湘教版（2019）必修 第二册第1章 平面向量及其应用1.4 向量的分解与坐标表示同步练习题

这是一份湘教版（2019）必修 第二册第1章 平面向量及其应用1.4 向量的分解与坐标表示同步练习题，共24页。试卷主要包含了0分），【答案】C，【答案】A，【答案】D，【答案】B等内容，欢迎下载使用。

湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
已知向量a=(1,2)，b=(0,−2)，c=(−1,λ)，若(2a−b)//c，则实数λ=( )
A. −3B. 13C. 1D. 3
设向量a=(x,1),b=(1,−3)，且，则向量a−3b与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC⋅EM的取值范围是( )
A. [12,2]B. [0,32]C. [12,32]D. [0,1]
已知A，B是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足AF=2FB，S△OAB=23|AB|，则p=( )
A. 2B. 12C. 4D. 14
已知A(−4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(−3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，则四边形ABCD的形状是( )
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 直角梯形
如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC=150∘，点P在弧BC上运动，AP=λAB+μAC，则3λ−μ的最小值是( )
A. 0B. 3C. 2D. −1
已知向量a=(x,2),b=(2,y),c=(2,−4),且a//c,b⊥c,则|a−b|=( )
A. 3B. 10C. 11D. 23
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，若FP+3FQ=0，则△OPQ的面积为( )
A. 233B. 3C. 433D. 23
已知平面向量a=(2,4)，b=(−1,2)，若c=a−(a⋅b)b，则|c|等于( )
A. 42B. 25C. 8D. 82
已知平面四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AB=BC=BD2=2，AD=CD=23，点E在四边形ABCD上运动，则EB ⋅ ED 的最小值为( )
A. −4B. −3C. −1D. 3
已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA⋅(PB+PC)的最小值是( )
A. −2B. −32C. −43D. −1
在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为( )
A. 3B. 22C. 5D. 2
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且AD=λBC，AD⋅AB=−32，则实数λ的值为 ，若M，N是线段BC上的动点，且|MN|=1，则DM⋅DN的最小值为 ．
如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P点在正方形内(含边界)，且|AP|=|AB|．
①若|BP|=|AB|，则AP⋅BP的值是 ；
②若向量AC=λDE+μAP，则λ+μ的最小值为 ．
点Q是圆C：x2+(y−1)2=1上的动点，点P满足OP=3OQ(O为坐标原点)，则点P的轨迹方程是 ；若点P又在直线y=k(x−33)上，则k的最小值是 ．
如图，在四边形ABCD中，∠B=60∘，AB=3，BC=6，且AD=λBC，AD⋅AB=-32，则实数λ的值为 ，若M，N是线段BC上的动点，且|MN|=1，则DM⋅DN的最小值为
如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点.当点P在BC边上时，AB⇀⋅OP⇀的值为 ；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，AB⇀⋅OP⇀的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
已知向量OA=(cs32x,sin32x),OB=(cs12x,−sin12x)，且x∈[−π4,π4].若f(x)=OA⋅OB．
⑴求函数f(x)关于x的解析式；
⑵求f(x)的值域；
⑶设t=2f(x)+a的值域为D，且函数g(t)=12t2+t−2在D上的最小值为2，求a的值．
已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)．
(1)若向量AB与AC的夹角为θ，求csθ；
(2)当m为何值时，向量mAB+BC与AC垂直．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)是函数y=12+lg2x1−x的图象上任意两点，点M(x0,y0)满足OM=12(OA+OB).
