高中数学湘教版（2019）必修 第二册5.4 随机事件的独立性课堂检测

绝密★启用前

5.4随机事件的独立性同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 据统计一次性饮酒两诱发脑血管病的概率为，一次性饮酒两诱发脑血管病的概率为已知某公司职员一次性饮酒两未诱发脑血管病，则他还能继续饮酒两不诱发脑血管病的概率为

A.  B.  C.  D.

2. 在古装电视剧知否中，甲乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，且甲乙投掷相互独立比赛第一场，两人平局第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为     

A.  B.  C.  D.

3. 某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是

A.  B.  C.  D.

4. 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束设各局比赛相互之间没有影响，现已知前两局双方各胜一局，则甲队获得这场比赛胜利的概率为  

A.  B.  C.  D.

5. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率，乙解出这个问题的概率是，那么其中至少有人解出这个问题的概率是

A.  B.  C.  D.

6. 首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有家购买该机床设备的概率是    

A.  B.  C.  D.

7. 某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为，，，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且则

A.  B.  C.  D.

8. 某社区为了更好的开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表．假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟．

则在某一天，第三位居民恰好等待分钟才开始办理业务的概率为   

A.  B.  C.  D.

9. 端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少一人回老家过节的概率为

A.  B.  C.  D.

10. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球也投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为     

A.  B.  C.  D.

11. 围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过局的比赛中甲获得冠军的概率为                                       

A.  B.  C.  D.

12. 如图，已知电路中个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为  

A.
B.
C.
D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 抛掷三枚质地均匀的硬币，则事件“恰好有两枚硬币正面朝上”的概率为          ，记正面朝上的硬币枚数为随机变量，则的数学期望是          ．
14. 甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击．
    求前次射击中甲恰好击中次的概率          ；
    求第次由甲射击的概率          ．
15. 某学校为普及垃圾分类知识，增强学生的垃圾分类意识，在全校范围内举办垃圾分类知识竞赛．通过选拔，仅有甲、乙两名选手进入决赛．决赛采用积分制，规则为：抢答道题，每题分，答对得分，答错自己不得分，对方得分．选手是否抢到试题是等可能的，且回答对错互不影响，得分高的获胜．已知甲、乙两名选手答对每道题的概率分别为，，记甲选手的得分为单位：分，则          ，          ．
16. 乒乓球比赛的分制赛则规定：每局比赛先得分的参赛者为胜方，若出现平比分，则以先多得分者为胜方；在平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发个球．甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局出现平比分后，若甲先发球，则甲以获胜的概率为          ，甲以获胜的概率为          ．
17. 随机事件，的概率分别为，．

若，则          ； 

若与相互独立，则          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．

方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．

求：该应聘者用方案一考试通过的概率；

该应聘者用方案二考试通过的概率．






 

19. 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员，，进行围棋比赛甲对、乙对、丙对各一盘已知甲胜、乙胜、丙胜的概率分别为，，，假设各盘比赛结果相互独立．

求红队至少两名队员获胜的概率

用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列．






 

20. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
    累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
    经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
    求甲连胜四场的概率；
    求需要进行第五场比赛的概率；
    求丙最终获胜的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 假设每个人的生日在一年的天中是等可能的，在全校随机选取两名同学，计算以下事件的概率．
    两位同学的生日都在号；
    一位同学的生日在号，另一位的生日在号．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满元的商品即可抽奖一次抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次，若掷得点数不大于，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖已知抽奖箱中装有个红球与个白球，抽奖者从箱中任意摸出个球，若个球均为红球，则获得一等奖，若个球为个红球和个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同．

若，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；

若一等奖可获奖金元，二等奖可获奖金元，三等奖可获奖金元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为，若商场希望的数学期望不超过元，求的最小值．






 

23. 有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的即百万分之一时，人食用它，就会对人体产生危害．现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值单位：，数据统计如下：
     

求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；

有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼．

(ⅰ)将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；

(ⅱ)将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了条件概率与独立事件，属中档题．
由条件概率与独立事件得：，得解．
【解答】
解：记事件：这人一次性饮酒两未诱发这种疾病，
记事件：这人一次性饮酒两未诱发这种疾病，
则事件：这人一次性饮酒两未诱发这种疾病，继续饮酒两不诱发这种疾病，则，，
，，
故，
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查推理能力和计算能力，属于拔高题．
分别求出甲得“四筹”，乙得“零筹”，甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”和甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”的概率和甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”、“四筹”、“五筹”、“六筹”的概率，然后求和即可．

