高中人教A版 (2019)第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质复习练习题

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2.1 等式性质与不等式性质
考点1 不等关系的建立
1.(2019·安徽宿州十三所重点中学高一期中)完成一项装修工程,请木工共需付工资每人400元,请瓦工共需付工资每人500元,现有工人工资预算不超过20 000元。设木工x人,瓦工y人,则工人满足的关系式是( )。
A.4x+5y≤200B.4x+5y<200
C.5x+4y≤200D.5x+4y<200
答案：A
解析：由题意,可得400x+500y≤20 000,化简得4x+5y≤200。故选A。
2.有一家三口的年龄之和为65岁,设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x,y,z,则下列选项中能反映x,y,z关系的是( )。
A.x+y+z=65B.x+y+z=65,x>y>z,x,y,z∈N*
C.x+y+z=65,x>z>0,y>z>0,x,y,z∈N*D.x+y+z=65,x<65,y<65,z<65,x,y,z∈N*
答案：C
解析：由题意得x+y+z=65,x>z>0,y>z>0,x,y,z∈N*。故选C。
3.△ABC的三边长分别为a,b,1,则a,b满足的不等关系是 。
答案：a+b>1,b+1>a,a+1>b
解析：由三边长的关系得a+b>1,b+1>a,且a+1>b。
4.有粮食和石油两种物资,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表:
现在要在一天内至少运输2 000 t粮食和1 500 t石油。写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式组。
答案：解:设需安排x艘轮船和y架飞机,则
300x+150y≥2 000,250x+100y≥1 500,x≥0,x∈N,y≥0,y∈N,即6x+3y≥40,5x+2y≥30,x≥0,x∈N,y≥0,y∈N。
考点2 不等式的性质
5.(2019·陕西西安铁一中高一下学期期中)若a,b,c为实数,则下列命题错误的是( )。
A.若ac2>bc2,则a>b
B.若aC.若a>b>0,则1a <1b
D.若ad>0,则ac答案：B
解析：对于A,若ac2>bc2,则a>b,故正确;对于B,根据不等式的性质,若ab2,故错误;对于C,若a>b>0,则aab>bab,即1b >1a,故正确;对于D,若ad>0,则ac6.(2018·安徽安庆高一期末)已知a,b,c满足cA.ab>acB.c(b-a)<0
C.cb20
答案：A
解析：c0,c<0。设a=2,b=0,c=-1,排除B,C,D。故选A。
7.已知aA.|b|<-aB.ab>0
C.ab<0D.|a|<|b|
答案：A
解析：由条件a8.已知a,b,c,d∈R,则下列命题中必成立的是( )。
A.若a>b,c>b,则a>c
B.若a>-b,则c-aC.若a>b,cbd
D.若a2>b2,则-a<-b
答案：B
解析：选项A,若a=4,b=2,c=5,显然不成立;选项C不满足倒数不等式的条件,若a>b>0,c<0b≥0时才成立,如当a=-1,b=0时,不成立,故选B。
9.(2018·山西怀仁第一中学、应县第一中学高一期末)已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( )。
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若ac>bc,则a>b
C.若a3>b3且ab<0,则1a >1b
D.若a2>b2且ab>0,则1a<1b
答案：C
解析：A中,当c=0时,ac2>bc2不成立,故A错误;
B中,当c<0时,aC中,若a3>b3,ab<0,则a>0>b,∴1a>1b,故C正确;
D中,当a<0,b<0时,1a<1b不成立,故D错误。
考点3 比较大小
10.(2019·湖北宜昌第一中学高一期末)已知-1A.a2>-a3>-aB.-a>a2>-a3
C.-a3>-a>a2D.a2>-a>-a3
答案：B
解析：∵-10,0<-a<1,∴-a-a2=-a(1+a)>0,a2-(-a3)=a2(1+a)>0,∴-a>a2>-a3。故选B。
11.已知a1,a2∈(0,1)。记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( )。
A.MNC.M=ND.不确定
答案：B
解析：方法一:∵M-N=a1a2-a1-a2+1=(1-a1)(1-a2)>0,∴M>N,故选B。
方法二:特殊值法。取a1=a2=12∈(0,1),则M=14,N=0。
∴M>N。
12.若x>1>y,则下列不等式不一定成立的是( )。
A.x-1>1-yB.x-1>y-1
C.x-y>1-yD.1-x>y-x
答案：A
解析：特殊值法。令x=2,y=-1,则x-1=2-1<1-(-1)=1-y,故选A。
13.(2018·天津高二期末)若a=4,b=2+7,c=3+6,则a,b,c的大小关系为( )。
A.c>b>aB.a>c>b
C.c>a>bD.b>a>c
