北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用2 从位移的合成到向量的加减法本节综合与测试课时作业

第二章　平面向量及其应用

§2　从位移的合成到向量的加减法

基础过关练

题组一　向量的加法运算

1.(2020重庆第一中学高一下学期月考)向量++=(　　)

A. B.

C. D.0

2.a表示向东走1 km,b表示向南走1 km,则a+b表示(　　)

A.向东走2 km

B.向南走2 km

C.向东南方向走2 km

D.向东南方向走 km

3.a、b、c均为非零向量,则向量(a+b)+c,b+(a+c),c+(a+b)和c+b+a中与向量a+b+c相等的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

4.(2020湖南长沙长郡中学高一第一学期第二次模块检测)如图所示,在平行四边形ABCD中,++等于(　　)

A. B. C. D.

5.(2020浙江衢州高一年级6月教学质量检测)如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,则++=(　　)

A.0 B.0 C. D.

6.已知O为空间中任意一点,且+=+,则四边形ABCD是(　　)

A.菱形 B.平行四边形

C.等腰梯形 D.矩形

7.在△ABC中,++=　　　　. 

8.已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则|a+b+c|等于　　　　. 

题组二　向量的减法运算

9.A、B、C为不在一条直线上的三点,若=a,=b,则=(　　)

A.a-b B.b-a

C.-a-b D.a+b

10.(2020北京第八中学高三上学期期中)化简--等于(　　)

A. B. C. D.

11.在边长为1的菱形ABCD中,求|--|.

题组三　向量加减法的混合运算

12.用三角形法则作两向量的和向量和差向量时,对两向量位置关系的要求是(　　)

A.都要“共起点”

B.加法要“首尾相接”,减法要“共起点”

C.都要“首尾相接”

D.加法要“共起点”,减法要“首尾相接”

13.化简-+-=(　　)

A. B. C. D.0

14.(2020山东滨州高一上学期期末)如图,在矩形ABCD中,O是两条对角线AC,BD的交点,则+-=(　　)

A. B. C. D.

15.(2020北京东城高一下学期期末)如图,向量=a,=b,=c,则向量可以表示为(　　)

A.a+b-c B.a-b+c

C.b-a+c D.b-a-c

16.四边形ABCD中,=,且|-|=|+|,则四边形ABCD是(　　)

A.梯形 B.菱形

C.矩形 D.正方形

17.(多选)(2020吉林五地六市联盟高一下学期期末)下列式子中正确的是(　　)

A.-= B.+=0

C.-= D.+-=

18.(2020安徽安庆一中高二上学期月考)下列等式:a+0=a,a+b=b+a,a+(-a)=0,a+(-b)=a-b中正确的个数是　　　　. 

19.(2020河南郑州外国语学校高一上学期期末)(1)化简:(-+)+(-);

(2)求|-+|.

20.如图,在▱ABCD中,=a,=b.

(1)用a,b表示,;

(2)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在的直线互相垂直?

(3)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?

(4)a+b与a-b有可能为相等向量吗?为什么?

21.(2020河南南阳一中高一下学期期末)如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且=a,=b,用a,b分别表示向量,,,.

能力提升练

题组一　向量加减运算

1.(2020福建福州高一上学期期末联考,)下列各式中不能化简为的是(　　)

A.(+)+ B.(+)+(+)

C.(+)- D.(-)+

2.(2020陕西宝鸡中学高一上学期期末,)已知非零向量 a与b反向,则下列等式中成立的是(　　)

A.|a|-|b|=|a-b| B.|a+b|=|a-b|

C.|a|+|b|=|a-b| D.|a|+|b|=|a+b|

3.(多选)(2020福建厦门大同中学高一上月考,)下列各式中结果为0的为(　　)

A.++ B.+++

C.-+- D.+-+

4.(2020江西临川第二中学高一下学期期末,)如图所示,O为△ABC内一点,直线AO交BC于D,直线BO交CA于E,直线CO交AB于F,=a,=b,=c,=d,=e,=f.连接DE,EF,FD.试用a,b,c,d,e,f表示下列向量.

(1);(2);(3)-;(4)+;(5)-.