(1)若x0=12，求证：y0为定值；
(2)若x2=2x1，且y0>1，求x1的取值范围，并比较y1与y2的大小．
已知a=(1,0)，b=(2,1)．
(1)当k为何值时，ka−b与a+2b共线⋅
(2)若AB=2a+3b，且A，B，C三点共线，求m的值．
已知向量a=(1,−2),|b|=25．
(1)若b=λa，其中λ<0，求b的坐标；
(2)若a与b的夹角为2π3，求(a−b)⋅(2a+b)的值．
已知圆C的圆心在y轴上，半径r<5，过点0,4且与直线y=3x−2相切．
(1)求圆C的方程；
(2)若过点Pt,0的直线l与圆C交于不同的两点A,B，且与直线x−2y−4=0交于点M，若A,B中点为N，问是否存在实数t，使PM⋅PN为定值，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行，是基础题．
先求出2a−b，再由(2a−b)//c，求出实数λ．
【解答】解：∵向量a=(1,2)，b=(0,−2)，
∴2a−b=(2,6)，
∵c=(−1,λ)，(2a−b)//c，
∴−12=λ6，
解得λ=−3．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量数量积的计算，关键是求出x的值．
根据题意，可得a⋅b=0，解可得x，即可得向量a、b的坐标，由向量数量积公式，代入数据计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，设向量a−3b与b的夹角为θ，
向量a=(x,1)，b=(1,−3)，
若a⊥b，则有a⋅b=x−3=0，解得x=3，
即a=(3,1)，b=(1,−3)，
则a−3b=(0,4)，
则有|a−3b|=4，|b|=2，(a−3b)⋅b=a⋅b−3b2=−43，
则csθ=(a−3b)⋅b|a−3b||b|=−32，
又由0≤θ≤π，则θ=5π6；
故选D．

3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面向量数量积的坐标表示，属中档题．
建立坐标系可设出C、M、E的坐标，可得EC⋅EM=x−12+12，由二次函数的知识可得取值范围．
【解答】
解：(如图)以AB、AD分别为x、y轴建立坐标系，
则C(1,1)，M(1,12)，设E(x,0)(0≤x≤1)
∴EC=(1−x,1)，EM=(1−x,12)，
∴EC⋅EM=(1−x)(1−x)+1×12
=x−12+12，
∵0≤x≤1，∴当x=1时，EC⋅EM有最小值为12；
当x=0时，EC⋅EM有最大值为32，
由此可得EC⋅EM的取值范围是[12,32]，
故选：C．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的几何性质和面积问题，属于中档题．
设A(x1,y1)，B(x2,y2).由题意得y1=−2y2.设出直线AB方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理解得|y2|，|y1|，由抛物线的焦点弦性质可得|BF|，|AF|，得出|AB|，代入三角形面积公式可得结果．
【解答】
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2).由AF=2FB，得y1=−2y2．
由题意知当AB平行于y轴时，不满足题意，
设AB的直线方程为my=x−p2，
由my=x−p2y2=2px，得y2−2mpy−p2=0，
显然Δ>0，
所以 y1y2=−p2，
所以−2y22=−p2，得|y2|=22p，则|y1|=2p，
由抛物线的焦点弦性质可知，1|AF|+1|BF|=32|BF|=2p，得|BF|=34p，
则|AF|=32p，所以|AB|=94p，
则S△OAB=12⋅p2⋅(|y1|+|y2|)=328p2=23×94p，
得p=2．
故选A．

5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查在平面直角坐标系上的点和向量，以及向量之间的运算和关系，向量平行与垂直的判断问题，属于基础题．
根据点坐标写出各向量，得出AB=23DC，结合AB·AD=0，进而可得结果．
【解答】
解：∵A(−4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(−3,0);
∴AB=(6,2),DC=(9,3)，AD=(1,−3);
∴AB=23DC;
又AB·AD=0，即AB⊥AD
∴四边形ABCD是直角梯形．
故选D．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了向量的坐标运算，向量的几何运用，三角函数的性质，辅助角公式，属于拔高题．
建立坐标系，求出向量坐标，设P(csθ,sinθ)，0°≤θ≤150°，根据向量坐标的运算得到λ=csθ+3sinθ，μ=2sinθ，则3λ−μ=2sin(θ+60°)，根据三角函数的性质即可求出最值．
