高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积当堂检测题

第六章　立体几何初步

§6　简单几何体的再认识

6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积

基础过关练

题组一　棱柱、棱锥、棱台的表(侧)面积

1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则该长方体的表面积为(　　)

A.22 B.20 C.10 D.11

2.若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a,棱台的高为a,则此正三棱台的侧面积为(　　)

A.a2 B.a2 C.a2 D.a2

3.(2020河北衡水二中高一下期末)底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线长为,体对角线长为,则这个棱柱的侧面积是(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

4.(2020江西南昌八一中学高一期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　　)

A.1∶1 B.1∶ C.1∶ D.1∶2

5.(2020浙江舟山一中高二下期中)正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2-9x+18=0的两根,其侧面积等于两底面积之和,则其侧面梯形的高为　　　　. 

6.棱长都是3的三棱锥的表面积S为　　　　. 

7.(2020广西桂林高一调研)正六棱柱的一条最长的体对角线长是13,侧面积为180,求此正六棱柱的表面积.

题组二　圆柱、圆锥、圆台的表(侧)面积

8.若某圆锥的高等于其底面直径,则它的底面积与侧面积之比为(　　)

A.1∶2 B.1∶ C.1∶ D.∶2

9.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则该圆台的表面积为(　　)

A.81π B.100π C.168π D.169π

10.(2020湖南雅礼中学高一下期中)若圆台的高是3,一个底面半径是另一个底面半径的2倍,母线与下底面成45°角,则这个圆台的侧面积是(　　)

A.27π B.27π C.9π D.36π

11.(2019广东惠州高一下期末)若一个圆锥的轴截面是面积为的正三角形,则这个圆锥的表面积为　　　　. 

12.(2020四川成都外国语学校高一下期末)一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积为　　　. 

题组三　组合体的表(侧)面积

13.(2020湖北武汉二中高一下期中)如图,该模型为圆柱挖去一个圆锥后所得的几何体,已知圆柱底面半径和高都等于2,圆柱的上底面是圆锥的底面,圆锥高为1,则该模型的表面积等于　　　　. 

14.(2020河南开封一中高一质检)有一塔形组合体由3个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,求该塔形组合体的表面积(含最底层正方体的底面积).

15.如图所示,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5 cm,BC=16 cm,AD=4 cm.求:

(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积;

(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.

能力提升练

题组一　特殊几何体的表面积

1.(2019云南昆明高一下期末,)若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为(　　)

A. B.2

C. D.

2.(2020江西南昌第十中学高二下学期期中,)若底面是菱形的棱柱的侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的体对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是(　　)

A.130 B.140 C.150 D.160

3.(2020山西芮城高二期末,)《九章算术·商功》有这样一道题目:“今有堑堵,下广二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺,问积几何?答曰:四万六千五百尺.”所谓堑堵,就是两底面为直角三角形的直棱柱,如图所示的几何体是一个“堑堵”,AB=BC=4,AA1=5,M是A1C1的中点,过B、C、M的平面把该“堑堵”分为两个几何体,其中一个为三棱台,则三棱台的表面积为(　　)

A.40 B.25+15+3

C.50 D.30+20+3

题组二　几何体表(侧)面积比值相关问题

4.(2019天津第一中学高一下学期期中,)一个圆锥SC的高和底面直径相等,且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等,则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为(　　)

A. B.

C. D.

5.(2020安徽滁州育才学校(实验班)高二上学期期中,)已知一个圆柱的底面半径和高分别为r和h,h<2πr,侧面展开图是一个长方形,这个长方形的长是宽的2倍,则该圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)

A. B.

C. D.

题组三　几何体表(侧)面积的最值或范围问题

6.(2019吉林吉化一中高一上学期期中,)一个圆锥的底面半径为R,高为R,

(1)求圆锥的表面积;

(2)求圆锥内接正四棱柱的表面积的最大值.

7.()如图,有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a>0).用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱,若在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱,求a的取值范围.

题组四　与几何体侧面展开图有关的最短路径问题

8.(2019湖北武汉高一期中,)如图所示,圆柱的底面周长为12,高为2,矩形ABCD是该圆柱的轴截面,则在此圆柱的侧面上,从A到C的路径中,最短路径的长度为　(　　)

A.2 B.2 C.3 D.2

9.(2020北京丰台高一期末,)有一根长为3π cm,底面半径为1 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,求铁丝的最短长度.

§6　简单几何体的再认识

6.1　柱、锥、台的侧面

展开与面积

基础过关练

1.A　所求长方体的表面积S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22.故选A.

2.C　如图,O1,O分别为上、下底面的中心,D,D1分别是AC,A1C1的中点,过D1作D1E⊥OD于点E.在直角梯形ODD1O1中,OD=××2a=a,O1D1=××a=a,∴DE=OD-O1D1=a.

在Rt△DED1中,D1E=a,

则D1D=

==a.

∴S侧=3××(a+2a)×a=a2.

3.D　由已知得底面边长为1,侧棱长为=2.所以S侧=1×2×4=8.

4.C　如图,三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形,其边长为正方体面对角线.设正方体的棱长为a,则面对角线长为a,所以S三棱锥=4××(a)2=2a2,S正方体=6a2,

故S三棱锥∶S正方体=1∶.

5.答案　

解析　方程x2-9x+18=0的两个根为x1=3,x2=6,设侧面梯形的高为h,则由题意得×(3+6)×h×4=32+62,解得h=.

6.答案　9

解析　因为三棱锥的四个面是全等的正三角形且三角形的边长为3,所以S=×3×3××4=9.

