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人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念综合训练题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念综合训练题，共19页。试卷主要包含了1 集合的概念，下列说法中正确的是，下列每组对象能构成一个集合的是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
新20版练B1数学人教A版1.1集合的概念
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第1课时
考点1 对集合的含义的理解
1.(2019·河北张家口联考)下列各选项中,不能组成集合的是( )。
A.所有的整数
B.所有大于0的数
C.高一(1)班所有长得帅的同学
D.所有的偶数
答案：C
解析：集合中的元素具有确定性,而C选项中高一(1)班所有长得帅的同学不满足这一条件。
2.(2019·河北衡水枣强中学检测)下列各组集合中,表示同一个集合的是( )。
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={3,2},N={2,3}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={(1,2)},N={1,2}
答案：B
解析：选项A,两个集合中的元素是有序数对,显然元素不同;选项C,集合M表示的是直线x+y=1上的点,而集合N表示的是直线y=1-x上的点的纵坐标,不是同一个集合;选项D,集合M中的元素是有序数对,而集合N中的元素是1,2两个数,不是同一个集合;选项B,两个集合都表示由2,3这两个元素构成的集合。
3.(2019·江西樟树联考)下列说法中正确的是( )。
A.参加某一次大地震救援的所有国家组成一个集合
B.樟树中学年龄较小的学生组成一个集合
C.{1,2,3}与{2,1,3}是不同的集合
D.由1,0,5,1,2,5组成的集合有六个元素
答案：A
解析：对于B,不满足确定性,故B错误;对于C,根据集合中元素的互异性可得{1,2,3}与{2,1,3}是同一个集合,故C错误;对于D,根据集合中元素的互异性,由1,0,5,1,2,5组成的集合有四个元素。
4.(2019·湖南娄底高一调考)考察下列每组对象,能组成一个集合的是( )。
①某中学高一年级聪明的学生;
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;
③不小于3的正整数;
④3的近似值。
A.①② B.③④ C.②③ D.①③
答案：C
解析：①“某中学高一年级聪明的学生”的标准不确定,因而不能构成集合;②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定,能构成集合;③“不小于3的正整数”的标准确定,能构成集合;④“3的近似值”的标准不确定,不能构成集合。
5.(2019·合肥八中模块测试)下列每组对象能构成一个集合的是( )。
①2022年冬季奥运会的举办城市;②2019年高考数学试卷中所有的难题;③清华大学2019级的新生;④接近0的数的全体;⑤比较小的正整数的全体;⑥平面上到坐标原点O的距离等于1的点的全体。
A.①②⑥ B.①③⑥ C.②④⑤ D.①③④
答案：B
解析：②中“难题”不确定,④中“接近0的数”不确定,⑤中“比较小的正整数”不确定。
6.(2019·湖南长郡中学检测)已知集合A含有两个元素2,-1,集合B含有两个元素m2-m,-1,且集合A与集合B相等,则实数m等于( )。
A.2 B.-1 C.2或-1 D.4
答案：C
解析：由于两个集合相等,因此m2-m=2,解得m=2或m=-1。
考点2 集合中元素的特性
7.(2019·北京四中测试)下列说法正确的是( )。
A.某个班年龄较小的学生组成一个集合
B.由数字1,2,3和3,2,1可以组成两个不同的集合
C.由数字0,12,0.5,-12,sin 30°组成的集合含有3个元素
D.从1,2,3这三个数字中取出一个或两个数字能构成一个集合
答案：D
解析：A中的这组对象是不确定的,因为年龄较小没有明确标准,所以不能构成集合。B中的数字1,2,3与3,2,1只能构成一个集合,因为集合中的元素是无序的。C中的五个数值形式归入同一集合中只有两个元素,故选D。
8.(2019·银川一中测试)已知集合M含1,2,x2三个元素,则x满足( )。
A.x≠1,且x≠2 B.x≠±1
C.x≠±2 D.x≠±1,且x≠±2
答案：D
解析：∵x2≠2,x2≠1,∴x≠±2,x≠±1。即x≠±1,且x=±2。
9.(2019·南昌一中测试)已知集合M中的元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )。