【解答】
解：以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如图，
设P(csθ,sinθ)，0°≤θ≤150°，
则A(0,0)，B(1,0)，C(−32,12)，
∵AP=λAB+μAC，
∴(csθ,sinθ)=λ(1,0)+μ(−32,12)
=(λ−32μ,μ2)，
∴csθ=λ−32μ，sinθ=μ2，
∴λ=csθ+3sinθ，μ=2sinθ，
∴3λ−μ=3csθ+3sinθ−2sinθ
=3csθ+sinθ=2sin(θ+60°)，
∵0°≤θ≤150°，
∴60°≤θ+60°≤210°，
∴当θ=150°时，2sin(θ+60°)=−1，
即3λ−μ的最小值为−1．
故选D．

7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积，考查向量平行及垂直的判断与证明，考查向量的模，考查计算能力，属于基础题．
由题已知计算可得x=−1，y=1，即可得a−b=(−3,1)，即可得到答案．
【解答】
解：由题得向量a=(x,2)，b=(2,y)，c=(2,−4)，
且a//c，，
∴a//c⇒x2=2−4，
b⊥c⇒4−4y=0，
∴x=−1，y=1，
∴a=(−1,2)，b=(2,1)，
即a−b=(−3,1)，
∴|a−b|=−32+1=10，
故选B．
8.【答案】C
【解析】【试题解析】
解：因为抛物线C：y2=4x的焦点为F，所以，设直线l的方程为x=ky+1，
将x=ky+1代入y2=4x，可得y2−4ky−4=0，设P(xP,yP)，Q(xQ,yQ)，则yP+yQ=4k，yPyQ=−4，
因为FP+3FQ=0，所以yP=−3yQ，
所以yP=6k，yQ=−2k，
所以−12k2=−4，即k2=13，
所以|yP−yQ|=|8k|=833，
所以△OPQ的面积S=12×1×|yP−yQ|=433，
故选：C．
设直线l的方程为x=ky+1，将x=ky+1代入y2=4x，设P(xP,yP)，Q(xQ,yQ)，利用韦达定理以及向量的关系，转化求解三角形的面积即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，是基本知识的考查．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标运算和向量的模的求法，要求能熟练应用向量的坐标运算法则，属简单题．
先由向量a,b的坐标求出a·b的值，再求出向量c的坐标，最后根据求模公式即可得解．
【解答】
解：∵向量a=(2,4)，b=(−1,2)，
∴a⋅b=(2,4)⋅(−1,2)=−2+8=6，
∴c=a−(a⋅b) b=(2,4)−6(−1,2)=(2,4)−(−6,12)=(8,−8)，
∴|c| =82+(−8)2=82，
故选D．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的数量积，建立平面直角坐标系，设点E坐标，求出向量的坐标，求出向量的数量积的表达式，即可得出结论．
【解答】
解：设AC与BD交于点O，
因为AB=BC=2，BD=4，AD=CD=23，
所以AB2+AD2=BD2=BC2+CD2，
所以，则OA=OC=3，
因为平面四边形ABCD的两条对角线互相垂直，
所以OB=1，OD=3，
以点O为原点，AC为x轴、BD为y轴建立平面直角坐标系，令E(x,y)，
则B(0,−1)，D(0,3)，EB=(−x,−1−y),ED=(−x,3−y)，
EB·ED=x2+(−1−y)(3−y)=x2+(y−1)2−4，
点(0,1)到直线AD或CD的距离最小， 最小值为1，
所以EB·ED的最小值为−3．
故选B．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键，属于中档题．
根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【解答】
解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,3)，B(−1,0)，C(1,0)，
设P(x,y)，则PA=(−x,3−y)，
PB=(−1−x,−y)，PC=(1−x,−y)，
则PA⋅(PB+PC)=2x2−23y+2y2
=2[x2+(y−32)2−34]，
∴当x=0，y=32时，PA⋅(PB+PC)取得最小值，
其最小值为2×(−34)=−32，
故选B．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了向量的坐标运算，三角函数的图象与性质，考查了学生的运算能力和转化能力，属于较难题．
以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为(255csθ+1,255sinθ+2)，根据AP=λAB+μAD，进行求解即可．