7.解析　如图,设正六棱柱的底面边长为a,侧棱长(即正六棱柱的高)为h,易知CF'是正六棱柱的一条最长的体对角线,即CF'=13,

所以CF'===13.①

因为正六棱柱的侧面积为180,

所以S侧=6a·h=180.②

联立①②,解得或负值舍去.

当a=6,h=5时,正六棱柱的底面积S底=6×a2=54.

所以S表=180+2×54=180+108.

当a=,h=12时,正六棱柱的底面积S底=6×a2=,

所以S表=180+2×=180+.

综上,该正六棱柱的表面积为180+108或180+.

8.C　设圆锥底面半径为r,则高h=2r,∴其母线长l=r,∴S侧=πrl=πr2,S底=πr2,∴S底∶S侧=1∶.故选C.

9.C　圆台的轴截面如图所示,设上底面半径为r,下底面半径为R,高为h,则R=h=4r,其母线长l===5r=10,所以r=2,R=8.

故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π,

S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π.

故选C.

10.B　由题意得上底面半径为3,下底面半径为6,母线长为3,∴S侧=π(3+6)×3=27π.

11.答案　3π

解析　设圆锥母线长为a,结合三角形面积计算公式,得到S=a2sin 60°=,解得a=2(负值舍去),所以底面半径r=1,底面积S底=πr2=π,所以侧面积S侧=πra=2π,所以圆锥的表面积为3π.

12.答案　6π

解析　由底面周长为2π可得底面半径为1.S底=2π×12=2π,S侧=2π·2=4π,所以S表=S底+S侧=6π.

13.答案　(12+2)π

解析　由题图知该模型的表面积由三个部分组成:圆柱的一个底面积,圆柱的侧面积,圆锥的侧面积.圆柱的一个底面积为4π;圆柱的侧面积为2π×2×2=8π;圆锥的母线l==,所以圆锥的侧面积为π×2×=2π,所以该模型的表面积为(12+2)π.

14.解析　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2,,1.

考虑该几何体在水平面的投影,可知其在水平面的投影面积与最大正方体的一个底面的面积相等,

∴S表=2×22+4×[22+()2+12]=36.

∴该塔形组合体的表面积为36.

15.解析　(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底面半径是4  cm,下底面半径是16  cm,母线DC==13(cm).

∴该几何体的表面积为π×(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2).

(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示.其中圆锥的高为16-4=12(cm),由(1)可知圆锥的母线DC长为13  cm,又圆柱的母线AD长为4  cm,故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2).

能力提升练

1.B　所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1,高为的四棱锥的侧面积之和,如图:

四棱锥的侧棱长l==1,

∴以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为8××1×1×sin 60°=2.故选B.

2.D　如图,设直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,体对角线A1C=15,B1D=9,∴a2+52=152,b2+52=92,∴a2=200,b2=56.∵该直四棱柱的底面是菱形,∴AB2=+===64,∴AB=8.

∴直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.

3.B　如图所示,取A1B1的中点N,连接BN,MN,易知平面BCMN为过B、C、M的平面,

则所得的三棱台为A1NM-ABC,其中上、下底面均为等腰直角三角形,三个侧面均为梯形,

各个面的面积:

S△ABC=×4×4=8,=×2×2=2,=×(2+4)×5=15,

=×(2+4)×5=15,

S梯形BNMC=×(2+4)×=3,

据此可知三棱台的表面积为25+15+3.故选B.

4.C　不妨设圆锥的底面半径为1,高为2,圆柱的高为h.根据圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积都相等,得×π×12×2=π×12×h,解得h=.圆锥的母线长为=,故两者侧面积的比值为=,故选C.

5.A　由题意可知2h=2πr,∴h=πr,则该圆柱的表面积与侧面积的比是===,故选A.

6.解析　(1)由题意可知,圆锥的母线l长为=2R,

所以该圆锥的表面积为πR(R+l)=3πR2.

(2)如图所示,设正四棱柱的底面对角线的一半为x,

易知△PBC∽△PAO,∴=,

即=,

解得OC=(R-x),

正四棱柱的底面是一个正方形,其底面边长为x,底面积为2x2,

所以正四棱柱的表面积为S=2×2x2+4×x×(R-x)=(4-4)x2+4Rx,

由二次函数的基本性质可知,

当x==时,正四棱柱的表面积S有最大值,且Smax=.

7.解析　所给直三棱柱的底面积为6a2,侧面的面积分别为6,8,10.当拼成三棱柱时有三种情况,如图①②③,表面积分别为S1=2×6a2+2×(10+8+6)=12a2+48,

S2=4×6a2+2×(10+8)=24a2+36,

S3=4×6a2+2×(10+6)=24a2+32.

当拼成四棱柱时有四种情况,如图④⑤⑥⑦,表面积分别为

S4=S7=24a2+2×(8+6)=24a2+28,

S5=24a2+2×(10+8)=24a2+36,

S6=24a2+2×(10+6)=24a2+32.

由题意得24a2+28<12a2+48,

解得0<a<.

8.A　如图,圆柱的侧面展开图是矩形,且矩形的长为12,宽为2,则在此圆柱的侧面上从A到C的最短路径为线段AC,易得AC==2.故选A.

9.解析　把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形AEFD及线段AC(如图所示),

由题意知BC=3π  cm,AB=4π  cm,点A与点C分别是铁丝的起止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.

AC==5π  cm,

故铁丝的最短长度为5π  cm.