高中人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试习题

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知a>0,则·等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.  B. C. D.a

2.已知a>1,函数y=a-x与y=loga(-x)的图象只可能是(　　)

3.由表格中的数据,可以判断方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间是(　　)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

4.已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是(　　)

A.m<n<p B.m<p<n

C.p<m<n D.p<n<m

5.设函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=+2x+b(其中b为实数),则f(1)的值为(　　)

A.-3 B.-1 C.1 D.3

6.已知关于x的方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的两个实数根x1,x2满足x1<<x2,则实数m的取值范围为(　　)

A.m<4 B.-<m<4

C.<m<4 D.-<m<

7.已知函数f(x)=e|x|+x2(e为自然对数的底数),且f(3a-2)>f(a-1),则实数a的取值范围是(　　)

A. B.

C.∪ D.∪

8.若函数f(x)=且满足对任意的实数x1,x2(x1≠x2),都有>0成立,则实数a的取值范围是　(　　)

A.(1,+∞)  B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.设函数y=ln(x2-x+1),则下列命题中正确的是(　　)

A.函数的定义域为R

B.函数是增函数

C.函数的值域为R

D.函数的图象关于直线x=对称

10.一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶,跑道由几段直道和弯道组成,图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系.

图1

图2

根据图1,以下四个说法中正确的是(　　)

A.在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间,赛车速度逐渐增加

B.在整个跑道上,最长的直线路程不超过0.6 km

C.大约在这第二圈的0.4 km到0.6 km之间,赛车开始了那段最长直线路程的行驶

D.在图2的四条曲线(注:s为初始记录数据位置)中,曲线B最能符合赛车的运动轨迹

11. 若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1<x2,则下列结论中正确的有(　　)

A.当m=0时,x1=2,x2=3

B.m>-

C.当m>0时,2<x1<x2<3

D.二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0)

12.已知函数f(x)的定义域为D,若对任意x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称函数f(x)为“M函数”.下列所给出的函数中是“M函数”的有(深度解析)

A.y=x2 B.y=

C.y=2x-1 D.y=ln(x+1)

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.已知函数f(x)=x2+2ax+1在区间(-1,1)上是单调的,且在该区间内有且只有一个零点,则实数a的取值范围是　　　　. 

14.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1℃,空气的温度是θ0 ℃,t min后物体的温度θ(℃)可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把温度是100 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约等于　　　　.(保留两位有效数字,参考数据:ln 3≈1.099) 

15.已知函数f(x)=x2-2x+loga在内恒小于零,则实数a的取值范围是　　　　. 

16.已知[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.2]=-2,[1.5]=1,[3]=3.若f(x)=2x,g(x)=f(x-[x]),则g=　　　　,函数g(x)的值域为　　　　.深度解析(本小题第一空2分,第二空3分) 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)化简求值:

(1)0.-+1+0.2;

(2)lg 25+lg 2+-log29×log32.

18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax+bx(其中a,b为常数,a,b>0且b≠1)的图象经过点A(1,6),B.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若a>b,函数g(x)=-+2,求函数g(x)在[-1,2]上的值域.

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2x-.

(1)若f(x)=2,求x的值;

(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.

20.(本小题满分12分)经济学中,函数f(x)的边际函数M(x)定义为M(x)=f(x+1)-f(x),利润函数P(x)的边际利润函数定义为M1(x)=P(x+1)-P(x).某公司最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4 000(单位:元),利润是收入与成本之差.

(1)求利润函数P(x)的边际利润函数M1(x);

(2)利润函数P(x)与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值?

(3)你认为本题中边际利润函数M1(x)取最大值的实际意义是什么?

21.(本小题满分12分)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在函数y=-(1+k2)x2+kx(k>0)表示的图象上,其中k是与发射方向有关的参数,炮的射程是指炮弹落地点到原点的距离.

(1)求炮的最大射程;

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

22.(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.

(1)求 a,b的值;

(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.

答案全解全析

本章达标检测

一、单项选择题

1.A　·==,故选A.