【解答】
解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴，建立如图所示的坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，D(0,2)，C(1,2)，
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD=22+12=5
∴12BC⋅CD=12BD⋅r，
∴r=25，
∴圆的方程为(x−1)2+(y−2)2=45，
设点P的坐标为(255csθ+1,255sinθ+2)，
∵AP=λAB+μAD，
∴(255csθ+1,255sinθ+2)=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ)，
∴255csθ+1=λ，255sinθ+2=2μ，
∴λ+μ=255csθ+55sinθ+2=sin(θ+φ)+2，其中tanφ=2，
∵−1≤sin(θ+φ)≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故选A．

13.【答案】16
132
【解析】
【分析】
本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．
以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出λ的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．
【解答】
解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，
∵∠B=60°，AB=3，
∴A(32,332)，
∵BC=6，
∴C(6,0)，
∵AD=λBC，
∴AD//BC，
设D(x0,332)，
∴AD=(x0−32,0)，AB=(−32,−332)，
∴AD⋅AB=−32(x0−32)+0=−32，解得x0=52，
∴D(52,332)，
∴AD=(1,0)，BC=(6,0)，
∴AD=16BC，
∴λ=16，
∵|MN|=1，
设M(x,0)，则N(x+1,0)，其中0≤x≤5，
∴DM=(x−52,−332)，DN=(x−32,−332)，
∴DM⋅DN=(x−52)(x−32)+274=x2−4x+212=(x−2)2+132，
当x=2时取得最小值，最小值为132，
故答案为：16；132．
14.【答案】12
12
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，两个向量的坐标运算，利用导数研究函数的单调性、最值，用csθ，sinθ表示λ和μ是解题的难点，属于中档题．
由题意及平面向量的数量积运算可得①；建立平面直角坐标系，设P(csθ,sinθ)，根据向量的坐标运算用csθ，sinθ表示λ和μ，根据csθ，sinθ的取值范围，再结合导数研究函数λ+μ的单调性、最值，即可求出最小值．
【解答】
解：①由|AP|=|AB|，|BP|=|AB|，
则|AP|=|AB|=|BP|，所以ΔABP是等边三角形，
AP⋅BP=APBPcs60°=1×1×12=12；
②以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，
正方形ABCD的边长为1，
则A(0,0)，E(12,0)，C(1,1)，D(0,1)，B(1,0)．
设P(csθ,sinθ)，0≤θ≤π2
∴AC=(1,1)，AP=(csθ,sinθ)，
∵DE=12,−1，
则AC=λ(12,−1)+μ(csθ,sinθ)
=(λ2+μcsθ,−λ+μsinθ )=(1,1)，
∴λ2+μcsθ=1−λ+μsinθ=1,∴λ=2sinθ−2csθ2csθ+sinθμ=32csθ+sinθ,
∴λ+μ=3+2sinθ−2csθ2csθ+sinθ
=(−2csθ−sinθ)+3sinθ+32csθ+sinθ
=−1+3sinθ+32csθ+sinθ，
由题意得0≤θ≤π2，∴0≤csθ≤1，0≤sinθ≤1，
求得(λ+μ)′=6+6sinθ−3csθ(2csθ+sinθ)2>0，
故λ+μ在[0,π2]上是增函数，
当θ=0时，即csθ=1，这时λ+μ取最小值为3+0−22+0=12．
故答案为：12，12．
15.【答案】x2+(y−3)2=9
−3
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的坐标运算，点到直线的距离公式，圆有关的轨迹问题和直线与圆的位置关系及判定，考查了学生的运算能力，属于中档题．
设Px,y，Qx0,y0，利用平面向量的坐标运算得x=3x0y=3y0，从而得x0=x3y0=y3，再利用点的轨迹求法得点P的轨迹方程x2+(y−3)2=9，再利用直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算得−3⩽k⩽0，最后得结论．
【解答】
解：设Px,y，Qx0,y0．
因为点P满足OP=3OQ(O为坐标原点)，
所以x=3x0y=3y0，即x0=x3y0=y3．
又因为点Q是圆C：x2+(y−1)2=1上的动点，
所以x02+(y0−1)2=1，即x29+(y3−1)2=1，
因此点P的轨迹方程是x2+(y−3)2=9．
又因为点P又在直线y=k(x−33)上，
所以直线y=k(x−33)与圆x2+(y−3)2=9有交点，
因此点0,3到直线y=k(x−33)的距离小于等于3，
即3+33k1+k2⩽3，即k2+3k⩽0，解得−3⩽k⩽0，
所以k的最小值是−3．
故答案为：x2+(y−3)2=9； −3．

16.【答案】16
132
【解析】
【分析】
本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．
以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出λ的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．
【解答】
解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，
∵∠B=60°，AB=3，
∴A(32,332)，
∵BC=6，
∴C(6,0)，
∵AD=λBC，
∴AD//BC，
设D(x0,332)，
∴AD=(x0−32,0)，AB=(−32,−332)，
∴AD⋅AB=−32(x0−32)+0=−32，解得x0=52，
∴D(52,332)，
∴AD=(1,0)，BC=(6,0)，
∴AD=16BC，
∴λ=16，
∵|MN|=1，
设M(x,0)，则N(x+1,0)，其中0≤x≤5，
∴DM=(x−52,−332)，DN=(x−32,−332)，
∴DM⋅DN=(x−52)(x−32)+274=x2−4x+212=(x−2)2+132，
当x=2时取得最小值，最小值为132，
故答案为：16；132．
17.【答案】2
−2
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及观察图形的能力，是基本知识的考查，属于中档题．
建立坐标系，利用坐标运算求出向量的数量积，分情况讨论即可．
【解答】
解：(1)以A为原点建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，O(1,0)，B(2,0)，设P(2,b)，
AB⋅OP=(2,0)⋅(1,b)=2；
(2)当点P在BC上时，AB⋅OP=2；
当点P在AD上时，设P(0,b)，
AB⋅OP=(2,0)(−1,b)=−2；
当点P在CD上时，设点P(a,1)(0AB⋅OP=(2,0)(a−1,1)=2a−2，
因为0综上可知，AB⋅OP的最小值为−2．

18.【答案】解：(1)∵f(x)=OA⋅OB，
∴f(x)=cs3 2xcs12x−sin3 2xsin1 2x=cs2x;
(2) ∵−π4⩽x⩽π4,
∴−π2⩽2x⩽π2，
∴0≤cs2x≤1，
故f(x)的值域为[0,1] ;
(3)∵t=2f(x)+a，
∴t∈[a,a+2]，
∴D=[a,a+2]
又函数g(t)=12t2+t−2在D上的最小值为2，
①当a≤−1≤a+2，即−3≤a≤−1时，
g(t)min=−52，不成立.
②当−1>a+2，即a<−3时，
g(t)min=g(a+2)=12a2+3a+2，
由12a2+3a+2=2，解得a=−6或a=0(舍去)
③当−1>a时，g(t)min=g(a)=12a2+a−2=2，
解得a=2或a=−4(舍去)
综上所述，a的值为2或−6.
【解析】本题考查平面向量数量积的运算，三角函数的周期性及其求法，同时还考查了三角函数的最值的求法，为中档题．
(1)欲求函数的解析式，只要运用向量积的点坐标运算公式计算得到 OA ⋅ OB的结果．
(2)要求函数值域，只要根据定义域及三角函数的值域的求法即可．
(3))先由t=2f(x)+a得出：D=[a,a+2]，又函数g(t)= 12 t2+t−2在D上的最小值为2，利用g(t)在[a,a+2]上单调，解此不等式即可．
19.【答案】解：(1)AB=(−1,1),AC=(1,5)，且AB与AC的夹角为θ，
∴csθ=AB⋅AC|AB||AC|=42×26=21313；
(2)BC=(2,4)，
∴mAB+BC=(2−m,m+4)，且AC=(1,5)，
∵mAB+BC与AC垂直，
∴(mAB+BC)⋅AC=2−m+5(m+4)=0，解得m=−112．
【解析】(1)可以求出AB=(−1,1),AC=(1,5)，从而根据向量夹角的余弦公式即可求出AB与AC的夹角的余弦值；
