高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直习题，共35页。

第1课时 直线与直线垂直
基础过关练
题组一 空间中的两直线垂直
1.若空间中三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c( )
A.一定平行 B.一定垂直
C.一定是异面直线D.一定相交
2.教室内有一把直尺,无论怎样放置,在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线( )
A.异面B.相交C.平行D.垂直
3.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中不成立的是( )
A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直
C.EF与CD异面 D.EF与A1C1异面
4.已知直线a,b,c,下列三个命题:①若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;②若a∥b,a和c相交,则b和c也相交;③若a⊥b,a⊥c,则b∥c.其中,正确命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
5.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M,N,P,Q,试确定四边形MNPQ的形状.
题组二 求异面直线所成的角
6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列结论一定不成立的是( )
A.l与AD平行 B.l与AB异面
C.l与CD所成角的大小为30° D.l与BD垂直
7.如图所示是某个正方体的平面展开图,l1,l2是两条面对角线,则在该正方体中,l1与l2( )
A.互相平行 B.异面且互相垂直
C.异面且所成角的大小为π3 D.相交且所成角的大小为π3
8.点P,Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1,BD的中点,则异面直线PQ和BC1所成角的大小为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=2,BB1=1,AC=22,则异面直线BD与AC所成角的大小为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
10.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成角的大小为 .
11.如图所示,空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成角的大小.
12.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC,AB所成角的大小均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.
题组三 空间中两直线所成角的运用
13.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成角的大小为90°,则MN等于 .
14.如图所示,已知空间四边形ABCD的两条对角线的长分别为AC=6,BD=8,AC与BD所成角的大小为30°,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求四边形EFGH的面积.
15.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=23,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成角的大小为90°,试求AA1的长.
能力提升练
一、单项选择题
1.(2018陕西汉中高一期末,疑难1,★★☆)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与B1D所成角的余弦值是( )
A.33 B.22 C.12 D.32
2.(2019湖南醴陵二中、醴陵四中高一下联考,★★☆)设a,b,c是空间中的三条直线,给出以下三个命题:
①若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;
②若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面;
③若a∥b,b∥c,则a∥c.
其中正确命题的个数是( )
A.0B.1C.2 D.3
3.(2019四川成都外国语学校高二下期中,疑难1,★★☆)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面ABCD的中心,则异面直线OD1与A1C1所成角的大小为( )
A.90°B.60°C.45°D.30°
4.(★★☆)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2BB1,则AB1与C1B所成角的大小为( )
A.60°B.90°C.30°D.75°
5.(★★☆)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( )
A.0°<θ<60° B.0°≤θ<60°
C.0°≤θ≤60°D.0°<θ≤60°
6.(★★★)设点P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线( )
A.有无数条B.有两条 C.至多有两条D.有一条
二、多项选择题
7.(★★☆)下列说法中正确的是( )
A.某平面内的一条直线和这个平面外的直线是异面直线
B.若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线必平行
C.若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直
D.某平面内一定存在一条直线和这个平面外的直线相互垂直
8.(★★★)如图所示是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是( )
A.GH与EF平行B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN成60°角D.DE与MN垂直
三、填空题
9.(疑难1,★★☆)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成角的大小是 .
四、解答题
10.(2017河南信阳一中高一上学期期中,疑难1,★★☆)正三棱锥S-ABC的侧棱长与底面边长都为a,E,F分别是SC,AB的中点,求直线EF和SA所成角的大小.
第2课时 直线与平面垂直
基础过关练
题组一 直线与平面垂直的判定与性质
1.下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内的两条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α;
④若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则l⊥α.
A.4B.2C.3D.1
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是( )
A.平面DD1C1CB.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1D.平面A1DB
3.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PO⊥平面ABC,BO⊥AC,BO的延长线交AC于点D, 则图中与AC垂直的直线有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面AA1D1D为正方形,E为棱CD上任意一点,则AD1与B1E的位置关系为( )
A.AD1⊥B1E B.AD1∥B1E C.AD1与B1E共面 D.以上都不对
5.已知直线a,b和平面α,β,且a⊥α,则下列说法正确的是( )
A.b∥α⇒b⊥a B.b⊥a⇒b∥α
C.β⊥α⇒a∥β D.a⊄β⇒α∩β≠⌀
6.下列说法正确的有 (填序号).
