人教版新课标A选修2-1第一章 常用逻辑用语综合与测试免费同步达标检测题

本章达标检测

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.命题“∃x0∈R,+sin x0≤0”的否定为(　　)

A.∃x0∈R,+sin x0≥0

B.∀x∈R,5x+sin x≤0

C.∃x0∈R,+sin x0<0

D.∀x∈R,5x+sin x>0

2.命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是(　　)

A.原命题与逆命题均为真命题

B.原命题真,逆命题假

C.原命题假,逆命题真

D.原命题与逆命题均为假命题

3.已知a,b∈R,则“ab=1”是“直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件       D.既不充分也不必要条件

4.已知命题p:在△ABC 中,sin A>sin B的充分不必要条件是A>B,q:∀x∈R,x2+2x+2≤0.下列命题为真命题的是(　　)

A.p∧q    B.(¬p)∧q

C.(¬p)∨q D.p∨q

5.在下列四个命题中,真命题是(　　)

A.“x=3时,x2+2x-3=0”的否命题

B.“若b=3,则b2=9”的逆命题

C.若ac>bc,则a>b

D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题

6.设函数f(x)=(e为自然对数的底数),则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是(　　)

A.0<x<1 B.0<x<4

C.0<x<3 D.3<x<4

7.已知p:|x+1|>2,q:|x|>a,且¬p是¬q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　)

A.0≤a≤1 B.1≤a≤3

C.a≤1    D.a≥3

8.已知命题p:∀x∈(0,+∞),+4x>4;命题q:∃x0∈(0,+∞),ln x0+2>x0,则下列命题是真命题的是(　　)

A.(¬p)∧q B.p∧q

C.p∨(¬q) D.(¬p)∧(¬q)

9.下列说法错误的是(　　)

A.命题“若x2-x-2=0,则x=2”的逆否命题是“若x≠2,则x2-x-2≠0”

B.“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件

C.命题“∃x∈R, x2-x>0”的否定是“∀x∈R, x2-x≤0”

D.若“p∨q”为假命题,则p,q均为假命题

10.已知函数f(x)=ax2+x+a,命题p:∃x0∈R,f(x0)=0,若p为假命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.

B.

C.∪

D.∪

11.已知命题p:函数y=sin的图象和y=cos的图象关于原点对称;命题q:若两平行直线6x+8y+a=0与3x+by+22=0之间的距离为a,则a=b=4.下列四个结论:①p∨q是假命题;②p∧q是真命题;③(¬p)∨q是真命题;④p∨(¬q)是真命题,其中正确的个数为(　　)

A.1 B.2 

C.3 D.4

12.已知p:q:x2+y2>r2(x,y,r∈R,r>0),若p是q的充分不必要条件,实数r的取值范围是(　　)

A.(3,+∞)  B.

C.     D.(0,3)

二、填空题(本大题4小题,每小题5分,共20分)

13.若命题p:∃x0∈R,≥0,则命题¬p:　　　　. 

14.若命题“∀x>1,都有a≤x+”是假命题,则实数a的取值范围是　　　　. 

15.能说明“设a,b为实数,若a2+b2≠0,则直线ax+by-1=0与圆x2+y2=1相切”为假命题的一组a,b的值依次可为　　　　. 

16.已知p:∀x∈,2x<m(x2+1),q:函数f(x)=4x+2x+1+m-1存在零点.若“p∧q”为真命题,则实数m的取值范围是　　　　. 

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)写出下列命题的否定和否命题:

(1)菱形的对角线互相垂直;

(2)若a2+b2=0,则a=0,b=0;

(3)若一个三角形是锐角三角形,则它的三个内角都是锐角.

18.(12分)已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},如果命题“∃m∈R,使得A∩B≠⌀”为假命题,求实数a的取值范围.

19.(12分)设命题p:实数x满足≤0,命题q:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0.

(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;

(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

20.(12分)已知实数a>0且a≠1.设命题p:函数f(x)=logax在定义域内单调递减;命题q:函数g(x)=x2-2ax+1在上为增函数,若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求实数a的取值范围.

21.(12分)已知函数f(x)=x2-2x+5.

(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由;

(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围.

