人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第2课时随堂练习题

第一章　1.1　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为(　C　)

A．{(1,2)} B．{(2,1)}

C．{1,2} D．{x2－3x＋2＝0}

[解析]　解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2.用列举法表示为{1,2}．

2．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为(　B　)

A．{0,1} B．{(0,1)}

C． D．

[解析]　解方程组得

故该集合为{(0,1)}．

3．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集为(　C　)

A．{x|x＝2}

B．{x|x＝1或x＝－2}

C．{x|x＝1}

D．{1，－2}

[解析]　方程x2＋x－2＝0的解为x＝1或x＝－2.由于x∈N，所以x＝－2舍去．故选C．

4．若A＝{－1,3}，则可用列举法将集合{(x，y)|x∈A，y∈A}表示为(　D　)

A．{(－1,3)}

B．{－1,3}

C．{(－1,3)，(3，－1)}

D．{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}

[解析]　因为集合{(x，y)|x∈A，y∈A}是点集或数对构成的集合，其中x，y均属于集合A，所以用列举法可表示为{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}．

5．下列集合中，不同于另外三个集合的是(　B　)

A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}

C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}

[解析]　因为{x|x＝1}＝{1}，{x|x2＝1}＝{－1,1}，{y|(y－1)2＝0}＝{1}，所以B选项的集合不同于另外三个集合．

6．下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组的解集为{x＝1，y＝2}．其中说法正确的个数为(　D　)

A．3 B．2

C．1 D．0

[解析]　由x3＝x，得x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1.因为－1∉N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0,1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确．方程组的解是有序实数对，其解集应为，故③不正确．

二、填空题

7．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为__{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}__.

[解析]　∵x＋y＝6，x∈N，y∈N，

∴x＝6－y∈N，

∴

∴A＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．

8．集合{1，，，2，，…}用描述法表示为__{x|x＝，n∈N*}__.

[解析]　注意到集合中的元素的特征为，且n∈N*，所以用描述法可表示为{x|x＝，n∈N*}．

9．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是__a≤－2__.

[解析]　因为1∉A，则应有2×1＋a≤0，所以a≤－2.

三、解答题

10．用列举法表示下列集合：

(1)；

(2){(x，y)|y＝3x，x∈N且1≤x<5}．

[解析]　(1)因为∈Z，所以|2－x|是6的因数，

则|2－x|＝1,2,3,6，即x＝1,3,4,0，－1,5，－4,8.

所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．

(2)因为x∈N且1≤x<5，所以x＝1,2,3,4，

其对应的y的值分别为3,6,9,12.

所以原集合可用列举法表示为{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)}．

11．用描述法表示下列集合．

(1){2,4,6,8,10,12}；

(2){，，，，}；

(3)被5除余1的正整数集合；

(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；

(5)方程组的解组成的集合．

[解析]　(1){x|x＝2n，n∈N*，n≤6}．

(2){x|x＝，n∈N*，n≤5}．

(3){x|x＝5n＋1，n∈N}．

(4){(x，y)|xy<0}．

(5)或.

B组·素养提升

一、选择题

1．方程组的解集是(　C　)

A．{x＝1，y＝－1} B．{1}

C．{(1，－1)} D．{(x，y)|(1，－1)}

[解析]　方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D的集合表示方法有误，排除D．

2．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为(　D　)

A．{1,2}

B．{(1,2)}

C．{(1,1)，(2,2)}

D．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}

[解析]　x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2.

∴集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故选D．

3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为(　BD　)

A．{x|x＝2k－1，k∈N}

B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}

C．{x|x＝2k＋3，k∈N}

D．{x|x＝2k＋5，k∈N}

[解析]　选项A，C中，集合内的最小奇数不大于4.

4．(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是(　ABD　)

A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}

B．M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}

C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}

D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}

[解析]　选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M≠P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．

二、填空题

5．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是__0或1__.

[解析]　集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由Δ＝0，解得a＝1，此时A＝{－1}，满足题意；

当a＝0时，x＝－，此时A＝{－}，满足题意．

故集合A中只有一个元素时，a的值是0或1.

6．用列举法写出集合＝__{－3，－1,1,3}__.

[解析]　∵∈Z，x∈Z，

∴3－x为3的因数．

∴3－x＝±1，或3－x＝±3.

∴＝±3，或＝±1.

∴－3，－1,1,3满足题意．

7．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为__4__.

[解析]　当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．

三、解答题

8．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A．

[解析]　(1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0，

所以x＝2，此时A＝{2}．

(2)当k≠0时，因为集合A中只有一个元素，

所以方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实根．

则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.

从而x1＝x2＝4，所以集合A＝{4}，

综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．

9．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．

(1)若A中只有一个元素，求集合A；

(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．

[解析]　(1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{}，符合题意；

当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，

则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．

综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．

(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；

当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，

则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.

综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤.