高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业

8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.1　平面

基础过关练

题组一　点、直线、平面位置关系的三种语言转换

1.若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q,b,β之间的关系可记作　(　　)　　 　　　　　 　　　　　

A.Q∈b∈β B.Q∈b⊂β

C.Q⊂b⊂β D.Q⊂b∈β

2.下列关于两个相交平面的画法正确的是(　　)

3.如图所示,用符号语言可表示为(　　)

A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=A

B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A

C.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂n

D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n

4.已知点A在直线l上,点B不在直线l上,l在平面α外,l在平面β内,下列表示正确的有　　　　.(填序号) 

①A∈l,②A⊂l,③B∉l,④B⊄l,⑤l⊂α,⑥l⊄α,⑦l⊄β,⑧l⊂β.

题组二　平面的基本事实及其应用

5.下列命题正确的是(　　)

A.一条直线和一点确定一个平面

B.两条相交直线确定一个平面

C.四点确定一个平面

D.三条平行直线确定一个平面

6.下列四个命题:①任意两条直线都可以确定一个平面;②若两个平面有3个不同的公共点,则这两个平面重合;③对于直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c共面;④若直线l上有一点在平面α外,则l在平面α外.其中错误命题的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

7.(2020河北衡水武邑中学高一上月考)下列说法正确的是(　　)

A.三点确定一个平面

B.四边形一定是平面图形

C.梯形一定是平面图形

D.不重合的平面α和平面β有不同在一条直线上的三个公共点

8.(2020广东中山第一中学高一段考)下列说法不正确的是(　　)

A.三角形一定是平面图形

B.若四边形的两条对角线相交于一点,则该四边形是平面图形

C.圆心和圆上两点可确定一个平面

D.三条平行线最多可确定三个平面

9.已知平面α与平面β、γ分别相交,则这三个平面的交线有(　　)

A.1条或2条 B.2条或3条

C.1条或3条 D.1条或2条或3条

题组三　共点、共线、共面问题

10.空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则(　　)

A.P一定在直线BD上

B.P一定在直线AC上

C.P在直线AC或BD上

D.P既不在直线BD上,也不在直线AC上

11.(2020河南南阳一中高三上月考)如图所示,六面体ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)

A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1不共面

C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面

12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:

(1)D,B,F,E四点共面;

(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线.

答案全解全析

基础过关练

1.B　因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以Q∈b.因为直线b(集合)在平面β(集合)内,所以b⊂β.所以Q∈b⊂β.

2.D　对于A,图中没有画出平面α与平面β的交线,另外图中的虚、实线也没有按照画法原则去画,因此A的画法不正确,同理,B,C的画法也不正确,D的画法正确.

3.A　两个平面α与β相交于直线m,直线n在平面α内,直线m和直线n相交于点A,故用符号语言可表示为α∩β=m,n⊂α,m∩n=A,故选A.

4.答案　①③⑥⑧

解析　∵点A在直线l上,直线l在平面α外,点B不在直线l上,l在平面β内,

∴A∈l,l⊄α,B∉l,l⊂β.

故正确的为①③⑥⑧.

5.B　根据一条直线和这条直线外一点确定一个平面,知A不正确;B显然正确;C中,当四点在一条直线上时,可确定无数个平面,故C不正确;三条平行直线可以确定一个平面或三个平面,故D不正确.故选B.

6.C　①显然错误;

在②中,若两个平面有3个不共线的公共点,则这两个平面重合,若两个平面有3个共线的公共点,则这两个平面相交或重合,故②错误;

在③中,对于直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c不一定共面,如图所示的四面体S-ABC中,SA与AB共面,AB与BC共面,但SA与BC不共面,故③错误;

在④中,若直线l上有一点在平面α外,则l在平面α外,故④正确.

故选C.

7.C　A错误,不共线的三个点才可以确定一个平面;

B错误,四边形不一定是平面图形;

C正确,梯形有一组对边平行,两条平行线确定一个平面;

D错误,若平面α与β有公共点,则这些公共点都在两个平面的交线上.故选C.

8.C　三角形一定是平面图形,A中说法正确;由两条相交直线确定一个平面可知,若四边形的两条对角线相交于一点,则该四边形是平面图形,B中说法正确;当圆心和圆上两点在同一条直线上(即圆的直径)时,可确定无数个平面,C中说法不正确;三条平行线最多可确定三个平面,D中说法正确.故选C.

9.D　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD和平面A1B1C1D1都与平面BB1D1D相交,这三个平面有两条交线;平面ABB1A1和平面BB1D1D都与平面BB1C1C相交,这三个平面有一条交线;平面ABB1A1和平面AA1D1D都与平面BB1D1D相交,这三个平面有三条交线.故若平面α与平面β、γ分别相交,则这三个平面的交线有1条或2条或3条.故选D.

10.B　由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC=AC,所以由基本事实3可知点P一定在直线AC上.故选B.

11.A　连接A1C1,AC,易知A1C1∥AC,

∴A1,C1,A,C四点共面,

∴A1C⊂平面ACC1A1.

∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1,

又M∈平面AB1D1,

∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理点A、点O均在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,

∴A,M,O三点共线.

故选A.

12.证明　(1)连接B1D1,

∵E,F分别为D1C1,C1B1的中点,

∴EF∥B1D1.

在正方体AC1中,易知B1D1∥BD,

∴EF∥BD,

∴EF,BD可确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.

(2)正方体AC1中,设A1A、CC1确定的平面为α,平面BDEF为β.

∵Q∈A1C1,∴Q∈α,又Q∈EF,∴Q∈β,

∴点Q在平面α与β的交线上,

同理P∈α,P∈β,

∴点P在平面α与β的交线上,

∴α∩β=PQ.

又A1C∩β=R,∴R∈β,R∈A1C,∴R∈α,

∴R∈PQ,故P,Q,R三点共线.