22.(12分)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件:

①∀x∈R, f(x)<0或g(x)<0;

②∃x∈(-∞,-4), f(x)g(x)<0,

求m的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

一、选择题

1.D　命题“∃x0∈R,+sin x0≤0”的否定为“∀x∈R,5x+sin x>0”.

2.B　 原命题的逆否命题:若a,b中没有一个大于等于1,则a+b<2,

等价于“若a<1,b<1,则a+b<2”,显然这个命题是正确的,所以原命题为真;

原命题的逆命题:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2.取a=5,b=-5,则a,b中至少有一个不小于1,但a+b=0,所以原命题的逆命题为假.

3.B　 由直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行,可得ab=1.

当a=b=1时,两条直线都为x+y-1=0,所以两条直线重合.

∴“ab=1”是“直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行”的必要不充分条件.

4.C　 在△ABC 中,sin A>sin B⇔a>b⇔A>B,所以sin A>sin B的充分必要条件是A>B,故命题p为假;∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1>0,所以命题q为假.

因此p∧q、(¬p)∧q、p∨q为假命题,(¬p)∨q为真命题,故选C.

5.D　A中,原命题的否命题为“x≠3时,x2+2x-3≠0”,是假命题;B中,原命题的逆命题为“若b2=9,则b=3”,是假命题;C中,当c<0时,a<b,为假命题;D中,原命题与逆否命题等价,都是真命题.故选D.

6.A　 f(x)<1⇔ <1⇔x2-3x<0,解得0<x<3,

又“0<x<1”可以推出“0<x<3”,但“0<x<3”不能推出“0<x<1”,

所以“0<x<1”是“f(x)<1”的一个充分不必要条件.

7.C　 p:|x+1|>2⇒x>1或x<-3.

当a≥0时,q:|x|>a⇒x>a或x<-a;

当a<0时,q:|x|>a⇒x∈R.

因为¬p是¬q的必要不充分条件,

所以q是p的必要不充分条件,设p对应集合A,q对应集合B,则A⫋B.

当a<0时,满足题意;

当a≥0时,或所以0≤a≤1.综上,a≤1,故选C.

8.A　 ∀x∈(0,+∞),+4x≥2=4,当且仅当x=时取等号,所以命题p是假命题,¬p是真命题;对于q,当x0=1 时不等式成立,所以命题q是真命题,¬q是假命题.所以(¬p)∧q为真命题,p∧q为假命题,p∨(¬q)为假命题,(¬p)∧(¬q)为假命题.故选A.

9.B　A正确.B错误,当a>b,c=0时,不满足ac2>bc2,即充分性不成立,反之,若ac2>bc2,则一定有a>b,即必要性成立.综上,“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件.C正确,特称命题的否定是全称命题.D正确.

10.C　 因为p为假命题,所以¬p为真命题,即∀x∈R,f(x)≠0,

故a≠0,且Δ=1-4a2<0,解得a>或a<-,故选C.

11.C　 y=cos=sin

=sin=-sin,

函数y=sin的图象关于原点对称的图象对应的函数为-y=sin,

即y=-sin,∴命题p是真命题;

由两直线平行,得=≠,得b=4,a≠44,∴两平行直线为6x+8y+a=0与6x+8y+44=0,平行直线间的距离为==a,即|a-44|=10a,则a-44=10a或a-44=-10a,得a=-或a=4,

又a>0,所以只有a=4成立,则a=b=4,即命题q是真命题.

则p∨q是真命题,p∧q是真命题,(¬p)∨q是真命题,p∨(¬q)是真命题.

故正确的结论有3个.

12.C　设集合A=,

B={(x,y)|x2+y2>r2,x,y∈R,r>0},作出集合A所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.

集合B中的点在以原点为圆心、r为半径的圆的外部.

设原点到直线4x+3y-12=0的距离为d,

则d==.

∵p是q的充分不必要条件,

∴A⫋B,∴0<r<,

∴实数r的取值范围是.

二、填空题

13.答案　∀x∈R,x2<0

解析　命题p:∃x0∈R,≥0为特称命题,其否定为全称命题,

所以¬p:∀x∈R,x2<0.