①垂直于同一个平面的两条直线平行;
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直;
③若l与平面α不垂直,则平面α内一定没有直线与l垂直.
7.如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
题组二 直线与平面所成的角
8.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线( )
A.平行B.相交
C.异面D.以上皆有可能
9.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是( )
A.60°B.45°C.30°D.120°
10.从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线,斜足分别为A,B,C,如果这些斜线与平面成等角,有如下结论:
①△ABC是正三角形;②垂足是△ABC的内心;
③垂足是△ABC的外心;④垂足是△ABC的垂心.
其中正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AD的中点,F是BB1的中点,则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 .
12.如图所示,AB是☉O的直径,PA⊥☉O所在的平面,C是圆上一点,且∠ABC=30°,PA=AB,求直线PC与平面ABC所成角的正切值.
13.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=2AB,求CD与平面BDC1所成角的正弦值.
题组三 直线与平面垂直的综合应用
14.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列说法正确的是( )
A.若l⊥α,l∥m,则m⊥α B.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m
15.三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直于底面A1B1C1,底面A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( )
①CC1与B1E是异面直线;②AE与B1C1是异面直线,且AE⊥B1C1;③AC⊥平面ABB1A1;④A1C1∥平面AB1E.
A.②B.①③C.①④D.②④
16.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是( )
A.异面B.平行C.垂直D.不确定
17.三棱锥的四个面中最多有 个直角三角形.
18.如图,AB为☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,M为圆周上任意一点,AN⊥PM,N为垂足.
(1)求证:AN⊥平面PBM;
(2)若AQ⊥PB,垂足为Q,求证:NQ⊥PB.
19.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.
(1)求证:AC⊥B1D;
(2)求三棱锥C-BDB1的体积.
能力提升练
一、单项选择题
1.(2019四川广元高二下期中,★★☆)设m,n为两条不同的直线,α为平面,则下列结论正确的是( )
A.m⊥n,m∥α⇒n⊥α
B.m⊥n,m⊥α⇒n∥α
C.m∥n,m⊥α⇒n⊥α
D.m∥n,m∥α⇒n∥α
2.(2019河北唐山高二上期末考试,疑难2,★★☆)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是( )
①② B.②④ C.①③ D.②③
3.(★★☆)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
4.(2018河北唐山高一上期末,疑难2,★★☆)如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF,EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,则在这个空间图形中必有( )
A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH
C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF
5.(★★☆)把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成角的大小为( )
A.90°B.60° C.45° D.30°
6.(2019天津耀华中学高一上期中检测,疑难3,★★☆)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AB1与平面ABC1D1所成角的正弦值为( )
A.255 B.25 C.105 D.12
二、多项选择题
7.(★★☆)如果一条直线垂直于一个平面内的:
①三角形的两边;②梯形的两边;
③圆的两条直径;④正五边形的两边.
那么能保证该直线与平面垂直的是( )
A.①B.②C.③D.④
8.(★★★)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点,则下列结论正确的有 ( )
BC⊥平面PAB
B.AD⊥PC
AD⊥平面PBC
D.PB⊥平面ADC
三、填空题
9.(★★☆)已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是 .
10.(2018安徽萧县一中高一期中,★★☆)如图所示,将平面四边形ABCD沿对角线BD折成空间四边形,当平面四边形ABCD满足 时,空间四边形中的两条对角线互相垂直.(填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能情况)
四、解答题
11.(2019河北唐山高二上期末,★★☆)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=a,求直线PB与平面PCD所成角的大小.
12.(疑难2,★★☆)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=2,D是A1B1的中点.
(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;
(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.
13.(★★☆)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是线段AB的中点.
(1)求证:D1E⊥CE;
(2)求三棱锥D1-AEC的体积.
