人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第1课时当堂检测题

第三章　3.1　3.1.2　第1课时

A组·素养自测

一、选择题

1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则该一次函数的解析式为(　D　)

A．f(x)＝－x　　　　 B．f(x)＝x－1

C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x＋1

[解析]　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有

所以a＝－1，b＝1，即f(x)＝－x＋1.

2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于(　C　)

A．1 B．2

C．3 D．不存在

[解析]　∵2<3≤4，∴由题中表格可知f(3)＝3.

3．函数f(x)＝的图象是(　C　)

[解析]　由于f(x)＝＝所以其图象为C．

4．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了a km，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了b km(b<a)，再折回匀速前进c km，则此人距起点的距离s与时间t的关系示意图正确的是(　C　)

[解析]　注意理解两坐标轴s，t的含义，这里s是指距起点的距离，不是路程的累加，结合题意可知C符合．故选C．

5．若f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式为(　B　)

A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1

C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7

[解析]　∵g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3，

令x＋2＝t，∴x＝t－2，

∴g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1，∴g(x)＝2x－1.

6．若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝(　A　)

A．x＋1 B．x－1

C．2x＋1 D．3x＋3

[解析]　因为3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，

所以3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，解得f(x)＝x＋1.

二、填空题

7．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点O，A，B，C的坐标分别为(0,0)，，(0,4)，(2,0)，则f(－5)＝____，f[f(2)]＝__4__.

[解析]　由题图可知f(－5)＝，f(2)＝0，f(0)＝4.

故f[f(2)]＝4.

8．若3f(x)－f()＝2x(x≠0)，则f(x)＝__＋(x≠0)__.

[解析]　用代换x，得3f()－f(x)＝.

解方程组解得f(x)＝＋(x≠0)．

即f(x)＝＋(x≠0)．

9．设函数f(x)＝若f(m)>m，则m的取值范围是__(－∞，－1)__.

[解析]　由题意，只需y＝f(x)的图象在y＝x的上方即可．因为y＝x与y＝f(x)图象的交点坐标为(－1，－1)，所以只有当m<－1时，才有f(m)>m.

三、解答题

10．作出下列函数的图象．

(1)y＝＋1，x∈{1,2,3,4,5}；

(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．

[解析]　(1)函数y＝＋1，x∈{1,2,3,4,5}是由(1，)，(2,2)，(3，)，(4,3)，(5，)五个孤立的点构成，如图．

(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段曲线，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图所示．

11．设f(x)是R上的函数，且f(0)＝1，并且对任意实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求函数的值域．

[解析]　(1)由f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，

令x＝y，得f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，

又f(0)＝1，所以f(x)－x(2x－x＋1)＝1，

即f(x)＝x2＋x＋1.

(2)∵f(x)＝x2＋x＋1＝2＋≥，

所以函数f(x)的值域为.

B组·素养提升

一、选择题

1．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　D　)

A．y＝20－2x B．y＝20－2x(0＜x＜10)

C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)

[解析]　由题意得y＋2x＝20，∴y＝20－2x.

又∵2x＞y，∴2x＞20－2x，即x＞5.由y＞0，即20－2x＞0得x＜10，∴5＜x＜10.故选D．

2．观察下表：

则f[g(3)－f(－1)]＝(　B　)

A．3 B．4

C．－3 D．5

[解析]　由题表知，g(3)－f(－1)＝－4－(－1)＝－3，

∴f[g(3)－f(－1)]＝f(－3)＝4.

3．若f()＝，则当x≠0，且x≠1时，f(x)＝(　B　)

A． B．

C． D．－1

[解析]　f()＝＝

∴f(x)＝，故选B．

4．(多选题)已知f(2x＋1)＝4x2，则下列结论正确的是(　BD　)

A．f(3)＝36 B．f(－3)＝16

C．f(x)＝16x2＋16x＋4 D．f(x)＝x2－2x＋1

[解析]　当2x＋1＝3时，x＝1，因此f(3)＝4×12＝4，所以A不符合题意；当2x＋1＝－3时，x＝－2，因此f(－3)＝4×(－2)2＝16，所以B符合题意；令t＝2x＋1，则x＝，因此f(t)＝4×()2＝t2－2t＋1，所以C不符合题意，D符合题意．故选BD．

二、填空题

5．已知函数f(x)是反比例函数，且f(－1)＝2，则f(x)＝__－__.

[解析]　设f(x)＝(k≠0)，

∴f(－1)＝－k＝2，∴k＝－2，∴f(x)＝－.

6．已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，则f()等于__15__.

[解析]　令g(x)＝1－2x＝，∴x＝，

∴f()＝f[g()]＝＝15.

7．已知函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝3x，则f(x)＝__x__.

[解析]　因为2f(x)－f(－x)＝3x，①

所以将x用－x替换，得2f(－x)－f(x)＝－3x，②

联立①②解得f(x)＝x.

三、解答题

8．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．

[解析]　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由f(0)＝f(4)知

得4a＋b＝0.①又图象过点(0,3)，所以c＝3.②

设f(x)＝0的两实根为x1，x2，

则x1＋x2＝－，x1·x2＝.

所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－)2－2·＝10.

即b2－2ac＝10a2.③

由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3.

所以f(x)＝x2－4x＋3.

9．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f[f(－3)]的值．

[解析]　因为f(2)＝1，所以＝1，

即2a＋b＝2，①

又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.代入①得a＝.

所以f(x)＝＝，所以f(－3)＝＝6，

所以f[f(－3)]＝f(6)＝＝.