高中北师大版 (2019)2.4 积化和差与和差化积公式复习练习题

这是一份高中北师大版 (2019)2.4 积化和差与和差化积公式复习练习题，共10页。试卷主要包含了4　积化和差与和差化积公式，下列各式中不正确的是，sin37等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 对积化和差与和差化积公式的理解
1.下列各式中不正确的是( )

A.sin α+sin β=2sinβ+α2csβ-α2
B.cs α+cs β=2csβ+α2csβ-α2
C.sin α-sin β=2csβ+α2sinβ-α2
D.cs α-cs β=2sinβ+α2sinβ-α2
2.(2020山东济南三中高一期末)sinπ4+αcsπ4+β化成和差的形式为( )
A.12sin(α+β)+12sin(α-β)
B.12cs(α+β)+12sin(α-β)
C.12sin(α+β)+12cs(α-β)
D.12cs(α+β)+12cs(α-β)
题组二 利用公式化简、求值
3.(2020四川成都七中高一期中)sin 20°+cs 10°可化简为( )
A.sin 50°B.cs 50°C.3sin 50°D.3cs 50°
4.sin37.5°cs7.5°的值为( )
A.22B.24
C.2+14D.2+24
5.化简csα-cs3αsin3α-sinα的结果为( )
A.tan αB.tan 2αC.1tanαD.-tan 2α
6.sin 20°cs 70°+sin 10°sin 50°的值是( )
A.14B.32C.12D.34
7.(2020吉林省实验中学高一期中)已知α-β=π3且cs α-cs β=13,则csα+β2=( )
A.223B.-223
C.±223D.±13
8.(2020辽宁沈阳高一期末)若csα+π4csα-3π4=-13,则sin 2α等于( )
A.23B.-43C.13D.-13
9.若sin(α+β)=23,sin(α-β)=15,则sin αcs β的值是 .
10.(2020山西临汾一中高一期末)化简sin α·sin(60°+α)·sin(60°-α)= .
11.求下列各式的值.
(1)2cs 50°cs 70°-cs 20°;
(2)sin 80°cs 40°-12sin 40°;
(3)sin 37.5°sin 22.5°-12cs 15°;
(4)cs 40°-cs 80°-3sin 20°.
题组三 利用公式研究函数的性质
12.(2020山东潍坊中学高一期末)函数f(x)=4sin x·sinπ3-x的最大值是( )
A.1B.3C.-1D.2
13.(2020河北沧州高一期中)函数y=cs x·csx-π3的最小正周期为( )
A.4πB.2πC.πD.π2
14.(2020湖北荆门高一期末)函数y=sin2x+sin2x+π3cs2x+cs(2x+π3)的最小正周期为 .
15.在△ABC中,若B=30°,则cs Asin C的取值范围是 .
能力提升练
题组 积化和差与和差化积公式的综合应用
1.(2020山东泰安高一期末,)计算sin10°+sin50°sin35°·sin55°=( )

A.14B.12
C.2D.4
2.(2020湖南岳阳一中高一期末,)若sin α+sin β=1213,cs α+cs β=613,则tanα+β2的值为( )
A.2B.12
C.-2D.-12
3.(2020天津耀华中学高一期末,) sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°=( )
A.12B.22
C.32D.1
4.()在△ABC中,若2sin Asin B=1+cs C,则△ABC的形状是( )
A.等边三角形B.等腰三角形
C.钝角三角形D.直角三角形
5.(2020甘肃武威高一期末,)若3(sin α+sin β)=cs α-cs β,且α,β∈(0,π),则α-β的值等于( )
A.π3B.-π3
C.2π3D.-2π3
6.(2020山东潍坊高一期中,)函数y=sin2x+π3+sin2x-π3在0,π6上的最小值为( )
A.-3B.0
C.-1D.-12
7.(多选)(2020福建泉州高一期中,)函数f(x)=sinx+π3-cs2π3-x的图象的对称轴方程不可能为( )
A.x=-π12B.x=11π12
C.x=π6D.x=5π12
8.(2020江苏宿迁高一期末,)cs2π7+cs4π7+cs6π7= .
9.(2020甘肃兰州一中高一期末,)在△ABC中,若2csC2=sinA+sinBcsA+csB,试判断三角形ABC的形状.
10.(2020陕西咸阳高一期末,)已知3tanα-π12=tanα+π12,求证:sin 2α=1.
