人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时课后测评

第三章　3.1　3.1.2　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．下列函数中，与函数y＝x－1相等的是(　C　)

A．y＝ B．y＝

C．y＝t－1 D．y＝－

[解析]　A项y＝＝|x－1|，与y＝x－1的对应关系不同；B项，函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，与函数y＝x－1的定义域不同；D项，y＝－＝－|x－1|，与y＝x－1的对应关系不同，不是相等函数，故选C．

2．设函数f(x)＝若f[f()]＝4，则b＝(　D　)

A．1 B．

C． D．

[解析]　f[f()]＝f(3×－b)＝f(－b)．当－b<1，即b>时，3×(－b)－b＝4，解得b＝(舍)．当－b≥1，即b≤时，2×(－b)＝4，解得b＝.故选D．

3．函数y＝＋1的图象是下列图象中的(　A　)

[解析]　当x＝0时，y＝＋1＝2.

故排除B，D；

当x＝2时，y＝＋1＝－1＋1＝0.故排除C．选A．

4．已知函数f(x)＝，则不等式f(x)>f(1)的解集是(　A　)

A．(－3,1)∪(3，＋∞)

B．(－3,1)∪(2，＋∞)

C．(－1,1)∪(3，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(1,3)

[解析]　画出函数f(x)的图象如图所示，令f(x)＝f(1)，得x＝－3,1,3，所以当f(x)>f(1)时，必有x∈(－3,1)∪(3，＋∞)．故选A．

5．函数f(x)＝的值域是(　D　)

A．R B．(0,2)∪(2，＋∞)

C．(0，＋∞) D．[0,2]∪[3，＋∞)

[解析]　当0≤x≤1时，2x2∈[0,2]；当x≥2时，x＋1≥3，所以函数f(x)的值域是[0,2]∪[3，＋∞)，故选D．

6．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为下列图中的(　B　)

[解析]　由已知得y＝.故选B．

二、填空题

7．已知函数f(x)＝，若f[f(0)]＝a，则实数a＝____.

[解析]　依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f[f(0)]＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝.

8．函数y＝－x(x≥2)的值域为__(－∞，－1]__.

[解析]　令t＝，则x＝t2＋1，由x≥2，知t≥1，于是y＝－t2＋t－1＝－(t－)2－(t≥1)，当t＝1时， y＝－1，故函数y＝－x(x≥2)的值域为(－∞，－1]．

9．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝__－__.

[解析]　当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，所以f(x＋1)＝(x＋1)·[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)，又f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝f(x＋1)＝－.

三、解答题

10．若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，求m的取值范围．

[解析]　令f(x)＝.

作其图象，如图所示

由图可知1<m<5.

11．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：

(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；

(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；

(3)求函数f(x)的值域．

[解析]　因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：

描点，连线，得函数图象如图．

(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，

所以f(3)<f(0)<f(1)．

(2)根据图象，容易发现当x1<x2<1时，有f(x1)<f(x2)．

(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．

B组·素养提升

一、选择题

1．设函数f(x)＝，则f[]的值为(　A　)

A． B．－

C． D．18

[解析]　∵x>1时，f(x)＝x2＋x－2，

∴f(2)＝22＋2－2＝4，

∴＝

∴f[]＝f()，

又∵x≤1时，f(x)＝1－x2，

∴f()＝1－()2＝1－＝，

故选A．

2．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝(　B　)

A．－4或－2 B．－4或2

C．－2或4 D．－2或2

[解析]　当a≤0时，由f(a)＝－a＝4，得a＝－4；

当a>0时，由f(a)＝a2＝4，得a＝2或a＝－2(舍去)．

所以a＝－4或a＝2.

3．(多选题)著名的Dirichlet函数D(x)＝

则与D[D(x)]相等的有(　AB　)

A．D(2) B．D(3)

C．D() D．D(π)

[解析]　因为D(x)∈{0,1}，所以D(x)为有理数，所以D[D(x)]＝1，而D(2)＝D(3)＝1，D()＝D(π)＝0，所以A，B都符合．

4．(多选题)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置不可能是图1中的(　ABC　)

A．点M B．点N

C．点P D．点Q

[解析]　由题图知固定位置到点A距离大于到点C距离，所以N，M点不可能；若是P点，则从最高点到C点依次递减，与题中图2矛盾，因此不可能是P点，故选ABC．

二、填空题

5．设函数f(x)＝，若f(x0)＝8，则x0＝__－或4__.

[解析]　当x0≤2时，x＋2＝8，∴x＝6，∴x0＝±，

∵x0≤2，∴x0＝－.

当x0>2时，2x0＝8，x0＝4.

综上可知x0＝－或4.

6．已知f(x)＝，则不等式xf(x)＋x≤2的解集是__{x|x≤1}__.

[解析]　当x≥0时，f(x)＝1，由xf(x)＋x≤2，知x≤1，

∴0≤x≤1；

当x＜0时，f(x)＝0，知x≤2，∴x＜0.

综上，不等式的解集为{x|x≤1}．

7．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是__(－∞，1]__.

[解析]　由题意知f(x)＝

画出图象为

由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．

三、解答题

8．已知函数f(x)＝

(1)求f(－3)，f[f()]的值；

(2)若f(a)＝2，求a的值．

[解析]　(1)因为－3<－1，所以f(－3)＝－3＋2＝－1.

因为－1<<2，所以f()＝2×＝3.

又3>2，所以f[f()]＝f(3)＝.

(2)当a≤－1时，由f(a)＝2，得a＋2＝2，a＝0，舍去；

当－1<a<2时，由f(a)＝2，得2a＝2，a＝1；

当a≥2时，由f(a)＝2，

得＝2，a＝2或a＝－2(舍去)．

综上所述，a的值为1或2.

9．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水收费标准如下：每户每月用水不超过6吨时每吨3元，当用水超过6吨但不超过15吨时，超过部分每吨5元，当用水超过15吨时，超过部分每吨10元．

(1)求水费y(元)关于用水量x(吨)之间的函数关系式；

(2)若某户居民某月所交水费为93元，试求此用户该月的用水量．

[解析]　(1)y＝

(2)因为93>63，所以63＋10(x－15)＝93⇒x＝18.

即此用户该月的用水量为18吨．