题组二　向量加减法的综合应用

5.(2020安徽芜湖第一中学高一上月考,)在△ABC中,若|+|=||,则△ABC一定是(　　)

A.钝角三角形 B.锐角三角形

C.直角三角形 D.不能确定

6.(2020安徽江淮十校高三第一次联考,)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a-b的夹角为(　　)

A. B. C. D.

7.(2020江西南昌莲塘第一中学高一下期末,)命题:①若a∥b,则a+b必与a、b之一方向相同;②若非零向量a、b、c满足a+b+c=0,则以|a|、|b|和|c|为长度的三条线段必能构成三角形;③和实数的绝对值一样,向量亦满足|a+b|≤|a|+|b|.其中真命题有(　　)

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

8.(2019陕西咸阳高三第三次模拟考试,)已知圆的半径为1,A,B,C,D为该圆上的四个点,且+=,则△ABC面积的最大值为(　　)

A.1 B. C. D.2

9.(2020重庆巴蜀中学高三适应性考试,)已知O为四边形ABCD所在平面内的一点,且向量,,,满足等式+=+,若E为AC的中点,则=(　　)

A. B. C. D.

10.(2020河北衡水高三毕业班模拟演练,)已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上运动,且||=2,设||=x,||=y,若|-|=||,则x+y的最大值为(　　)

A.2 B.4 C.2 D.4

11.(2020河南信阳高中高一下月考,)若||=||=|-|=2,则|+|=　　　　. 

12.(2020陕西榆林二中高一上月考,)用向量法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.

答案全解全析

§2　从位移的合成到

向量的加减法

基础过关练

1.B 2.D 3.D 4.C 5.A

6.B 9.C 10.B 12.B 13.D

14.B 15.C 16.C 17.CD 

1.B　(AB) ⃗+(OC) ⃗+(BO) ⃗=(AB) ⃗+(BO) ⃗+(OC) ⃗=(AC) ⃗.

2.D　由向量加法的三角形法则和勾股定理知D正确.

3.D　向量的加法满足交换律,结合律,故选D.

4.C　(BC) ⃗+(DC) ⃗+(BA) ⃗=(BC) ⃗+((DC) ⃗+(BA) ⃗)=(BC) ⃗+0=(BC) ⃗.

5.A　∵(OA) ⃗+(OC) ⃗=(OB) ⃗,(OB) ⃗=(EO) ⃗,∴(OA) ⃗+(OC) ⃗+(OE) ⃗=(OB) ⃗+(OE) ⃗=0.

6.B　由已知得(AB) ⃗=(DC) ⃗,因此(AB) ⃗,(DC) ⃗的模相等,方向相同,即AB=DC,AB∥DC,所以四边形ABCD是平行四边形.故选B.

7.答案　0

解析　(AB) ⃗+(BC) ⃗+(CA) ⃗=(AC) ⃗+(CA) ⃗=0.

8.答案　2√2

解析　由题意得,a+b=c,且|c|=√2,

∴|a+b+c|=|2c|=2√2.

9.C　(AB) ⃗=-((BC) ⃗+(CA) ⃗)=-(a+b)=-a-b,故选C.

10.B　(AB) ⃗-(CB) ⃗-(AD) ⃗=(AB) ⃗+(BC) ⃗-(AD) ⃗=(AC) ⃗-(AD) ⃗=(DC) ⃗,故选B.

11.解析　∵(AB) ⃗-(CB) ⃗-(DC) ⃗=(AB) ⃗+(BC) ⃗+(CD) ⃗=(AD) ⃗,

∴|(AB) ⃗-(CB) ⃗-(DC) ⃗|=|(AD) ⃗|=1.

12.B　作向量的和向量时,要使两向量首尾相接,其和向量为由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量.作差向量时需要两向量共起点,其差向量是由减向量的终点指向被减向量的终点的向量.

13.D　由题意,根据向量的运算法则,可得(AC) ⃗-(BD) ⃗+(CD) ⃗-(AB) ⃗=((AC) ⃗+(CD) ⃗)-((AB) ⃗+(BD) ⃗)=(AD) ⃗-(AD) ⃗=0,故选D.

14.B　(AO) ⃗+(OD) ⃗-(AB) ⃗=(AD) ⃗-(AB) ⃗=(BD) ⃗,故选B.

15.C　依题意得(BD) ⃗=(BC) ⃗+(CD) ⃗=(AC) ⃗-(AB) ⃗+(CD) ⃗,即(BD) ⃗=b-a+c,故选C.

