高中数学1.1 集合的概念第1课时课堂检测

第一章　1.1　第1课时

A组·素养自测

一、选择题

1．下列各组对象能组成一个集合的是(　C　)

①某中学高一年级所有聪明的学生；②在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点；③所有不小于3的正整数；④的所有近似值．

A．①②　　　　　　 B．③④

C．②③ D．①③

[解析]　①④不符合集合中元素的确定性．故选C．

2．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是(　C　)

A．0∈A B．a∉A

C．a∈A D．a＝A

[解析]　由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应该用“＝”，故选C．

3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为(　C　)

A．1 B．2

C．3 D．4

[解析]　方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．

4．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，其含有元素的个数最多为(　A　)

A．2 B．3

C．4 D．5

[解析]　∵＝|x|，－＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x<0，它们分别是x，－x，－x，－x，x.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．

5．设x∈N，且∈N，则x的值可能是(　B　)

A．0 B．1

C．－1 D．0或1

[解析]　∵－1∉N，∴排除C；0∈N，而无意义，排除A、D，故选B．

6．如果集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为(　B　)

A．2 B．2或4

C．4 D．0

[解析]　∵a∈A，∴当a＝2时，6－a＝4，∴6－a∈A；当a＝4时，6－a＝2，∴6－a∈A；当a＝6时，6－a＝0，∴6－a∉A，故a＝2或4.

二、填空题

7．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳__∉__A，广州__∈__A(填“∈”或“∉”)．

[解析]　深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．

8．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)__∈__P(填“∈”或“∉”)．

[解析]　直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y满足关系：y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P.

9．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x的值为__－1__.

[解析]　因为x2∈A，所以x2＝1或x2＝0或x2＝x，

解得x＝－1,0,1.经检验，只有x＝－1时，满足集合元素的互异性．

三、解答题

10．记方程x2－x－m＝0的解构成的集合为M，若2∈M，试写出集合M中的所有元素．

[解析]　因为2∈M，所以22－2－m＝0，解得m＝2.解方程x2－x－2＝0，即(x＋1)(x－2)＝0，得x＝－1或x＝2.故M含有两个元素－1,2.

11．由a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合是同一个集合，求a2 020＋b2 020的值．

[解析]　由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得＝0，即b＝0，此时两集合中的元素分别为a,0,1和a2，a,0，因此a2＝1，解得a＝－1或a＝1(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋0＝1.

B组·素养提升

一、选择题

1．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是(　D　)

A．矩形 B．平行四边形

C．菱形 D．梯形

[解析]　由于集合中的元素具有“互异性”，故a、b、c、d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．

2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为(　B　)

A．2 B．3

C．0或3 D．0或2或3

[解析]　因为2∈A，所以m＝2，或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B．

3．(多选题)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是(　BC　)

A．－2∈A B．－11∉A

C．3k2－1∈A D．－34∉A

[解析]　令3k－1＝－2，解得k＝－，－∉Z，

∴－2∉A；

令3k－1＝－11，

解得k＝－，－∉Z，∴－11∉A；

∵k2∈Z，∴3k2－1∈A；

令3k－1＝－34，解得k＝－11，－11∈Z，

∴－34∈A．故选BC．

4．(多选题)已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是(　ACD　)

A．3∈A，－1∉A B．3∈A，－1∈A

C．3∉A，－1∈A D．3∉A，－1∉A

[解析]　当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；

当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；

当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；

当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1.

所以3∈A，－1∈A．故选ACD．

二、填空题

5．用适当的符号填空：

已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则17__∈__A；－5__∉__A；17__∈__B．

[解析]　令3k＋2＝17，得k＝5,5∈Z，所以17∈A；令3k＋2＝－5，得k＝－，－∉Z，所以－5∉A；令6m－1＝17，得m＝3,3∈Z，所以17∈B．

6．若∈A，且集合A中只含有一个元素a，则a的值为　__－1±__.

[解析]　由题意，得＝a，

∴a2＋2a－1＝0且a≠－1，∴a＝－1±.

7．(2019·江苏泰州期末)集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为__1__，y的值为__0__.

[解析]　因为集合A，B相等，所以x＝0或y＝0.

①当x＝0时，x2＝0，此时集合B中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；

②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，经检验，x＝1符合题意，

综上可知，x＝1，y＝0.

三、解答题

8．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.

(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；

(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．

[解析]　(1)因为－2是集合A中的元素，

所以－2＝a－3或－2＝2a－1.

若－2＝a－3，则a＝1，

此时集合A含有两个元素－2,1，符合要求；

若－2＝2a－1，则a＝－，

此时集合A中含有两个元素－，－2，符合要求．

综上所述，满足题意的实数a的值为1或－.

(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，则a－3＝－5或2a－1＝－5.

当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；

当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．

综上，－5不能为集合A中的元素．

9．已知集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈Z}．

(1)试分别判断x1＝－，x2＝，x3＝(1－2)2与集合A的关系；

(2)设x1，x2∈A，证明：x1·x2∈A．

[解析]　(1)x1＝－＝0＋(－1)×，因为0，－1∈Z，所以x1∈A；

x2＝＝＝1＋×，因为1∈Z，但∉Z，所以x2∉A；

x3＝(1－2)2＝9－4＝9＋(－4)×，因为9，－4∈Z，所以x3∈A．

(2)因为x1，x2∈A，所以可设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2，且m1，n1，m2，n2∈Z，

所以x1·x2＝(m1＋n1)(m2＋n2)

＝m1m2＋(m2n1＋m1n2)＋2n1n2

＝(m1m2＋2n1n2)＋(m2n1＋m1n2)．

因为m1m2＋2n1n2∈Z，m2n1＋m1n2∈Z，所以x1·x2∈A．