湘教版（2019）必修 第二册第1章 平面向量及其应用1.5 向量的数量积评优课作业ppt课件

1.5　向量的数量积

1.5.1　数量积的定义及计算

必备知识基础练

1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于 (　　)

A.9 B.0 C.-3 D.-9

答案D

解析由已知得p·q=3×3×cos 180°=-9.

2.(2021江苏南京期末)已知正方形ABCD的边长为3,=2,则=(　　)

A.3 B.-3 C.6 D.-6

答案A

解析如图,因为正方形ABCD的边长为3,=2,

所以=()·()=·()=||2-|2=32-×32=3.故选A.

3.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若,则AB的长为 (　　)

A. B.1 C. D.2

答案D

解析设AB的长为a,因为,所以·()=||2+=1+1··cos 120°=,解得a=2.

4.(2019全国Ⅰ高考)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)

A. B. C. D.

答案B

解析因为(a-b)⊥b,

所以(a-b)·b=a·b-b2=0,

所以a·b=b2.设a与b的夹角为θ,

则cos θ=,

所以a与b的夹角为,故选B.

5.(多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列选项正确的有(　　)

A.|a·b|=|a||b|⇔a∥b

B.a,b反向⇔a·b=-|a||b|

C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b|

D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|

答案ABC

解析∵a·b=|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角),

∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos θ|=1,

∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故A正确.

若a,b反向,则a,b的夹角为π,

∴a·b=|a|·|b|cos π=-|a||b|且以上各步均可逆.故B正确.

设=a,=b,当a⊥b时,以AB,AD为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以AB,AD为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故C正确.

当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故D错误.

6.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则的值是　　　　　. 

答案-1

解析(方法1)=||||cos(180°-∠B)=-||||cos∠B=-|||=-||2=-1.

(方法2)||=1,即为单位向量,=-=-||||cos∠ABC,而||cos∠ABC=||,

所以=-||2=-1.

7.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c.

证明(a-b)·c=a·c-b·c

=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°

=1×1×-1×1×=0,

故(a-b)⊥c.

8.已知向量a,b满足|a|=,|b|=1.

(1)若a,b的夹角θ为,求|a+b|;

(2)若(a-b)⊥b,求a与b的夹角θ.

解(1)由已知,得a·b=|a||b|cos×1×=1,所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=2+1+2=5,所以|a+b|=.

(2)因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0.

所以a·b-b2=0,即a·b=b2=1,

所以cos θ=.

又θ∈[0,π],

所以θ=,即a与b的夹角为.

关键能力提升练

9.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则(a+b)·(2a-b)=(　　)

A. B.- C.- D.

答案A

解析(a+b)·(2a-b)=2a2-b2+a·b=2-3+1×.

10.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有 (　　)

A.a·c-b·c=(a-b)·c

B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直

C.|a|-|b|<|a-b|

D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2

答案ACD

解析根据向量数量积的分配律知,A正确;

因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c

=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,

所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误;

因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确;

根据向量数量积的分配律以及性质知,D正确.

11.已知a,b均为单位向量,若|a-2b|=,则向量a与b的夹角为(　　)

A. B. C. D.

答案B

解析由|a-2b|=,得(a-2b)2=3,

即a2+4b2-4a·b=3,设单位向量a与b的夹角为θ,

则有1+4-4cos θ=3,解得cos θ=.

又θ∈[0,π],所以θ=.

12.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状?

解∵a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),

∴(a+b)2=(c+d)2,

即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.

又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,

即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2. ①

同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2. ②

①-②,得|b|2=|d|2,

①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,

即|b|=|d|,|a|=|c|.

同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.

∵,∴a=-c.

又a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,

即b·(2a)=0.∴a·b=0,

∴.故四边形ABCD为正方形.

13.如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.

(1)试用a,b表示向量;

(2)若|b|=1,求.

解(1)=a-b,

由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.

∴b,则=a+b,

=a+(-1)b.

(2)∵|b|=1,

∴|a|=,a·b=cos 45°=1,

则=a·[a+(-1)b]

=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.

学科素养创新练

14.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是(　　)

A. B.

C. D.

答案A

解析由于,故其数量积是0;的夹角是,故其数量积小于0;

设正六边形的边长是a,则=||||cos 30°=a2,=||||cos 60°=a2.故选A.

15.(2020郑州检测)已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.

解根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2,又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,

∴a·b=|a|2.

而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,

∴|a+b|=|a|.

设a与a+b的夹角为θ.

则cos θ=.

∴θ=30°.

故a与a+b的夹角为30°.