD) ⃗)=-1/2b-a+3/4(a+b)=1/4b-1/4a.

8.A　(BD) ⃗=(BC) ⃗+(CD) ⃗=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2(a+2b)=2(AB) ⃗,又(BD) ⃗与(AB) ⃗有公共点B,所以A,B,D三点共线.故选A.

9.C　∵A,B,D三点共线,∴存在实数λ,使得(AB) ⃗=λ(BD) ⃗=λ((CD) ⃗-(CB) ⃗),∴a-kb=λ(3a-b-2a-b)=λ(a-2b),

∴(1-λ)a+(2λ-k)b=0,∴{■(1"-" λ=0"," @2λ"-" k=0"," )┤解得{■(λ=1"," @k=2"." )┤

10.A　在△ABC中,取AC的中点D,则(BC) ⃗+(BA) ⃗=2(BD) ⃗,∴2(BD) ⃗=2(BP) ⃗,∴D和P重合,即P为线段AC的中点,∴P,A,C三点共线.故选A.

11.证明　∵a=1/2c,∴c=2a,

∴b=2/3c+a=4/3a+a=7/3a,

∴a∥b.

12.D　由(OP) ⃗=(OA) ⃗+(AB) ⃗/("|" (AB) ⃗"|" ),得(OP) ⃗-(OA) ⃗=(AB) ⃗/("|" (AB) ⃗"|" ),即(AP) ⃗=(AB) ⃗/("|" (AB) ⃗"|" ),当0<1/("|" (AB) ⃗"|" )≤1时,点P在线段AB上,当1/("|" (AB) ⃗"|" )>1时,点P在线段AB的延长线上,所以点P在射线AB上,

故选D.

13.答案　3/10

解析　由(AE) ⃗=λ(AC) ⃗,得(AC) ⃗=1/λ (AE) ⃗,可得出(AP) ⃗=1/3 (AB) ⃗+1/5λ (AE) ⃗,由于B、P、E三点共线,∴1/3+1/5λ=1,解得λ=3/10,故答案为3/10.

14.解析　(OA) ⃗+(OB) ⃗+(OC) ⃗+(OD) ⃗=4(OE) ⃗.

证明:∵E是对角线AC和BD的交点,

∴(AE) ⃗=(EC) ⃗=-(CE) ⃗ ,(BE) ⃗=(ED) ⃗=-(DE) ⃗.

又(OA) ⃗+(AE) ⃗=(OE) ⃗,(OB) ⃗+(BE) ⃗=(OE) ⃗ ,

(OC) ⃗+(CE) ⃗=(OE) ⃗ ,(OD) ⃗+(DE) ⃗=(OE) ⃗,

∴(OA) ⃗+(AE) ⃗+(OB) ⃗+(BE) ⃗+(OC) ⃗+(CE) ⃗+(OD) ⃗+(DE) ⃗=4(OE) ⃗,

∴(OA) ⃗+(OB) ⃗+(OC) ⃗+(OD) ⃗=4(OE) ⃗.

能力提升练

1.B 2.A 4.D 5.D 6.A

8.A    

1.B　在四边形ABCD中,因为(AB) ⃗=a+2b,(DC) ⃗=(BC) ⃗-(BD) ⃗=-4a-b-(-5a-3b)=a+2b,

所以(AB) ⃗=(DC) ⃗,所以四边形ABCD为平行四边形.不能判断平行四边形ABCD是不是菱形或矩形.故选B.

2.A　∵(AC) ⃗=-3(CB) ⃗=3(BC) ⃗,

∴(BC) ⃗=1/3 (AC) ⃗,(OC) ⃗=(OB) ⃗+(BC) ⃗=(OB) ⃗+1/3((OC) ⃗-(OA) ⃗),

即r=q+1/3(r-p),∴r=-1/2p+3/2q.

3.解析　平行,理由如下:

连接AF、DF,∵F是BC的中点,∴(BF) ⃗+(CF) ⃗=0,

∴(AB) ⃗+(DC) ⃗=(AB) ⃗+(DC) ⃗+((BF) ⃗+(CF) ⃗)=((AB) ⃗+(BF) ⃗)+((DC) ⃗+(CF) ⃗)=(AF) ⃗+(DF) ⃗.

∵E是AD的中点,∴(AE) ⃗+(DE) ⃗=0.

又∵(AF) ⃗=(AE) ⃗+(EF) ⃗,(DF) ⃗=(DE) ⃗+(EF) ⃗,

∴(AB) ⃗+(DC) ⃗=(AF) ⃗+(DF) ⃗=((AE) ⃗+(EF) ⃗)+((DE) ⃗+(EF) ⃗)=(AE) ⃗+(DE) ⃗+2(EF) ⃗=2(EF) ⃗.