14.(2019四川成都七中高二下期中,疑难3,★★★)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB垂直于AD和BC,侧棱SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求直线SB与CD所成角的余弦值;
(2)求点C到平面SBD的距离.
答案全解全析
11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直
第1课时 直线与直线垂直
基础过关练
1.B ∵a⊥b,b∥c,∴a⊥c.
2.D 若直尺与地面相交,则C不正确;若直尺平行于地面,则B不正确;若直尺放在地面上,则A不正确.故选D.
3.D 如图所示,连接A1B,易知点E为A1B的中点,由三角形中位线定理可得EF∥A1C1,则EF,A1C1确定一个平面;显然EF与CD异面;由几何关系可得A1C1⊥BB1,A1C1⊥BD,则EF⊥BB1,EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立.故选D.
4.A ①不正确,a与c可能异面,可能平行,也可能相交;②不正确,b与c可能相交,也可能异面;③不正确,b与c可能平行,可能相交,也可能异面.
5.解析 如图所示.
∵点M,N,P,Q分别是四条边的中点,∴MN∥AC,且MN=12AC,PQ∥AC,且PQ=12AC,
∴MN∥PQ且MN=PQ,∴四边形MNPQ是平行四边形.
又∵BD∥MQ,AC⊥BD,∴AC⊥MQ,∴MN⊥MQ,∴平行四边形MNPQ是矩形.
6.A 假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,可得l∥B1C1,这与“l与B1C1不平行”矛盾,所以l与AD不平行.
7.D 将平面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合,所以l1与l2相交.
连接AD,则△ABD为正三角形,所以l1与l2所成角的大小为π3,故选D.
8.C 如图,连接AC,D1C.
∵Q是BD的中点,∴Q是AC的中点.由P,Q分别为AD1,AC的中点,得PQ∥CD1.
又BC1∥AD1,∴∠AD1C(或其补角)即为异面直线PQ和BC1所成的角.
∵△ACD1为等边三角形,∴∠AD1C=60°,即异面直线PQ和BC1所成角的大小为60°.
9.C 如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1∥DE,所以∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD=DE=EB=2,所以∠BDE=60°,故选C.
10.答案 60°
解析 如图,可将原三棱柱补成一个正方体,连接A1D1,BD1,所以AC1∥BD1,所以∠A1BD1(或其补角)即为BA1与AC1所成的角.又易知△A1BD1为正三角形,所以∠A1BD1=60°,即异面直线BA1与AC1所成角的大小为60°.
解析 如图所示,取BD的中点G,连接EG,FG.∵E,F分别为BC,AD的中点,且AB=CD,
∴EG∥CD,GF∥AB,且EG=12CD,GF=12AB,即EG=GF,∴∠GFE(或其补角)即为EF与AB所成的角.
∵AB⊥CD,∴EG⊥GF,∴∠EGF=90°,∴△EFG为等腰直角三角形,
∴∠GFE=45°,即EF与AB所成角的大小为45°.
12.解析 如图所示,把三棱柱补为底面是正方形的四棱柱ABDC-A1B1D1C1,连接BD1,A1D1,AD,
由四棱柱的性质知BD1∥AC1,则∠A1BD1(或其补角)就是异面直线A1B与AC1所成的角.
设AB=a,∵AA1与AC,AB所成角的大小均为60°,且AB=AC=AA1,∴A1B=a,BD1=AC1=2AA1·cs 30°=3a.
又∵在正方形ABDC中,AD=2a,∴A1D1=2a,∴A1D12+A1B2=BD12,∴∠BA1D1=90°,
∴在Rt△BA1D1中,cs∠A1BD1=A1BBD1=a3a=33.∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为33.
13.答案 5
解析 如图,取AD的中点P,连接PM,PN,则PM∥BD,PN∥AC,∴∠MPN(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角,∴∠MPN=90°.又PN=12AC=4,PM=12BD=3,∴MN=PM2+PN2=5.
14.解析 ∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴FG∥BD,EH∥BD,EF∥AC,HG∥AC,且EF=HG=12AC,FG=EH=12BD,
∴四边形EFGH为平行四边形.