【解答】

解：由题可知

甲要想赢得比赛，在第三场比赛中，比乙至少多得三筹．
甲得“四筹”，乙得“零筹”，甲可赢，
此种情况发生的概率为；
甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢，
此种情况发生的概率为；
甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢，
此种情况发生的概率为；
甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”、“四筹”、“五筹”、“六筹”，甲都可赢，
此种情况发生的概率为．
故甲获胜的概率为．
故选D．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于拔高题．
在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染包含的情况有种：，两人直接由感染，由感染；，两人直接由感染，由感染；，两人直接由感染，由感染．由此能求出在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率．

【解答】

解：某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．
对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是．
同样也假定受，和感染的概率都是．
在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染包含的情况有种：
，两人直接由感染，由感染；
，两人直接由感染，由感染；
，两人直接由感染，由感染．
在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是：
．
故选：．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率，属于中档题．
甲队获得这场比赛胜利的情况为：第、局甲连胜两局比赛结束，或者甲在、局胜一负一，第五局取胜比赛也结束，由此可计算甲队获胜的概率．

【解答】

解：因为前两局双方各胜一局，所以第、局甲连胜两局比赛结束，或者甲在、局胜一负一，第五局取胜比赛也结束．
甲第、局连胜两局的概率是
甲在、局胜一负一第五局取胜，可以分为：第三局胜第四局负第五局胜，或者第三局负第四局胜第五局胜，
其概率为，
所以甲队获得这场比赛胜利的概率为，

故选C．

5.【答案】
 

【解析】解：甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率，乙解出这个问题的概率是，
其中至少有人解出这个问题的对立事件是两个人都没有解出这个问题，
其中至少有人解出这个问题的概率是：
 ．
故选：．
至少有人解出这个问题的对立事件是两个人都没有解出这个问题，由此利用对立事件概率计算公式能求出其中至少有人解出这个问题的概率．
本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
【解答】
解：甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，
他们购买该机床设备的概率分别为，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，
则三家企业中恰有家购买该机床设备的概率：
．
故选C．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查概率的求解，求出相应的概率是关键．根据假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为，，，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，建立方程组，即可求与的值，从而求出结果；
【解答】
解：由题意，


，，
．
故选C．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了相互独立事件同时发生的概率，属于中档题．
设事件表示“第三位居民恰好等待分钟开始办理业务”，则事件对应三种情形：第一个居民办理业务所需时间为分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为分钟；第一个居民办理业务所需的时间为分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为分钟；第一个和第二个居民办理业务所需的时间均为分钟，由此可求概率．

【解答】

解：设表示居民办理业务所需的时间，用频率估计概率，如下：

设表示事件“第三个居民恰好等待分钟开始办理业务”，则事件对应三种情形：

第一个居民办理业务所需时间为分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为分钟；

第一个居民办理业务所需的时间为分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为分钟；

第一个和第二个居民办理业务所需的时间均为分钟．

所以．
故选C．

9.【答案】
 

【解析】解：端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，．
假定三人的行动相互之间没有影响，
这段时间内至少人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，
这段时间内至少人回老家过节的概率为：
．
故选：．
这段时间内至少人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少人回老家过节的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查条件概率的计算问题和互斥事件概率问题，属于中档题．
设第次投球进为事件，第次投球进为事件，则，然后代入计算即得．
【解答】
解：设第次投球进为事件，第次投球进为事件，
则


故选B．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查互斥事件、相互独立事件同时发生的概率以及次独立重复试验，属于中档题；
设甲以获胜为事件，甲以获胜为事件，则，互斥，分别求出和，
再由即可求解；
【解答】
解：设甲以获胜为事件，甲以获胜为事件，则，互斥，
且，，
所以，
故选C．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查互斥事件、独立事件同时发生的概率的计算，属于中档题．
先利用互斥事件和独立事件同时发生的概率求出灯泡不亮的概率，再用对立事件的概率即可解答．

【解答】

解：由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，下边的个都开且上边的个中有一个开另一个闭，

这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，

所以灯泡不亮的概率为，

所以灯泡亮的概率为，
故选D．

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了独立重复试验中概率求解以及二项分布的期望求解，属于基础题．
根据独立重复试验中概率可求解“恰好有两枚硬币正面朝上”的概率，且随机变量，根据二项分布期望即可求解．
【解答】
解：由题意易知，“恰好有两枚硬币正面朝上”的概率为．
随机变量，故，
故答案为；．  

14.【答案】

【解析】解：由题意，前次射击中甲恰好击中次，即前次甲都击中目标，但第三次没有击中目标，故它的概率为．
第次由甲射击包括甲连续射击次且都击中；第一次甲射击击中，但第二次没有击中，第三次由乙射击没有击中；
第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次击中，但第三次没有击中；
第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次没有击中，第三次甲射击击中；
故这件事的概率为，
故答案为：；．
由题意可得第一次射击，甲击中目标，第二次也击中目标，但第三次没有击中目标，根据相互独立事件的概率乘法公式，计算求的结果．
分种情况讨论，求得第次由甲射击的概率．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查相互独立事件概率计算，离散型随机变量期望计算，考查学生数学应用能力，属于中档题．
通过题意分析出的所有可能取值，分别求出每个取值对应的概率，再利用数学期望的计算公式求解即可．
【解答】
解：由题意知，，，，记一次答题中甲选手得分”为事件，而事件包含甲抢到并答对和乙抢到并答错两种情况，
故，则
，
，
，
，故
．
故答案为，  