11.(2020山东烟台高一期末,)△ABC中,求证:sin A+sin B+sin C=4cs A2cs B2cs C2.
答案全解全析
第四章 三角恒等变换
2.4 积化和差与和差化积公式
基础过关练
1.C2.B3.C4.C5.B
6.A7.C8.C12.A13.C
1.C 由和差化积公式可知,sin α-sin β=2cs (β+α)/2sin (α"-" β)/2,故C不正确.
2.B sin(π/4+α)cs π/4+β =1/2 sin π/4+α+π/4+β +sin π/4+α-π/4-β =1/2• sin π/2+α+β +sin(α-β) =1/2•cs(α+β)+1/2sin(α-β).
3.C sin 20°+cs 10°=sin 20°+sin 80°=2sin 50°cs(-30°)=√3sin 50°.
4.C sin 37.5°cs 7.5°=1/2(sin 45°+sin 30°)=(√2+1)/4.
5.B (csα"-" cs3α)/(sin3α"-" sinα)=("-" 2sin2αsin"(-" α")" )/2cs2αsinα
=tan 2α.
6.A 原式=1/2[sin 90°+sin(-50°)]-1/2•(cs 60°-cs 40°)=1/2-1/2sin 50°-1/4+1/2cs 40°=1/4.
7.C 由cs α-cs β=1/3,得-2sin (α+β)/2•sin (α"-" β)/2=1/3,又α-β=π/3,所以sin (α+β)/2=-1/3,
所以cs (α+β)/2=±√(1"-" sin^2 (α+β)/2)=±(2√2)/3.
8.C 因为cs α+π/4 cs α-3π/4 =1/2• cs α+π/4+α-3π/4 +cs α+π/4-α+3π/4 =1/2 cs 2α-π/2 +cs π =1/2•(sin 2α-1)=-1/3,所以sin 2α=1/3.
9.答案 13/30
解析 sin αcs β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]=1/2× 2/3+1/5 =13/30.
10.答案 1/4sin 3α
解析 原式=sin α•1/2[-cs(60°+α+60°-α)+cs(60°+α-60°+α)]
=sin α•1/2 1/2+cs 2α
=1/4sin α+1/2sin αcs 2α
=1/4sin α+1/2•1/2[sin 3α+sin(-α)]
=1/4sin 3α.
11.解析 (1)2cs 50°cs 70°-cs 20°
=cs(50°+70°)+cs(50°-70°)-cs 20°
=cs 120°+cs 20°-cs 20°=cs 120°
=-1/2.
(2)sin 80°cs 40°-1/2sin 40°
=1/2[sin(80°+40°)+sin(80°-40°)]-1/2•sin 40°
=1/2(sin 120°+sin 40°)-1/2sin 40°=√3/4.
(3)sin 37.5°sin 22.5°-1/2cs 15°
=-1/2[cs(37.5°+22.5°)-cs(37.5°-22.5°)]-1/2cs 15°
=-1/2(cs 60°-cs 15°)-1/2cs 15°
=-1/2cs 60°=-1/4.
(4)cs 40°-cs 80°-√3sin 20°
=-2sin (40"°" +80"°" )/2sin (40"°-" 80"°" )/2-√3sin 20°
=-2sin 60°sin(-20°)-√3sin 20°
=√3sin 20°-√3sin 20°=0.
12.A f(x)=4sin xsin π/3-x =4×("-" 1/2) cs x+π/3-x -cs x-π/3+x
=-2 cs π/3-cs 2x-π/3 =2cs 2x-π/3 -1,故函数的最大值为1.
13.C y=cs x•cs x-π/3 =1/2 cs x+x-π/3 +cs x-x+π/3 =1/2cs 2x-π/3 +1/4,故函数的最小正周期T=2π/2=π.
14.答案 π/2
解析 由于y=(sin2x+sin(2x+π/3))/(cs2x+cs(2x+π/3))=(2sin(2x+π/6)cs("-" π/6))/(2cs(2x+π/6)cs("-" π/6))=tan 2x+π/6 ,故函数的最小正周期T=π/2.
15.答案 -1/4,3/4
解析 由于B=30°,所以A+C=150°,因此cs Asin C=1/2[sin(A+C)-sin(A-C)]=1/2sin 150°-1/2sin(A-C)=1/4-1/2sin(A-C),由A+C=150°,得0°能力提升练
1.C2.A3.C4.B5.D
6.B7.CD
1.C 原式=(2sin30"°" cs20"°" )/("-" 1/2 "(" cs90"°-" cs20"°)" )
=cs20"°" /(1/2 cs20"°" )=2,故选C.