∵AC∥EF,BD∥FG,∴∠EFG(或其补角)为AC与BD所成的角,∴∠EFG=30°,
∴S四边形EFGH=EF×FG×sin∠EFG=12AC×12BD×sin 30°=3×4×12=6.
15.解析 连接CD1,AC.由题意得,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,
∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥CD1,∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.
∵异面直线A1B和AD1所成角的大小为90°,∴∠AD1C=90°.
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面是菱形,AB=BC=23,∴A1D1=23,△ACD1是等腰直角三角形,∴AD1=22AC.∵AB=BC=23,∠ABC=120°,∴AC=23×sin 60°×2=6,
∴AD1=22AC=32,∴AA1=AD12-A1D12=(32)2-(23)2=6.
能力提升练
一、单项选择题
1.A 设正方体的棱长为1.如图所示,直线AA1与B1D所成的角为∠BB1D(或其补角),其余弦值为BB1B1D=13=33.故选A.
2.B a与c可能垂直,还可能平行或异面,故①错误;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与AB共面,AB与BC共面,但AA1与BC不共面,故②错误;由空间平行线的传递性可知③正确.故选B.
3.A 如图所示,连接OD,AC,CD1,则AC∥A1C1,O是AC的中点,则∠D1OC(或其补角)是异面直线OD1与A1C1所成的角,在△D1OC中,CD1=2,OC=22,OD1=12+222=62,
∴OD12+OC2=CD12,∠D1OC=90°,因此异面直线OD1与A1C1所成角的大小为90°,故选A.
4.B 不妨设BB1=1,则AB=2.如图,延长CC1至点C2,使C1C2=CC1=BB1=1,连接B1C2,易得四边形C2C1BB1为平行四边形,所以B1C2?BC1,所以∠AB1C2(或其补角)即为AB1与BC1所成的角.连接AC2,易求得AB1=3,B1C2=3,AC2=6,所以AC22=AB12+B1C22,则∠AB1C2=90°.故AB1与C1B所成角的大小为90°.
5.D 如图,连接CD1,AC,因为CD1∥BA1,所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角,即θ=∠D1CP.当点P从D1向A运动时,∠D1CP从0°增大到60°,但当点P与D1重合时,CP∥BA1,与CP与BA1为异面直线矛盾,所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.故选D.
6.A 如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线所在的直线都与l成30°角.
二、多项选择题
7.CD A错误,某平面内的一条直线和这个平面外的直线可以是异面直线,也可以是相交直线或平行直线;B错误,除平行外,还可以相交或异面;C,D正确.故选CD.
8.BCD 如图,把平面展开图还原成正四面体,知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE与MN垂直,故B,C,D正确.
三、填空题
9.答案 90°
解析 如图,过点M作ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,则∠A1ME(或其补角)即为异面直线A1M与DN所成的角.
设正方体的棱长为a,则A1M=32a,ME=54a,A1E=414a,所以A1M2+ME2=A1E2.
所以∠A1ME=90°,即异面直线A1M与DN所成角的大小为90°.
四、解答题
10.解析 如图,取SB的中点G,连接EG,GF,SF,CF.
在△SAB中,F,G分别是AB,SB的中点,
∴FG∥SA,且FG=12SA=12a.同理,EG∥BC,且EG=12BC=12a.
于是异面直线SA与EF所成的角就是直线FG与EF所成的角,即为∠EFG(或其补角).
在△SAB中,SA=SB=a,AF=FB=12a,∴SF⊥AB,且SF=32a.同理可得CF⊥AB,且CF=32a.
在△SFC中,SF=CF=32a,SE=EC,∴FE⊥SC,且FE=SF2-SE2=22a.
在△EGF中,FG2+GE2=a22=FE2,∴△EGF是以∠FGE为直角的等腰直角三角形,∴∠EFG=45°.
∴直线EF与SA所成角的大小为45°.
第2课时 直线与平面垂直
基础过关练
1.B 易知①②是错误的,其不能断定直线l与平面α垂直,③④是正确的.故选B.