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式等基础知识，属于中档题．
在某局出现平比分后，若甲先发球，当甲以获胜时，所求事件的概率为，当甲以：赢下此局时，获胜的可能情况有第一场甲输，第二场甲赢，第三场甲赢，第四场甲赢；第一场甲赢，第二场甲输，第三场甲赢，第四场甲赢，可求得概率．
【解答】
解：依题意，当甲以获胜时，所求事件的概率为，
当甲以获胜时，还需进行四场比赛，发球方分别是甲、乙、甲、乙，
获胜的可能情况有：
第一场甲输，第二场甲赢，第三场甲赢，第四场甲赢；
第一场甲赢，第二场甲输，第三场甲赢，第四场甲赢，
此时，所求事件的概率为
．
故空答案为：；空答案为：．  

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了事件间的关系和相互独立事件同时发生的概率，是基础题．
若，则，可得结果；
若与相互独立，则，可得结果．
【解答】
解：若，则，
若与相互独立，
则
，
故答案为；．  

18.【答案】解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，，则，，．
应聘者用方案一考试通过的概率为

．
应聘者用方案二考试通过的概率为


．
 

【解析】本题重点考查互斥事件的概率计算及其应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，，则，，利用应聘者用方案一考试通过的概率为即可求解；
利用应聘者用方案二考试通过的概率为即可求解．
 

19.【答案】解：设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件，“丙胜”为事件，则，，，

所以，，．

红队至少两名队员获胜的事件有，，，，

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛结果相互独立，

因此红队至少两名队员获胜的概率为
．

由题意，知的所有可能取值为，，，．

，

，

，

，

所以的分布列为

【解析】

【分析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和期望的求法，是中档题．
利用相互独立事件同时发生的概率计算；
由题意知的所有可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列  

20.【答案】甲连胜四场只能是前四场全胜，．
根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜场的概率为；
乙连胜场的概率为；
丙上场后连胜场的概率为；
所以需要进行第场比赛的概率为，
丙最终获胜有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为，
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜，负，轮空结果有种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，
因此丙最终获胜的概率为．
 

【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是拔高题．
甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率．
根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜场的概率为；乙连胜场的概率为；丙上场后连胜场的概率为，从而求出需要进行第五场比赛的概率．
丙最终获胜有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜，负，轮空结果有种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，从而求出丙最终获胜的概率．
 

21.【答案】解：一个人生日在号概率为，
两位同学的生日都在号概率为．
一个人生日在号概率为，
一个人生日在号概率为，
一位同学的生日在号，另一位的生日在号的概率为．
 

【解析】一个人生日在号概率为，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出两位同学的生日都在号概率．
一个人生日在号概率为，一个人生日在号概率为，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出一位同学的生日在号，另一位的生日在号的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
 

22.【答案】解：设顾客参加一次抽奖活动获得三等奖为事件，可分为两种情况：

顾客掷得点数大于的概率为

顾客掷得点数不大于，然后抽得三等奖的概率为，

所以；

由题意可知，随机变量的可能取值为，，，

，

，

，

随机变量的数学期望

，

化简得：，

依题意可知，，即，

化简得：，又，

，

的最小值为．

【解析】本题主要考查概率计算以及离散型随机变量的期望的计算，属于中档题．
直接求出．
的所有可能取值为，，求出对应的概率与的期望，列出不等式，求出的最小值．
 

23.【答案】解：由题意知，数据的中位数为，

数据的众数为，

数据的极差为，

估计这批鱼该项数据的分位数约为．

记“两鱼最终均在水池”为事件，则，

记“两鱼最终均在水池”为事件，则，

因为事件与事件互斥，

所以两条鱼最终在同一水池的概率为，

(ⅱ)记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为事件，依次类推，

因为两鱼的游动独立，所以，

因为事件，事件，事件互斥，
所以，
记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立，
所以．

【解析】本题考查了中位数、众数、极差，互斥事件与对立事件，相互独立事件同时发生的概率，考查了推理能力与计算能力，属于拔高题．
直接根据中位数、众数、极差的定义求解即可；
记“两鱼最终均在水池”为事件，记“两鱼最终均在水池”为事件，求出，，则根据求解即可；
(ⅱ)记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为事件，以此类推，记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立，根据可得答案．