(2)可以求出mAB+BC=(2−m,m+4)，AC=(1,5)，根据mAB+BC与AC垂直即可得出(mAB+BC)⋅AC=0，进行数量积的坐标运算即可求出m．
本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量夹角的余弦公式，向量加法、数乘和数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
20.【答案】(1)证明：由OM=12(OA+OB)可知，x0=12(x1+x2)=12，即x1+x2=1，
y0=12(y1+y2)=12(12+lg2x11−x1+12+lg2x21−x2)=12[1+lg2x1x2(1−x1)(1−x2)]
故y0=12(1+lg2x1x2x1x2)=12为定值，即得证；
(2)解：由x2=2x1，y0>1，可得lg2x11−x1+lg22x11−2x1>1，
则x11−x1>02x11−2x1>0x11−x1·2x11−2x1>2，即0此时由x11−x1−2x11−2x1=−x1(1−x1)(1−2x1)<0，可得0故12+lg2x11−x1<12+lg22x11−2x1，即y1【解析】本题考查对数的运算以及对数不等式的求解问题，考查比较大小的问题，属于中档题．
(1)由条件可得x1+x2=1，继而可推算出y0=12(y1+y2)=12(1+lg2x1x2x1x2)，即可得证结论；
(2)由条件可得lg2x11−x1+lg22x11−2x1>1，解对数不等式即可求得x1的取值范围．根据x11−x1−2x11−2x1<0得021.【答案】解：(1)ka−b=k(1,0)−(2,1)=(k−2,−1)，a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2)．
因为ka−b与a+2b共线，
所以2(k−2)−(−1)×5=0，
解得k=−12．
(2)因为A，B，C三点共线，
所以AB=λBC(λ∈R)，即2a+3b=λ(a+mb)，
所以2=λ,3=mλ,
解得m=32．
【解析】本题考查向量的坐标运算、向量共线的充要条件．
(1)结合已知易得ka−b=k−2,−1,a+2b=5,2，再结合向量共线定理可得2(k−2)−(−1)×5=0，解方程即可求出k的值；
(2)由A，B，C三点共线，可得AB=λBC，再结合已知条件可得λ=2,3=mλ，据此可求得m的值．
22.【答案】解：(1)由题意，可知b=λa=(λ,−2λ)，
则|b|=λ2+(−2λ)2=5⋅|λ|=25，
故|λ|=2，
∵λ<0，
∴λ=−2，
∴b=(−2,4)．
(2)由题意，可知
|a|=12+(−2)2=5，
则(a−b)⋅(2a+b)=2a2−a⋅b−b2
=2⋅|a|2−|a|⋅|b|⋅cs−|b|2
=2⋅(5)2−5⋅25⋅cs2π3−(25)2
=10−10⋅(−12)−20
=−5．
【解析】本题主要考查向量的模的计算，以及数量积的运算，属基础题．
(1)先根据已知条件代入可得向量b关于λ的坐标，然后根据模的定义进行计算，即可得到λ的值，从而可得b的坐标；
(2)先计算出a的模，然后根据向量的运算及向量的数量积对(a−b)⋅(2a+b)进行化简计算并代入数值即可计算出结果．
23.【答案】解：(1)设圆心(0,m)，
∵圆心到y=3x−2的距离为半径，
∴|−m−2|3+1=|4−m|，∴|m+2|=2|4−m|，
平方后整理得m2−12m+20=0，∴m=2或m=10，
又∵半径r<5，∴m=10(舍)，m=2，
∴圆C的方程为x2+(y−2)2=4；
(2)PM⋅PN=PM⋅(PC+CN)
=PM⋅PC+PM⋅CN
=PM⋅PC，
①当直线l的斜率k存在时，
设l: y=k(x−t)，
求M点：y=k(x−t)x−2y−4=0⇒x=4−2kt1−2ky=4k−kt1−2k,
∴M(4−2kt1−2k,4k−kt1−2k)，
∴PM=(4−2kt1−2k−t,4k−kt1−2k)=(4−t1−2k,k(4−t)1−2k)，
PC=(−t,2)，
∴PM⋅PC=(4−t1−2k,k(4−t)1−2k)·(−t,2)
=−t(4−t)1−2k+2k(4−t)1−2k
=(4−t)(−t+2k)1−2k，
要使PM⋅PC为定值，与k无关，∴t=1，则PM⋅PC=−3，
②当直线l的斜率不存在时，
M(t,t−42)，P(t,0)，N(t,2)，
∴PM=(0,t−42)，PN=(0,2)，
PM⋅PN=t−4，与t=1时，PM⋅PN=−3符合，
综上，当t=1时，PM⋅PN为定值．
【解析】本题考查求圆的标准方程，直线与圆的位置关系，向量的数量积，平面向量的坐标运算，涉及点到直线的距离公式，考查运算化简的能力，属于综合题．
(1)由题意，设圆心(0,m)，利用点到直线的距离公式可得|−m−2|3+1=|4−m|，求得m即可；
(2)由PM⋅PN=PM⋅(PC+CN)=PM⋅PC+PM⋅CN=PM⋅PC，按直线l的斜率存在与不存在讨论，利用向量的坐标运算可得结论．