2.B 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知A1B1⊥AD1,AD1⊥A1D.
又A1B1∩A1D=A1,∴AD1⊥平面A1DB1.
3.D ∵PO⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴PO⊥AC.又∵AC⊥BO,且BO∩PO=O,∴AC⊥平面PBD,∴直线PB,PD,PO,BD与AC垂直.故与AC垂直的直线有4条.
4.A 连接A1D,则由正方形的性质,知AD1⊥A1D.又B1A1⊥平面AA1D1D,所以B1A1⊥AD1,又A1D∩A1B1=A1,所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E⊂平面A1B1ED,所以AD1⊥B1E.故选A.
5.A 对于A,如图1所示.过直线b作平面γ与平面α相交于直线l,由直线与平面平行的性质定理可知b∥l,又因为a⊥α,l⊂α,所以a⊥l,所以b⊥a,A正确;选项B,C均未考虑直线在平面内的情况,分别如图2,图3所示,均错误;对于D,有如图4所示的情况,α∥β,D错误.
6.答案 ①②
解析 显然①正确.由线面垂直的定义可得②正确.如图,PO⊥α,l与平面α不垂直,但a⊂α,l⊥a,故③不正确.
7.证明 (1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,
又已知SA=SB,所以易证△ADS≌△BDS.所以∠SDA=∠SDB=90°,所以SD⊥BD.
又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD,
又因为SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.
8.D 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A,B1B与底面ABCD所成的角相等,此时两直线平行;A1B1,B1C1与底面ABCD所成的角相等,此时两直线相交;A1B1,BC与底面ABCD所成的角相等,此时两直线异面.故选D.
9.A 由题图可知,∠ABO即为斜线段AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cs∠ABO=12,即∠ABO=60°.
10.A 设平面ABC外一点P及其在该平面内的射影O,则PO⊥平面ABC.由已知可得△PAO,△PBO,△PCO全等,所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心,只有③正确.
11.答案 55
解析 连接EB,由BB1⊥平面ABCD,知∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中,BF=1,BE=5,则tan∠FEB=55.
12.解析 因为PA⊥平面ABC,所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA为PC与平面ABC所成的角.在Rt△PAC中,AC=12AB=12PA,所以tan∠PCA=PAAC=2.所以直线PC与平面ABC所成角的正切值为2.
13.解析 如图,设AA1=2AB=2,连接AC交BD于点O,连接OC1,A1C1,过点C作CH⊥OC1于点H,连接DH.
因为BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,所以BD⊥平面ACC1A1.
因为CH⊂平面ACC1A1,所以CH⊥BD.又CH⊥OC1,OC1∩BD=O,OC1,BD⊂平面BDC1,
所以CH⊥平面BDC1.所以∠CDH即为CD与平面BDC1所成的角.
又OC1=CC12+OC2=22+222=322,由等面积法,得12OC1·CH=12OC·CC1,解得CH=23,
所以sin∠CDH=CHCD=23,即CD与平面BDC1所成角的正弦值为23.
14.A 选项A中,两条直线平行,其中一条直线垂直于一个平面,另一条直线必垂直于这个平面,故A正确;选项B中,直线和平面内一条直线垂直不足以判定这条直线和这个平面垂直,而是需要直线与平面内两条相交直线都垂直才能判定,故B错误;选项C中,直线与平面平行并不意味着这条直线和平面内任意一条直线都平行,故C错误;选项D中,两条直线分别和同一个平面平行,这两条直线可能平行、相交、异面,故D错误.故选A.
15.A 对于①,CC1,B1E都在平面BB1C1C内,两直线必相交,故错误;对于②,AE,B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线,故AE与B1C1是异面直线,易知ABC是正三角形,E是BC中点,所以AE⊥BC,所以AE⊥B1C1,故正确;对于③,上底面ABC是一个正三角形,不可能存在AC⊥平面ABB1A1,故错误;对于④,因为A1C1∥AC,AC∩平面AB1E=A,所以A1C1与平面AB1E不平行,故错误.