2.A 由已知得2sin (α+β)/2cs (α"-" β)/2=12/13,
2cs (α+β)/2cs (α"-" β)/2=6/13,
两式相除得tan (α+β)/2=(12/13)/(6/13)=2.
3.C 原式=sin 20°-sin 80°+sin 40°+sin 60°=2cs 50°sin(-30°)+cs 50°+sin 60°=sin 60°=√3/2.
4.B 由已知得-2×1/2[cs(A+B)-cs(A-B)]=1+cs C,即cs C+cs(A-B)=1+cs C,因此cs(A-B)=1,所以A-B=0,即A=B,无法判断C是否等于A或B,也无法判断C是不是直角或钝角,所以△ABC是等腰三角形.
5.D 由已知得2√3sin (α+β)/2cs (α"-" β)/2=-2sin (α+β)/2sin (α"-" β)/2,由于α,β∈(0,π),所以(α+β)/2∈(0,π),故sin (α+β)/2≠0,因此tan (α"-" β)/2=-√3.又因为cs α-cs β>0,所以α<β,因此(α"-" β)/2∈ -π/2,0 ,所以(α"-" β)/2=-π/3,故α-β=-2π/3.
6.B y=sin 2x+π/3 +sin 2x-π/3
=2sin (2x+π/3+2x"-" π/3)/2cs (2x+π/3 "-" 2x+π/3)/2
=2sin 2xcs π/3=sin 2x,
由于x∈ 0,π/6 ,所以2x∈ 0,π/3 ,故函数在 0,π/6 上的最小值为0.
7.CD f(x)=sin x+π/3 -cs 2π/3-x
=sin x+π/3 -sin x-π/6
=2cs (x+π/3+x"-" π/6)/2sin (x+π/3 "-" x+π/6)/2
=√2cs x+π/12 ,
令x+π/12=kπ,k∈Z,得x=kπ-π/12,k∈Z,所以其图象的对称轴方程为x=kπ-π/12(k∈Z),因此x=π/6和x=5π/12不可能是其图象的对称轴.
8.答案 -1/2
解析 原式
=((cs" " 2π/7+cs" " 4π/7+cs" " 6π/7)sin" " π/7)/(sin" " π/7)
=(1/2 (sin" " 3π/7 "-" sin" " π/7+sin" " 5π/7 "-" sin" " 3π/7+sin" " π"-" sin" " 5π/7))/(sin" " π/7)
=("-" 1/2 sin" " π/7)/(sin" " π/7)=-1/2.
9.解析 由已知得√2cs C/2=(2sin" " (A+B)/2 cs" " (A"-" B)/2)/(2cs" " (A+B)/2 cs" " (A"-" B)/2),所以√2cs C/2=(sin" " (A+B)/2)/(cs" " (A+B)/2),即√2cs C/2=(cs" " C/2)/(cs" " (A+B)/2),于是cs (A+B)/2=√2/2,又(A+B)/2∈(0,π),所以(A+B)/2=π/4,故A+B=π/2,即C=π/2,无法判断A是否等于B,故三角形ABC是直角三角形.
10.证明 因为3tan α-π/12 =tan α+π/12 ,所以(3sin(α"-" π/12))/(cs(α"-" π/12))=(sin(α+π/12))/(cs(α+π/12)),所以3sin α-π/12 cs α+π/12 =sin α+π/12 cs α-π/12 ,
因此3/2 sin 2α-sin π/6 =1/2 sin 2α+sin π/6 ,
即3sin 2α-3/2=sin 2α+1/2,
故sin 2α=1.
11.证明 因为A+B+C=π,所以C=π-(A+B),C/2=π/2-(A+B)/2,
所以sin A+sin B+sin C=2sin (A+B)/2cs (A"-" B)/2+sin(A+B)
=2sin (A+B)/2cs (A"-" B)/2+2sin(A+B)/2cs (A+B)/2
=2sin (A+B)/2 cs (A"-" B)/2+cs (A+B)/2
=2sin (A+B)/2•2cs A/2cs B/2
=2cs C/2•2cs A/2cs B/2
=4cs A/2cs B/2cs C/2.
故等式成立.