14.答案　(2+1,+∞)

解析　若命题“∀x>1,都有a≤x+”是真命题,令y=x+,则y=x-1++1≥2+1,当且仅当x=+1时取等号.所以命题为真命题时,a≤2+1,命题为假命题时,a>2+1.

15.答案　1,1(答案不唯一)

解析　“若a2+b2≠0,则直线ax+by-1=0与圆x2+y2=1相切”为真命题,则=1,则a2+b2=1.

若命题为假命题,则只需满足a2+b2≠0,且a2+b2≠1即可,故a,b的值依次可为1,1.

16.答案　

解析　由题意得p,q均为真命题,对于p,因为∀x∈,2x<m(x2+1),所以m>= ,

当x=时,x+取得最小值,所以的最大值为,所以m>;

对于q,设t=2x,则t∈(0,+∞),则g(t)=t2+2t+m-1,要使g(t)在(0,+∞)上存在零点,则g(0)<0,即m-1<0,解得m<1.

综上,实数m的取值范围是<m<1.

三、解答题

17.解析　(1)命题的否定:菱形的对角线不互相垂直.

否命题:不是菱形的四边形的对角线不互相垂直.

(2)命题的否定:若a2+b2=0,则a和b中至少有一个不为0.

否命题:若a2+b2≠0,则a和b中至少有一个不为0.

(3)命题的否定:若一个三角形是锐角三角形,则它的三个内角不都是锐角.

否命题:若一个三角形不是锐角三角形,则它的三个内角不都是锐角.

18.解析　命题“∃m∈R,使得A∩B≠⌀”为假命题,则其否定“∀m∈R,A∩B=⌀”为真命题.

当a<0时,集合A=⌀,符合A∩B=⌀;

当a≥0时,因为m2+3>0,所以由∀m∈R,A∩B=⌀,得a<m2+3对任意m∈R恒成立,所以a<(m2+3)min=3,则0≤a<3.

综上,实数a的取值范围为a<3.

19.解析　(1)当a=1时,命题p:2<x≤3,命题q:1<x<3,

又p∧q为真,所以故实数x的取值范围是2<x<3.

(2)命题p:2<x≤3,命题q:a<x<3a,要使p是q的充分不必要条件,则解得1<a≤2.故实数a的取值范围是1<a≤2.

20.解析　∵函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在定义域内单调递减,∴0<a<1,

即p:{a|0<a<1}.

∵a>0且a≠1,∴¬p:{a|a>1}.

∵g(x)=x2-2ax+1在上为增函数,∴a≤.

又∵a>0且a≠1,∴q:,

∴¬q:.

又∵“p∧q”为假,“p∨q”为真,∴p、q一真一假.

①当p真q假时,{a|0<a<1}∩=.

②当p假q真时,{a|a>1}∩=⌀,

综上所述:实数a的取值范围是.

21.解析　(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),

即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.

要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.

故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,m的取值范围是(-4,+∞).

(2)不等式m-f(x0)>0可化为m>f(x0).

若存在一个实数x0,使不等式m>f(x0)成立,只需m>f(x)min.

又f(x)=(x-1)2+4,∴f(x)min=4,∴m>4.

故实数m的取值范围是(4,+∞).

22.解析　由题意知m≠0,∴f(x)=m(x-2m)·(x+m+3)为二次函数,若∀x∈R, f(x)<0或g(x)<0,则抛物线开口必须向下,即m<0.

f(x)=0的两根x1=2m,x2=-m-3,x1-x2=3m+3.

(1)当x1>x2,即m>-1时,必须大根x1=2m<1且m<0,解得-1<m<0.

(2)当x1<x2,即m<-1时,大根x2=-m-3<1,即m>-4,故-4<m<-1.

(3)当x1=x2,即m=-1时,x1=x2=-2<1,也满足条件.

∴满足条件①的m的取值范围为-4<m<0.

若∃x∈(-∞,-4), f(x)g(x)<0,则满足f(x)=0的小根小于-4.

(1)当m>-1时,小根x2=-m-3<-4且m<0,无解.

(2)当m<-1时,小根x1=2m<-4且m<0,解得m<-2.

(3)当m=-1时, f(x)=-(x+2)2≤0恒成立,∴不满足②.

∴满足条件②的m的取值范围是m<-2.

故满足①②的m的取值范围是-4<m<-2.