16.C ∵α∩β=l,∴l⊂α,BA⊥α,BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC=B,∴l⊥平面ABC.
∵AC⊂平面ABC,∴l⊥AC.
17.答案 4
解析 如图,在三棱锥P-ABC中,令PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,则三角形PAB,三角形PAC,三角形ABC均为直角三角形,∵BC⊥AB,BC⊥PA,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB,∴三角形PBC是直角三角形,故图中四个面都是直角三角形.
18.证明 (1)∵AB为☉O的直径,∴AM⊥BM.
∵PA⊥平面ABM,∴PA⊥BM.又∵PA∩AM=A,∴BM⊥平面PAM.
又AN⊂平面PAM,∴BM⊥AN.又AN⊥PM,且BM∩PM=M,∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM,又PB⊂平面PBM,∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB,AN∩AQ=A,
∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ,∴PB⊥NQ.
19.解析 (1)证明:∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴BB1⊥平面ABCD.
∵AC⊂平面ABCD,∴BB1⊥AC.∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BD.
∵BB1∩BD=B,BB1,BD⊂平面BB1D,∴AC⊥平面BB1D.
∵B1D⊂平面BB1D,∴AC⊥B1D.
(2)易知VC-BDB1=VB1-BDC.∵B1B⊥平面ABCD,∴B1B是三棱锥B1-BDC的高.
∵VB1-BDC=13S△BDC·BB1=13×12×2×2×2=43,∴三棱锥C-BDB1的体积为43.
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一、单项选择题
1.C 在A中,n与α的关系是任意的,不能推出n⊥α,A错误;在B中,由条件得n∥α或n⊂α,B错误;在C中,由m⊥α得m垂直于α内的任意直线,又m∥n,所以n垂直于α内的任意直线,从而n⊥α,C正确;在D中,由条件可得n∥α或n⊂α,D错误.故选C.
2.B 对于①,由AB与CE所成角的大小为45°,可得直线AB与平面CDE不垂直;
对于②,由AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE;
对于③,由AB与CE所成角的大小为60°,可得直线AB与平面CDE不垂直;
对于④,由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB,同理,EC⊥AB,且ED∩EC=E,可得AB⊥平面CDE.故选B.
3.D A正确,因为SD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥SD.因为四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD.又因为BD∩SD=D,所以AC⊥平面SBD,所以AC⊥SB.
B正确,因为AB∥CD,而CD⊂平面SCD,AB⊄平面SCD,所以AB∥平面SCD.
C正确,设AC与BD的交点为O,连接SO,如图,则SA与平面SBD所成的角为∠ASO,SC与平面SBD所成的角为∠CSO,易知∠ASO=∠CSO,故SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角.
D不正确,AB与SC所成的角是∠SCD,DC与SA所成的角是∠SAB,
易知∠SCD≠∠SAB.故D不正确.
4.B 根据折叠前后AH⊥HE,AH⊥HF不变,得AH⊥平面EFH,
所以B正确.
5.C 如图,当DO⊥平面ABC时,三棱锥D-ABC的体积最大.
易知∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角.
∵在Rt△DOB中,OD=OB,∴直线BD和平面ABC所成角的大小为45°.
6.B 如图所示,
作B1H⊥BC1于点H,连接AH,因为AB⊥平面BCC1B1,B1H⊂平面BCC1B,∴AB⊥B1H,
又因为B1H⊥BC1,BC1∩AB=B,∴B1H⊥平面ABC1D1,∴AB1与平面ABC1D1所成的角为∠B1AH,
在Rt△BB1C1中,BB1=1,B1C1=2,由等面积法得到B1H=25,AB1=5,
∴∠B1AH的正弦值为B1HAB1=25. 故选B.
二、多项选择题
7.ACD 根据直线与平面垂直的判定定理,平面内这两条直线必须是相交的,选项A、C、D中给定的两条直线一定相交,能保证直线与平面垂直;而B中梯形的两边可能是上、下底边,它们互相平行,不满足直线与平面垂直的判定定理.故选ACD.
