高中湘教版（2019）1.5 向量的数量积精品作业课件ppt

1.5.2　数量积的坐标表示及其计算

必备知识基础练

1.(多选题)设向量a=(1,0),b=,则下列结论不正确的是(　　)

A.|a|=|b| B.a·b=

C.a∥b D.a-b与b垂直

答案ABC

解析A项,|a|=1,|b|=,故|a|≠|b|;

B项,a·b=1×+0×;

C项,1×≠0×;

D项,a-b=,(a-b)·b==0,故a-b与b垂直.

2.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=(　　)

A.-3 B.-2 C.2 D.3

答案C

解析由=(1,t-3),||==1,得t=3,则=(1,0).所以=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.

3.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于(　　)

A.4 B.-4 C.2 D.-2

答案A

解析如图,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2).

故=(1,2)·(0,2)=0+4=4.

4.在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,E为线段BC的中点,F为线段CD上的动点,则的取值范围是(　　)

A.[2,14] B.[0,12]

C.[0,6] D.[2,8]

答案A

解析建立平面直角坐标系,如图,A(0,0),E(2,1),

设F(x,2)(0≤x≤2),

所以=(2,1),=(x,2),

因此=2x+2,

设f(x)=2x+2(0≤x≤2),f(x)为增函数,

则f(0)=2,f(2)=14,故2≤f(x)≤14,的取值范围是[2,14].

5.(2021河南模拟)若非零向量a,b满足|a|=3|b|,(2a+3b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)

A. B. C. D.

答案C

解析根据题意,设a与b的夹角为θ,|b|=t,

则|a|=3|b|=3t.

若(2a+3b)⊥b,则(2a+3b)·b=2a·b+3b2=6t2cos θ+3t2=0,即cos θ=-.

又0≤θ≤π,所以θ=.故选C.

6.设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|=.

答案

解析因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(-x)×2=0,解得x=1,则|a|=.

7.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=　　　　. 

答案2

解析a·b=-1+3y,|a|=,|b|=,

∵a与b的夹角为45°,

∴cos 45°=.

解得y=2或y=-(舍去).

8.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).

(1)若a∥b,求|a-b|;

(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.

解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,

解得x=0或x=-2.

当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),

所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.

当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),

所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2.

综上,|a-b|=2或2.

(2)因为a与b的夹角为锐角,

所以a·b>0,即2x+3-x2>0,

解得-1<x<3.

又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).

9.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).

(1)求证:AB⊥AD;

(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值.

(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),

∴=(1,1),=(-3,3).又=1×(-3)+1×3=0,∴,∴AB⊥AD.

(2)解∵,四边形ABCD为矩形,

∴.

设点C的坐标为(x,y),

则=(x+1,y-4).

又=(1,1),∴解得

∴点C的坐标为(0,5).

∴=(-2,4),=(-4,2),

∴||=2,||=2=8+8=16.设的夹角为θ,则cos θ=.故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.

关键能力提升练

10.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足=2,则=(　　)

A.- B.-1 

C.-2 D.-2

答案B

解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以=(0,2),=(2,0).因为=2,

所以2=(0,2)+(2,0)=(2,2),故=(1,1),故P(1,1),=(0,1),=(1,-1),

所以=0×1+1×(-1)=-1.

11.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是(　　)

A.[0,1] B.[-1,1]

C.[-] D.[0,]

答案C

解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=,设a-b与c的夹角为θ,则(a-b)·c=|a-b||c|·cos θ=cos θ,

∵cos θ∈[-1,1],

∴(a-b)·c的取值范围为[-].

12.(2020安徽合肥检测)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为              (　　)

A.3 B.5 C.7 D.8

答案B

解析如图,以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,

设DC=a,

则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),

设P(0,x)(0≤x≤a),则+3=(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a-4x),

所以|+3|=≥5,当且仅当x=a时,等号成立.

故|+3|的最小值为5.

13.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=　　　　　　　　. 

答案

解析设b=(x,y).∵|b|==1,

∴x2+y2=1.∵a·b=x+y=,

∴x2+[(1-x)]2=1.

∴4x2-6x+2=0.∴2x2-3x+1=0.

∴x1=1,x2=,∴y1=0,y2=.

∵当b=(1,0)时,b是与x轴平行的向量,舍去,∴b=.

14.如图,在△ABC中,=0,||=8,||=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.

(1)求的值;

(2)判断的值是否为一个常数,并说明理由.

解(1)以D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系(图略),由题意易知|BC|=10,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A,

此时=(-10,0),

所以=-×(-10)+×0=14.

(2)是一个常数.理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时,所以=-×(-10)+×0=14,为常数,故的值是一个常数.

15.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R).

(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值.

(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.

解(1)当α=时,b=,a·b=,

∴|m|=,

∴当t=-时,|m|取得最小值.

(2)存在.假设存在满足条件的实数t.

由条件得cos,

∵a⊥b,∴|a-b|=,

|a+tb|=,

(a-b)·(a+tb)=5-t,

∴.

∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=.

∴存在t=满足条件.

学科素养创新练

16.已知向量a,b满足|a|=,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b.

(1)求向量a的坐标;

(2)求向量a与b的夹角.

解(1)设a=(x,y),因为|a|=,

则, ①

又因为b=(1,-3),且(2a+b)⊥b,

2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3),

所以(2x+1,2y-3)·(1,-3)=2x+1+(2y-3)×(-3)=0,即x-3y+5=0, ②

由①②解得

所以a=(1,2)或a=(-2,1).

(2)设向量a与b的夹角为θ,所以cos θ==-或cos θ==-,

因为0≤θ≤π,所以向量a与b的夹角θ=.

17.(2020天津高一检测)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.若m⊥n,求tan x的值.

解∵m=,n=(sin x,cos x),m⊥n,

∴m·n=sin x-cos x=0,

即sin x=cos x,∴tan x==1.