高中数学人教A版 (2019)必修第一册第三章函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示巩固练习

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1．(多选)下列给出的函数是分段函数的是( )

A．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，1B．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x∈R，,x2，x≥2.))
C．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3，1≤x≤5，,x2，x≤1.))
D．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋3，x<0，,x－1，x≥5.))
2．已知f(x－1)＝eq \f(1,x＋1)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝eq \f(1,1＋x) B．f(x)＝eq \f(1＋x,x)
C．f(x)＝eq \f(1,x＋2) D．f(x)＝1＋x
3．函数y＝eq \f(x2,|x|)的图象的大致形状是( )
4．已知函数f(x)＝3x－1，若f(g(x))＝2x＋3，则函数g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝eq \f(2,3)x＋eq \f(4,3) B．g(x)＝eq \f(2,3)x－eq \f(4,3)
C．g(x)＝eq \f(4,3)x＋eq \f(2,3) D．g(x)＝eq \f(4,3)x－eq \f(2,3)
5．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，－1≤x≤1，,1－x，x>1或x<－1.))若f(x)≥eq \f(1,4)，则x的取值范围为________．
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2(1)求f(－5)，f(－eq \r(3))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
[提能力]
7．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
8．用函数M(x)表示函数f(x)和g(x)中的较大者，记为：M(x)＝max{f(x)，g(x)}．若f(x)＝eq \r(|x|)，g(x)＝eq \f(1,x2)，则M(x)的大致图象为( )
9．已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；
(2)解不等式：f(x)>0；
(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．
[战疑难]
10．已知函数f(x)对任意正实数a，b都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．
(1)求f(1)的值；
(2)求证：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)；
(3)f(2)＝p，f(3)＝q(p，q均为常数)，求f(36)的值．
课时作业(十二) 函数的表示法
1．解析：根据函数的定义可知．对于B中，取x＝2，得f(2)＝3或4，不符合函数的定义；对于C中，取x＝1，f(1)＝5或1，不符合函数的定义．故选AD.
答案：AD
2．解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝eq \f(1,t＋1＋1)＝eq \f(1,2＋t)，
∴f(x)＝eq \f(1,x＋2).
答案：C
3．解析：因为y＝eq \f(x2,|x|)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x>0，,－x，x<0，))所以函数的图象为选项A.
答案：A
4．解析：∵f(g(x))＝3g(x)－1＝2x＋3, ∴3g(x)＝2x＋4，则g(x)＝eq \f(2,3)x＋eq \f(4,3).
答案：A
5．解析：当－1 ≤x≤1时，f(x)＝x≥eq \f(1,4)，即eq \f(1,4)≤x≤1；当x>1或x<－1时，f(x)＝1－x≥eq \f(1,4)，则x<－1.故x的取值范围是(－∞，－1)∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1)).
答案：(－∞，－1)∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))
6．解析：(1)f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－eq \r(3))＝(－eq \r(3))2＋2×(－eq \r(3))＝3－2eq \r(3)，
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝－eq \f(5,2)＋1＝－eq \f(3,2)，且－2<－eq \f(3,2)<2，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝－eq \f(3,4).
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去；
当－2∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，解得a＝2，符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
7．解析：A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|,2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；B中，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；C中，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)．故选ABD.
答案：ABD
8．解析：在同一直角坐标系中作出两个函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象，如下图所示：
由图象可知，M(x)＝max{f(x)，g(x)}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(gx，0<|x|<1，,fx，|x|≥1.))
因此，函数y＝M(x)的图象为A选项中的图象．
答案：A
9．解析：若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，
∴f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；
若－10，
∴f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；
若x>3，则x－3>0，x＋1>0，
∴f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，x≤－1，,－2x＋2，－13.))
(1)当－1∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}，即[－4,4]．
(2)f(x)>0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－1，,4>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>3，,－4>0，))
解得x≤－1或－1∴f(x)>0的解集为(－∞，1)．
(3)f(x)的图象如图所示，
由图可知，若直线y＝a与f(x)的图象无交点，则a的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
10．解析：(1)令a＝1，b＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)证明：令a＝eq \f(1,x)，b＝x，得f(1)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝0，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)．
(3)令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p，
令a＝b＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，
令a＝4，b＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.

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