∴向量(AB) ⃗+(DC) ⃗与向量(EF) ⃗平行.

4.D　如图所示,在△ABC中,设M为AC边的中点,则(OA) ⃗+(OC) ⃗=2(OM) ⃗,又(OA) ⃗+(OC) ⃗+3(OB) ⃗=0,所以2(OM) ⃗=-3(OB) ⃗,从而可得B,O,M三点共线,且2OM=3BO.由2OM=3BO可得,S_("△" AOC)/S_("△" ABC) =OM/BM=3/5,所以S△AOB+S△BOC=2/5S△ABC,又S△AOB=S△BOC,所以S△AOB=1/5S△ABC,则S_("△" AOB)/S_("△" AOC) =1/3.故选D.

5.D　由A,B,C三点共线可得,(AB) ⃗∥(AC) ⃗,∴存在m∈R,使(AB) ⃗=m(AC) ⃗,∴λa+b=ma+mμb,即(λ-m)a=(mμ-1)b.

因为a,b不共线,

所以{■(λ=m"," @mμ"-" 1=0"," )┤故可得λμ=1.

反之,若λμ=1,则μ=1/λ.所以(AC) ⃗=a+1/λb=1/λ(λa+b)=1/λ (AB) ⃗,∴(AB) ⃗∥(AC) ⃗,又(AB) ⃗与(AC) ⃗有公共点A,∴A,B,C三点共线.故选D.

6.A　由A,B,D三点共线可得,必存在一个实数λ,使得(AB) ⃗=λ(BD) ⃗.

又(AB) ⃗=3e1+2e2,(CB) ⃗=ke1+e2,(CD) ⃗=3e1-2ke2,

所以(BD) ⃗=(CD) ⃗-(CB) ⃗=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,

所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,

所以{■(3=λ"(" 3"-" k")," @2="-" λ"(" 2k+1")," )┤解得{■(λ=4/7 "," @k="-"  9/4 "." )┤故选A.

7.解析　∵(OA) ⃗=a,(OB) ⃗=tb(t∈R),(OC) ⃗=1/3(a+b),∴(AB) ⃗=(OB) ⃗-(OA) ⃗=tb-a,

(AC) ⃗=(OC) ⃗-(OA) ⃗=1/3(a+b)-a=1/3b-2/3a.

∵A,B,C三点共线,

∴存在实数λ,使得(AB) ⃗=λ(AC) ⃗,

即tb-a=λ(1/3 b"-"  2/3 a).

由于a,b不共线,∴{■(t=1/3 λ"," @"-" 1="-"  2/3 λ"," )┤

解得{■(λ=3/2 "," @t=1/2 "." )┤

故当t=1/2时,A,B,C三点共线.

8.A　如图所示,延长CO交AB于D,∵O是△ABC的重心,

∴D为AB的中点,2(DO) ⃗=(OC) ⃗.

∴(OP) ⃗=1/3 (1/2 (OA) ⃗+1/2 (OB) ⃗+2(OC) ⃗ )=1/3((OD) ⃗+2(OC) ⃗)=1/3((OD) ⃗+4(DO) ⃗)=(DO) ⃗,∴P为AB边中线的三等分点(非重心).故选A.

 9.答案　(3+2√2)/4

解析　∵4(OP) ⃗=2x(OA) ⃗+y(OB) ⃗,

∴(OP) ⃗=x/2 (OA) ⃗+y/4 (OB) ⃗,

∵A、B、P是直线l上三个相异的点,

∴x/2+y/4=1,

又x>0,y>0,∴由基本不等式得1/x+1/y= 1/x+1/y  x/2+y/4 =x/2y+y/4x+3/4≥2•√(x/2y "•"  y/4x)+3/4=(3+2√2)/4,当且仅当y=√2x=4√2-4时,等号成立,

因此,1/x+1/y的最小值为(3+2√2)/4,故答案为(3+2√2)/4.

10.解析　(1)由题意得(AB) ⃗=(CA) ⃗.

∵(AB) ⃗=a,(AO) ⃗=b,∴(OC) ⃗=(OA) ⃗+(AC) ⃗=-b-a,

(CD) ⃗=(CB) ⃗+(BD) ⃗=(CB) ⃗+1/3 (BO) ⃗=(CB) ⃗+1/3((BA) ⃗+(AO) ⃗)=2a+1/3(-a+b)=5/3a+1/3b.

(2)证明:∵(CE) ⃗=(OE) ⃗-(OC) ⃗=4/5 (OA) ⃗+(CA) ⃗+(AO) ⃗=4/5(-b)+a+b=a+1/5b=3/5 (CD) ⃗,

∴(CE) ⃗与(CD) ⃗平行,又∵(CE) ⃗与(CD) ⃗有公共点C,∴C,D,E三点共线.