2.C　当a>1时,y=a-x=,在R上是减函数;当a>1时,y=logax是增函数,且函数y=logax的图象与函数y=loga(-x)的图象关于y轴对称,综合考虑选项C正确.

3.C　设f(x)=ex-3x-2,由题表知, f(0)、 f(1)、 f(2)均为负值,f(3)、 f(4)均为正值,因此方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间为(2,3),故选C.

4.C　∵m=0.95.1<0.90=1,∴m∈(0,1);又n=5.10.9>5.10=1,∴n∈(1,+∞);∵p=log0.95.1<log0.91=0,∴p∈(-∞,0).故选C.

5.C　f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)=+0+b=1+b=0,得到b=-1,则f(-1)=-1,所以f(1)=-f(-1)=1,故选C.

6.D　设f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16,由题意可得, f<0,即-(2m-8)×+m2-16<0,即4m2-12m-7<0,解得-<m<.故选D.

7.C　易知f(x)=e|x|+x2为偶函数,所以f(3a-2)>f(a-1)同解于f(|3a-2|)>f(|a-1|).又因为在[0,+∞)上, f(x)=e|x|+x2为增函数,所以f(|3a-2|)>f(|a-1|)⇒|3a-2|>|a-1|,两边平方得8a2-10a+3>0,解得a<或a>,故选C.

8.D　∵对任意的实数x1,x2(x1≠x2),都有>0成立,

∴函数f(x)=在R上单调递增,∴解得a∈[4,8),故选D.

二、多项选择题

9.AD　A正确,∵x2-x+1=+>0恒成立,∴函数的定义域为R;

B错误,函数y=ln(x2-x+1)在x>时是增函数,在x<时是减函数;

C错误,由x2-x+1=+≥可得y=ln(x2-x+1)≥ln,∴函数的值域为;

D正确,函数的图象关于直线x=对称.故选AD.

10.AD　由题图1知,在2.6 km到2.8 km之间,图象上升,故在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间,赛车速度逐渐增加,故A正确;在整个跑道上,高速行驶时最长为(1.8,2.4)之间,但直道加减速也有过程,故最长的直线路程有可能超过0.6 km,故B不正确;最长直线路程应在1.4到1.8之间开始,故C不正确;由题图1可知,跑道应有3个弯道,且直线跑道两长一短,故D正确.故选AD.

11.ABD　选项A中,当m=0时,(x-2)(x-3)=0,解得x1=2,x2=3,A正确;选项B中,(x-2)(x-3)=m有两个不等实数根⇔25-4(6-m)>0⇔m>-,B正确;选项C中,作y=(x-2)(x-3)及y=m的图象,如图,由图知,x1<2<3<x2,C错误;选项D中,依题意得(x-2)(x-3)-m=(x-x1)(x-x2),

∴(x-x1)(x-x2)+m=(x-2)(x-3),D正确.故选ABD.

12.BD　依题意得,若b是f(x)的值域中的数,则-b也是值域中的数,即f(x)的值域关于原点对称,选项A中函数的值域为[0,+∞),不是“M函数”;选项B中函数的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),是“M函数”;选项C中函数的值域为(0,+∞),不是“M函数”;选项D中函数的值域为R,是“M函数”.故选BD.

解题模板　准确理解题意是解题的关键.“对任意x∈D,都存在y∈D,使得g(y)=f(x)成立”的含义是“f(x)的值域是g(y)的值域的子集”. 本题中“对任意x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立”,意思是s在函数f(x)的值域内,-s也在函数f(x)的值域内,从而解决问题.

三、填空题

13.答案　(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析　由f(x)在(-1,1)上单调,知-a∉(-1,1),

从而a≤-1或a≥1.

又f(x)在(-1,1)内有且只有一个零点,

∴f(-1)·f(1)<0⇒(2-2a)(2+2a)<0⇒a<-1或a>1.

故a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).

14.答案　4.58

解析　由题意可得40=10+(100-10)·e-0.24t,化简可得e-0.24t=,∴-0.24t=ln=-ln 3,∴0.24t=ln 3≈1.099,∴t≈4.58.