8.ABC ∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,
又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,∴BC⊥平面PAB,故A正确;
由BC⊥平面PAB,得BC⊥AD,∵PA=AB,D是PB的中点,∴AD⊥PB,又PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC,∴AD⊥平面PBC,又PC⊂平面PBC,∴AD⊥PC,故B,C正确;
由BC⊥平面PAB,得BC⊥PB,因此PB与CD不垂直,
从而PB不与平面ADC垂直,D错误.故选ABC.
三、填空题
9.答案 菱形
解析 如图,因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PA,又BD⊥PC,PA∩PC=P,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC,所以平行四边形ABCD为菱形.
10.答案 AC⊥BD(答案不唯一)
解析 在平面四边形ABCD中,设AC与BD交于点E,假设AC⊥BD,则AE⊥BD,CE⊥BD.沿BD折叠后(如图),AE与BD,CE与BD依然垂直,所以BD⊥平面AEC,所以AC⊥BD.故当平面四边形ABCD满足AC⊥BD时,空间四边形中的两条对角线互相垂直.
四、解答题
11.解析 将原棱锥补为正方体ABCD-PB1C1D1,如图所示,连接CB1,易知平面PCD即为平面PB1CD,作BF⊥CB1于点F.
∵CD⊥平面B1BCC1,∴CD⊥BF,又CB1∩CD=C,∴BF⊥平面PB1CD.
连接PF,则∠BPF就是直线PB与平面PCD所成的角.
∵BB1=BC=AB=a,∴BF=22a,PB=2a,∴sin∠BPF=12,∴∠BPF=30°.
∴直线PB与平面PCD所成角的大小为30°.
12.解析 (1)证明:∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∠ACB=90°,∴A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°,AA1⊥平面A1B1C1.∵C1D⊂平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D.∵D是A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1.
又A1B1∩AA1=A1,∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.
证明:如图,作DE⊥AB1于点E,延长DE交BB1于点F,连接C1F.
由(1)知C1D⊥平面AA1B1B,AB1⊂平面AA1B1B,∴C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,∴AB1⊥平面C1DF.
易知AA1=A1B1=2,∴四边形AA1B1B为正方形.
又D为A1B1的中点,DF⊥AB1,∴F为BB1的中点.∴当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.
13.解析 (1)证明:∵DD1⊥平面ABCD,CE⊂平面ABCD,∴DD1⊥CE.
连接DE,在Rt△DAE中,∵AD=1,AE=1,∴DE=AD2+AE2=2.
同理CE=2.
又CD=2,∴CD2=CE2+DE2,即DE⊥CE.
又DE∩DD1=D,∴CE⊥平面D1ED.
又D1E⊂平面D1ED,∴D1E⊥CE.
(2)∵DD1⊥平面ABCD,
∴D1到平面AEC的距离为DD1=1.
∵S△AEC=12AE·BC=12×1×1=12,
∴VD1-AEC=13·S△AEC·DD1=13×12×1=16,即三棱锥D1-AEC的体积是16.
14.解析 (1)如图,延长DA到M,使得AM=1,连接SM,BM.
由DM∥CB,DM=CB,得四边形BCDM为平行四边形,从而BM∥CD,
∴∠SBM(或其补角)是直线SB与CD所成的角.
∵SA⊥平面ABCD,
∴SA⊥AB,SA⊥AD.
又SA=AB=2,
∴SM=BM=5,SB=22,
取SB的中点N,连接MN,
则MN⊥SB,BN=2,
则cs∠SBM=BNBM=25=105.故直线SB与CD所成角的余弦值为105.
(2)由(1)知N为SB的中点,如图,连接DN,设点C到平面SBD的距离为d.
∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥AB,SA⊥AD.
又SA=AB=BC=2,AD=1,
∴SB=22,SD=BD=5,
∴DN=3,S△SBD=12SB·DN=12×22×3=6,
又S△BCD=12CB·AB=12×2×2=2,
由VS-BCD=VC-SBD,得13·S△BCD·SA=13·S△SBD·d,即13×2×2=13×6×d,
解得d=263.
故点C到平面SBD的距离为263.