人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课后作业题

《第四节　空间点、直线、平面之间的位置关系》同步练习

（课时1　平面）

一、基础巩固

知识点1　点、线、面之间的位置关系的表示

1.[2022福建宁德期中]如图所示,点A,直线m在平面α内,则用符号语言表示为(　　)

A.m⊂α, 

B.m⊂α,

C.m∈α,

D.m∈α,A∈m

2.[2022山东聊城期中]下列图形表示两个相交平面,其中画法正确的是(　　)

知识点2　基本事实1~3及其推论

3.[2022上海华东师大二附中高二上月考]当我们停放自行车时,只要将自行车的脚撑放下,自行车就稳了,这用到了(　　)

A.三点确定一个平面

B.不共线的三点确定一个平面

C.两条相交直线确定一个平面

D.两条平行直线确定一个平面

4.[2022安徽宿州十三所重点中学高二上期末联考]已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的 (　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.[2022北京市第三十五中学段考]下列命题中,正确的是(　　)

A.过空间中不同的三点确定一个平面

B.若一直线与两条平行线都相交,则这三条直线在同一平面内

C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

D.有三条直线两两相交,则这三条直线一定共面

知识点3　共点、共线、共面问题

6.(多选)[2022安徽合肥八中高一下期中]下列四个命题中,不正确的是(　　)

A.一个点和一条直线确定唯一一个平面

B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面

C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面

D.不共面的四点中,其中任意三点不共线

7.如图所示,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E.求证:B,E,D三点共线.

8.如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别是PA,AB的中点,G,H分别是PC,BC上的点,且.

(1)证明:E,F,G,H四点共面.

(2)证明:三条直线EG,FH,AC交于一点.

二、能力提升

1.[2022陕西延安一中高一上月考]如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是(　　)

A.直线AB B.直线AC

C.直线BC D.直线CD

2.[2022山西晋中市平遥县第二中学高一下期中]在空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,H,G四点,如果EF与GH能相交于点P,那么(　　)

A.点P不在直线AC上 

B.点P必在直线BD上

C.点P必在平面ABC内

D.点P必在平面ABC外

3.(多选)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则(　　)

A.C1,M,O三点共线

B.C1,M,O,C四点共面

C.C1,O,A,M四点共面

D.D1,D,O,M四点共面

4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,点P为BB1的中点,设平面A1PC1∩AB=E,平面A1PC1∩BC=F,则线段EF=(　　)

A.  B.  C.2  D.5

5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上一点,F为棱AA1的中点,且CE=2C1E,AB=2,AA1=3,BC=4,则平面BEF截该长方体所得截面为　　　　边形,截面与侧面ADD1A1、侧面CDD1C1的交线长度之和为　　　　　. 

6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱AA1,CC1上,且AE=3A1E,C1F=3CF.

(1)求证:E,D,F,B1四点共面;

(2)若AD=2,AA1=4,AB=3,求三棱锥B1-BEF的体积.

7.[2022山东济宁邹城高一下期中]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是棱CC1,AA1的中点.

(1)画出平面BED1F与平面ABCD的交线,并说明理由;

(2)设H为直线B1D与平面BED1F的交点,求证:B,H,D1三点共线.

参考答案

一、基础巩固

1.B　 因为点A不在直线m上,点A在平面α内,直线m在平面α内,所以,A∈α,m⊂α,故选B.

2.D

3.B　自行车前后轮与脚撑分别接触地面,此时三个接触点不在同一条直线上,所以可以确定一个平面,从而使得自行车在地面上稳定停放.故选B.

4.A　当直线a和直线b相交时,平面α和平面β必有公共点,即平面α和平面β相交,充分性成立;当平面α和平面β相交时,直线a和直线b可能有公共点,也可能没有公共点,即必要性不成立.故选A.

5.B

6.ABC　直线和直线上的一点不能确定一个平面,故A命题错误;若A,B,C三点共线,直线DE与直线AC异面,则此时点A,B,C,D,E不共面,故B命题错误;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c可能共面,也可能异面,故C命题错误; 若任意三点共线,该直线与第四个点可以构成一个平面,与四点不共面矛盾,即原命题正确,故D正确.

7.证明因为AB∥CD,所以AB,CD共面.