16.C　由于(AB) ⃗=(DC) ⃗,故四边形ABCD是平行四边形,∵|(AD) ⃗-(AB) ⃗|=|(BD) ⃗|,|(AD) ⃗+(AB) ⃗|=|(AC) ⃗|,∴由|(AD) ⃗-(AB) ⃗|=|(AD) ⃗+(AB) ⃗|得|(BD) ⃗|=|(AC) ⃗|,即该平行四边形的对角线相等,故四边形ABCD为矩形.

17.CD　(OA) ⃗-(OB) ⃗=(BA) ⃗,(AB) ⃗+(BA) ⃗=0,(AB) ⃗-(AC) ⃗=(CB) ⃗,(AB) ⃗+(BC) ⃗-(DC) ⃗=(AC) ⃗+(CD) ⃗=(AD) ⃗,故选CD.

18.答案　3

解析　a+0=a正确;根据向量加法的交换律得a+b=b+a,正确;a+(-a)=0≠0;a+(-b)=a-b,正确.

故正确的个数为3.

19.解析　(1)原式=(AC) ⃗+(CP) ⃗+(PD) ⃗+(DB) ⃗+(BA) ⃗=(AD) ⃗+(DA) ⃗=0.

(2)|(AB) ⃗-(AD) ⃗+(BD) ⃗|=|(DB) ⃗+(BD) ⃗|=|0|=0.

20.解析　(1)(AC) ⃗=(AB) ⃗+(AD) ⃗=a+b,(DB) ⃗=(AB) ⃗-(AD) ⃗=a-b.

(2)由(1)知a+b=(AC) ⃗,a-b=(DB) ⃗.

a+b,a-b所在的直线互相垂直,即AC⊥BD.

又∵四边形ABCD为平行四边形,∴四边形ABCD为菱形,即a,b应满足|a|=|b|.

(3)|a+b|=|a-b|,即|(AC) ⃗|=|(BD) ⃗|,

∴四边形ABCD为矩形,∴当a与b所在的直线互相垂直时,满足|a+b|=|a-b|.

(4)不可能,▱ABCD的两对角线不可能平行,因此a+b与a-b不可能为共线向量,∴a+b与a-b不可能为相等向量.

21.解析　依题意得(CB) ⃗=(DA) ⃗=-(AD) ⃗=-b,(CO) ⃗=(OA) ⃗=-(AO) ⃗=-a,(OD) ⃗=(AD) ⃗-(AO) ⃗=b-a,(OB) ⃗=-(OD) ⃗=a-b.

能力提升练

1.C 2.C 3.ACD 5.C 6.B

7.B 8.A 9.B 10.C 

1.C　对于A,((AB) ⃗+(CD) ⃗)+(BC) ⃗=(AB) ⃗+(BC) ⃗+(CD) ⃗=(AC) ⃗+(CD) ⃗=(AD) ⃗;

对于B,((AD) ⃗+(MB) ⃗)+((BC) ⃗+(CM) ⃗)=(AD) ⃗+((MB) ⃗+(BC) ⃗)+(CM) ⃗=(AD) ⃗+((MC) ⃗+(CM) ⃗)=(AD) ⃗+0=(AD) ⃗;

对于C,((MB) ⃗+(AD) ⃗)-(BM) ⃗=(MB) ⃗+(AD) ⃗+(MB) ⃗=2(MB) ⃗+(AD) ⃗,所以C项不能化简为(AD) ⃗;

对于D,((OC) ⃗-(OA) ⃗)+(CD) ⃗=(OC) ⃗-(OA) ⃗+(CD) ⃗=(AC) ⃗+(CD) ⃗=(AD) ⃗.

故选C.

2.C　非零向量a与b反向,则|a-b|=|a|+|b|,故选C.

3.ACD　(AB) ⃗+(BC) ⃗+(CA) ⃗=(AC) ⃗+(CA) ⃗=0;(OA) ⃗+(OC) ⃗+(BO) ⃗+(CO) ⃗=((BO) ⃗+(OA) ⃗)+((CO) ⃗+(OC) ⃗)=(BA) ⃗+0=(BA) ⃗;(AB) ⃗-(AC) ⃗+(BD) ⃗-(CD) ⃗=((AB) ⃗+(BD) ⃗)-((AC) ⃗+(CD) ⃗)=(AD) ⃗-(AD) ⃗=0;(MN) ⃗+(NQ) ⃗-(MP) ⃗+(QP) ⃗=(MQ) ⃗+(QP) ⃗-(MP) ⃗=0.