15.答案　

解析　f(x)=x2-2x+loga在内恒小于零,即(x-1)2<loga(x-1)对于x∈恒成立,画出函数y=(x-1)2与y=loga(x-1)的图象(略),得解得≤a<1.

16.答案　;[1,2)

解析　依题意得g=f=f==.

设u=x-[x],则u∈[0,1),

∴y=g(x)=f(u)=2u∈[1,2).

易错警示　准确理解[x]的含义是解题的关键,必要时可用由特殊到一般的方法,要防止因错误理解[x]的含义导致解题错误.

四、解答题

17.解析　(1)-++

=0.-1++0.

=2.5-1+8+0.5=10.(5分)

(2)lg 25+lg 2+-log29×log32

=lg 5+lg 2+-2(log23×log32)

=1+-2=-.(10分)

18.解析　(1)由f(x)的图象经过A,B两点得,

即(2分)

∴a,b是一元二次方程x2-6x+8=0的两个根,解此一元二次方程得,x1=2,x2=4,因此a=2,b=4或a=4,b=2.所以f(x)=2x+4x.(5分)

(2)由(1)及a>b知,a=4,b=2,

∴g(x)=-+2,(7分)

设t=,x∈[-1,2],则≤t≤2.(8分)

令φ(t)=t2-t+2,t∈,

由φ(t)=+知,≤φ(t)≤4.

因此函数g(x)在[-1,2]上的值域为.(12分)

19.解析　(1)当x<0时,f(x)=0;当x≥0时,f(x)=2x-.(2分)

由条件可知2x-=2,即22x-2·2x-1=0,又2x>0,解得2x=1+.(4分)

∴x=log2(1+).(5分)

(2)当t∈[1,2]时,2t+m·≥0,(6分)

即m(22t-1)≥-(24t-1),(7分)

∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).(9分)

∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5],(11分)

故m的取值范围是[-5,+∞).(12分)

20.解析　(1)由题意得,P(x)=R(x)-C(x)=(3 000x-20x2)-(500x+4 000)

=-20x2+2 500x-4 000(1≤x≤100,x∈N),

所以M1(x)=P(x+1)-P(x)=2 480-40x,(1≤x≤100,x∈N).(3分)

(2)∵P(x)=-20+74 125,

∴x=62或x=63时,P(x)max=74 120(元),(6分)

∵M1(x)=2 480-40x,

∴x=1时,M1(x)max=2 440元,

∴P(x)与M1(x)不具有相等的最大值.(8分)

(3)边际利润函数M1(x)在x取1时有最大值,说明生产第二台与生产第一台的总利润差最大,即第二台报警系统利润最大;M1(x)是减函数,说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润相比较,利润在减少.(12分)

21.解析　(1)令y=0,得-(1+k2)x2+kx=0,(2分)

x1=0,x2==≤=10(当且仅当k=1时取“=”),(4分)

∴炮的最大射程是10千米.(5分)

(2)设飞行物的横坐标为m,

由函数式得,-(1+k2)m2+km=3.2(k>0),

即m2k2-20mk+(m2+64)=0,(8分)

∴Δ=400m2-4m2(m2+64)≥0,(10分)

∴m≤6,

此时k=>0,(11分)

∴当m不超过6千米时,炮弹可以击中目标.(12分)

22.解析　(1)因为f(x)是R上的奇函数,

所以f(0)=0,即=0,解得b=1.(2分)

从而有f(x)=.又由f(1)=-f(-1)知=-,

解得a=2.(4分)

经检验,当f(x)=时,f(-x)=-f(x),满足题意,所以a=2,b=1.(5分)

(2)由(1)知f(x)==-+,

由上式易知f(x)在R上为减函数,(7分)

又因为f(x)是奇函数,

∴f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).(9分)

因为f(x)是R上的减函数,

所以t2-2t>-2t2+k,即对任意t∈R有3t2-2t-k>0,

从而Δ=4+12k<0,解得k<-.(12分)