答案：A
解析：∵a,b,c均为正数,且a2=16=9+2494,b2=9+214,c2=9+218,∴c2>b2>a2,∴c>b>a。故选A。
14.已知a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是( )。
A.a2>a>-a2>-aB.-a>a2>-a2>a
C.-a>a2>a>-a2D.a2>-a>a>-a2
答案：B
解析：方法一:∵a2+a<0,∴0-a2>a,∴a<-a2方法二:可取特殊值检验,∵a2+a<0,∴a∈(-1,0)。令a=-12,则a2=14,-a2=-14,-a=12,∴12>14>-14>-12,即-a>a2>-a2>a,故选B。
【归纳总结】作差比较中常用的变形手段有:通分、因式分解、配方等。比较含参数的量的大小时,若不能确定差的符号,可对参数进行分类讨论。
考点4 利用不等式的性质求取值范围
15.若角α,β满足-π2 <α<π2,-π2<β<π2,则2α+β的取值范围是( )。
A.(-π,0)B.(-π,π)
C.-3π2,π2D.-3π2,3π2
答案：D
解析：∵角α,β满足-π2 <α<π2,-π2<β<π2,
∴-π<2α<π,∴-3π2<2α+β<3π2,故选D。
16.已知12答案：(-24,45) 13,4
解析：由15又因为12由15考点5 等式性质与不等式性质的综合问题
17.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示为( )。
A.x≥95,y≥380,z>45B.x≥95,y>380,z≥45
C.x>95,y>380,z>45D.x≥95,y>380,z>45
答案：D
解析：题中x不低于95,即x≥95;y高于380,即y>380;z超过45,即z>45。
18.若a>b>0,则下列不等式中恒成立的是( )。
A.ba>b+1a+1B.a+1a >b+1b
C.a+1b >b+1aD.2a+ba+2b>ab
答案：C
解析：方法一:a>b>0⇒0<1a<1b⇒a+1b>b+1a,故选C。
方法二(特值法):令a=2,b=1,排除A,D;再令a=12,b=13,排除B。
19.(2018·四川雅安高一期末)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在(0,1)之间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机,则该手机的“屏占比”和升级前比的变化是( )。
A.“屏占比”不变B.“屏占比”变小
C.“屏占比”变大D.变化不确定
答案：C
解析：设升级前为ba,升级后“屏占比”为b+ma+m(a>b>0,m>0)。∵b+ma+m-ba=(a-b)ma(a+m)>0,∴手机的“屏占比”和升级前相比变大。故选C。
20.(2019·河南郑州八校高二下学期期中联考)若aa+bb>ab+ba,则a,b必须满足的条件是( )。
A.a>b>0B.aC.a>bD.a≥0,b≥0,且a≠b
答案：D
解析：aa+bb-(ab+ba)=(a-b)(a-b)=(a+b)·(a-b)2。又aa+bb>ab+ba,则a,b必须满足的条件是a,b≥0,且a≠b。故选D。
21.已知m=a-a-2,n=a-1-a-3,其中a≥3,则m,n的大小关系为( )。
A.m>nB.m=n
C.m答案：C
解析：m-n=(a-a-2)-(a-1-a-3)=2a+a-2 -2a-1+a-3<0,∴m22.(2018·安徽六安第一中学高一期末)已知α,β满足-1≤α+β≤1,1≤α+2β≤3,则α+3β的取值范围是( )。
A.[1,7]B.[-5,13]
C.[-5,7]D.[1,13]
答案：A
解析：设α+3β=λ(α+β)+v(α+2β)=(λ+v)α+(λ+2v)β。
比较α,β的系数,得λ+v=1,λ+2v=3,从而解出λ=-1,v=2。
由题得-1≤-α-β≤1,2≤2α+4β≤6,
两式相加,得1≤α+3β≤7。故α+3β的取值范围是[1,7]。故选A。
23.(2019·重庆开州区高一期末)已知a>b>c,下列不等关系一定成立的是( )。
A.ac+b2>ab+bcB.ab+bc>b2+ac
C.ac+bc>c2+abD.a2+bc>b2+ab
答案：B
解析：对于A,若ac+b2>ab+bc,则ac-bc>ab-b2,c(a-b)>b(a-b),不成立;对于C,若ac+bc>c2+ab,则ac-c2>ab-bc,c(a-c)>b(a-c),不成立;对于D;若a2+bc>b2+ab,则a2-ab>b2-bc,a(a-b)>b(b-c),若a=4,b=3,c=1,不成立。故选B。
24.设实数x,y满足0A.x>1且y>1B.0C.01且0答案：C
解析：∵x+y<1+xy,
∴x-xy+y-1<0,
∴x(1-y)+y-1<0,
∴(x-1)(1-y)<0,
∴(x-1)(y-1)>0,
∴x>1,y>1或x<1,y<1。
又00,∴025.(2019·江苏南京一模)已知a,b为实数,且a≠b,a<0,则a 2b-b2a。(填“>”“<”或“=”)
答案：<
解析：∵a≠b,a<0,∴a-2b-b2a =(a-b)2a<0,∴a<2b-b2a。轮船运输量/t
飞机运输量/t
粮食
300
150
石油
250
100