4.解析　(1)(AC) ⃗=(OC) ⃗-(OA) ⃗=c-a.

(2)(AD) ⃗=(OD) ⃗-(OA) ⃗=-(DO) ⃗-(OA) ⃗=-d-a.

(3)(AD) ⃗-(AB) ⃗=(BD) ⃗=(OD) ⃗-(OB) ⃗=-(DO) ⃗-(OB) ⃗=-d-b.

(4)(AB) ⃗+(CF) ⃗=OB ⃗-(OA) ⃗+(OF) ⃗-(OC) ⃗=(OB) ⃗-(OA) ⃗-(FO) ⃗-(OC) ⃗=b-a-f-c.

(5)(BF) ⃗-(BD) ⃗=(DF) ⃗=(OF) ⃗-(OD) ⃗=-(FO) ⃗+(DO) ⃗=d-f.

5.C　以BC,BA为邻边作平行四边形ABCD,则(BA) ⃗+(BC) ⃗=(BD) ⃗,所以有|(BD) ⃗|=|(AC) ⃗|,故平行四边形ABCD为矩形,所以△ABC一定是直角三角形.

6.B　∵|a|=|b|=|a-b|,∴以|a|,|b|,|a-b|为长度的三条线段可构成等边三角形,∴a与a-b的夹角为π/3,

故选B.

7.B　①当a、b长度相等且方向相反时,a+b=0,0的方向任意,但不能说0必与a、b之一方向相同;②a、b、c共线时,不能构成三角形;③正确.故选B.

8.A　如图所示,

由(AB) ⃗+(AC) ⃗=(AD) ⃗知,四边形ABDC为平行四边形,

又A,B,C,D 四点共圆,

∴平行四边形ABDC为矩形,∴BC为圆的直径,即BC=2,S△ABC=1/2AB•AC≤1/2•(AB^2+AC^2)/2=1/4BC2,当且仅当AB=AC时,等号成立,此时△ABC的面积取得最大值,为1/4×4=1.

故选A.

9.B　∵向量(OA) ⃗,(OB) ⃗,(OC) ⃗,(OD) ⃗满足等式(OA) ⃗+(OC) ⃗=(OB) ⃗+(OD) ⃗,∴(OA) ⃗-(OB) ⃗=(OD) ⃗-(OC) ⃗,即(BA) ⃗=(CD) ⃗,

则四边形ABCD为平行四边形,∵E为AC的中点,∴E为对角线AC与BD的交点,

则S△EAB=S△ECD=S△ADE=S△BCE,则S_("△" EAB)/S_("△" BCD) =1/2,

故选B.

10.C　∵|(AB) ⃗|=2,|(AF) ⃗-(AE) ⃗|=|(AB) ⃗|,|(CE) ⃗|=x,|(CF) ⃗|=y,∴|(AF) ⃗-(AE) ⃗|=|(EF) ⃗|=√(x^2+y^2 )=2,

∴x2+y2=4,∴(x+y)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)=8,当且仅当x=y时取等号,

∴x+y≤2√2,即x+y的最大值为2√2,

故选C.

11.答案　2√3

解析　∵|(AB) ⃗|=|(AC) ⃗|=|(AB) ⃗-(AC) ⃗|=2,

∴△ABC是边长为2的正三角形,

∴|(AB) ⃗+(AC) ⃗|为△ABC的边BC上的高的2倍,

∴|(AB) ⃗+(AC) ⃗|=2√3.

12.证明　如图,已知四边形ABCD的对角线交于O,且OA=OC,OB=OD,所以(AO) ⃗=(OC) ⃗,(BO) ⃗=(OD) ⃗,所以(BA) ⃗=(OA) ⃗+(BO) ⃗=-(AO) ⃗+(BO) ⃗=-(OC) ⃗+(OD) ⃗=(CD) ⃗,故BA与CD平行且长度相等.

所以四边形ABCD是平行四边形.所以对角线互相平分的四边形是平行四边形.