设AB⊂β,CD⊂β,所以AC⊂β.

又E∈AC,所以E∈β.

由AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E,

可知B,E,D为平面α与平面β的公共点,

所以B,E,D三点共线.

8.证明(1)因为E,F分别是PA,AB的中点,

所以EF∥PB.

因为,所以GH∥PB.

所以GH∥EF,即E,F,G,H四点共面.

(2)由(1)知,GH∥EF,又GH<EF,

所以EG,FH必相交于一点,设为点O.

因为O∈EG,EG⊂平面PAC,所以O∈平面PAC.

同理O∈平面ABC.又平面PAC∩平面ABC=AC,

所以O∈AC,即三条直线EG,FH,AC交于一点.

二、能力提升

1.D　由题意,知D∈l,l⊂β,所以D∈β.又D∈AB,所以D∈平面ABC,所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又C∈β,C∈平面ABC,所以点C在平面ABC与平面β的交线上,所以平面ABC∩平面β=CD.

2.C　如图,在空间四边形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,有E∈平面ABC,F∈平面ABC,则直线EF⊂平面ABC.同理,直线GH⊂平面ADC.又EF,GH能相交于点P,即P∈EF,P∈GH,所以P∈平面ABC,P∈平面ADC.又平面ABC∩平面ADC=AC,所以P∈AC,A不正确,C正确,D不正确;又直线AC与BD没有公共点,所以点P不在直线BD上,B不正确.故选C.

3.ABC　连接A1C1,AC,则AC∩BD=O.又A1C∩平面C1BD=M,所以点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,故A,B,C均正确;D1,D,O三点均在平面DBB1D1上,M在平面DBB1D1外,故D错误.故选ABC.

4.C　由题易得,A1P与AB的延长线的交点为点E,因为AA1∥BP,且P为BB1的中点,所以AB=BE=4.同理可得C1P与CB的延长线的交点为点F,且BC=BF=2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,∠ABC=∠FBE=90°,所以EF==2.

5.五　　解析画出图形,如图,知截面为五边形.设平面BEF与棱C1D1,A1D1分别交于点G,H.分析知BF∥EG,BE∥FH,所以∠ABF=∠EGC1,∠CBE=∠A1HF.由题中条件,得C1E=1,CE=2,A1F=AF=,所以,,所以C1G=,A1H=3,所以FH+GE=.

6.解析(1)如图,连接DF,在DD1上取一点G,使D1G=A1E,连接EG,GC1.

因为A1E∥D1G且A1E=D1G,

所以四边形A1EGD1是平行四边形,

所以EG∥A1D1且EG=A1D1.

又A1D1∥B1C1且A1D1=B1C1,

所以EG∥B1C1且EG=B1C1,

所以四边形EB1C1G是平行四边形,所以EB1∥GC1.

又DG∥FC1且DG=FC1,

所以四边形DFC1G是平行四边形,所以GC1∥DF,

所以EB1∥DF,即E,D,F,B1四点共面.

(2)由题易得BC=2,B1B=4,

所以×4×2=4.

又点E到平面B1BF的距离d=AB=3,

所以×4×3=4.

7.解析(1)如图,直线PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线,理由如下:

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

因为E,F分别是棱CC1,AA1的中点,DA⊂平面AA1D1D,D1F⊂平面AA1D1D,且DA与D1F不平行,

所以在平面AA1D1D内分别延长D1F,DA,

则D1F与DA必相交于一点,不妨设为点P,

所以P∈AD,P∈D1F.

因为DA⊂平面ABCD,D1F⊂平面BED1F,

所以P∈平面ABCD,P∈平面BED1F,

即P为平面ABCD和平面BED1F的公共点.

又点B为平面ABCD和平面BED1F的公共点,连接PB,

所以直线PB为平面BED1F与平面ABCD的交线.

(2)如图,连接BD1.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

因为BB1∥DD1,且BB1=DD1,

所以四边形BB1D1D为平行四边形.

因为H为直线B1D与平面BED1F的交点,所以H∈B1D.

又B1D⊂平面BB1D1D,所以H∈平面BB1D1D,

又H∈平面BED1F,平面BED1F∩平面BB1D1D=BD1,

所以H∈BD1,所以B,H,D1三点共线.