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
答案：D
解析：因为集合中元素具有互异性,所以a,b,c互不相等,因此选D。
10.(2019·西北工大附中单元测评)由实数x,-x,|x|,x2-3x3所组成的集合中最多含有( )。,
A.2个元素 B.3个元素
C.4个元素 D.5个元素
答案：A
解析：∵x2=|x|,-3x3=-x,∴由实数x,-x,|x|,x2,-3x3所组成的集合中最多含有2个元素,故选A。
11.(2019·广东广雅中学单元检测)以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的根为元素的集合中共有 个元素。
答案：3
解析：方程x2-5x+6=0的根是2,3,方程x2-x-2=0的根是-1,2。根据集合中元素的互异性知,以两方程的根为元素的集合中共有3个元素。
12.(2019·西安调考)设x,y,z是非零实数,若a=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|,则以a的值为元素的集合中元素的个数是 。
答案：3
解析：当x,y,z都是正数时,a=4;当x,y,z都是负数时,a=-4;当x,y,z中有1个是正数另2个是负数或有2个是正数另1个是负数时,a=0。所以以a的值为元素的集合中有3个元素。
考点3 元素与集合的关系
13.(2019·海南临高二中月考)下列关系中,正确的有( )。
①72∈R;②2∉Q;③π∈Q;④|-3|∉N;⑤-4∈Z。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：C
解析：72为实数,故①正确;2是无理数,故②正确;由于π是无理数,故③不正确;|-3|=3∈N,故④不正确;-4=-2∈Z,故⑤正确。综上,①②⑤正确。
14.(2019·浙江杭州四中检测)设x=13-52,y=3+2π,集合M={m|m=a+b2,a∈Q,b∈Q},那么x,y与集合M的关系是( )。
A.x∈M,y∈M B.x∈M,y∉M
C.x∉M,y∈M D.x∉M,y∉M
答案：B
解析：x=13-52 =-341-5412,即a=-341,b=-541;y=3+2π,即a=3,b=π,故x∈M,y∉M。
15.(2019·海口中学单元测评)集合A中只含有三个元素2,4,8,若a∈A,且8-a∈A,则a为( )。
A.2 B.4 C.8 D.0
答案：B
解析：若a=2,则8-a=8-2=6∉A;若a=4,则8-a=8-4=4∈A;若a=8,则8-a=8-8=0∉A,故选B。
16.(2019·深圳中学周测)若集合A中只含有元素a,则下列关系正确的是( )。
A.0∈A B.a∈A C.a∉A D.a=A
答案：B
解析：集合A中只含有元素a,则a是集合A中的元素,即a∈A。故选B。
17.(2019·黑龙江大庆中学高一期中)已知3∈{1,a,a-2},则实数a的值为( )。
A.3 B.5 C.3或5 D.无解
答案：B
解析：因为3∈{1,a,a-2},所以a-2=3或a=3。当a-2=3,即a=5时,满足题意;当a=3时,不满足集合中元素的互异性,故舍去。综上可得a的值为5,故选B。
18.(2019·福建闽侯第四中学高一期中)已知集合A={x|x≤10},a=2+3,则a与集合A的关系是( )。
A.a∈A B.a∉A C.a=A D.{a}∈A
答案：A
解析：因为2 +3<10,所以a∈A,故选A。
19.(2019·江苏宿豫中学高一检测)下列命题中正确的个数为 。
①N中最小的元素是1;
②a∈N,则-a∉N;
③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2;
④|-3|∈Q。
答案：D
解析：自然数集中最小的元素是0,故①③不正确;若a∈N,则a是自然数,当a=0时,-a仍为自然数,故②也不正确;3是无理数,故④不正确。
20.(2019·黄冈中学周练)用符号“∈”或“∉”填空。
设集合M中的元素为平行四边形,p表示某个矩形,q表示某个梯形,则p M,q M。
答案：∈ ∉
解析：矩形是平行四边形,梯形不是平行四边形,故p∈M,q∉M。
21.(2019·东北师大附中月考)集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为 。
答案：0或1
解析：因为y=-x2+1≤1,且y∈N,所以y的值为0,1,即集合A中的元素为0,1。又t∈A,所以t=0或1。
22.(2019·宁波效实中学测试)集合A中含有三个元素0,1,x,且x2∈A,则实数x的值为 。
答案：-1
解析：当x=0,1,-1时,都有x2∈A,但考虑到集合中元素的互异性,x≠0,x≠1,故答案为-1。
23.(2019·银川一中单元检测)已知x∈N,且6x+1∈Z,若x的所有取值构成集合M,则集合M中的元素为 。
答案：0,1,2,5
解析：因为x∈N,且6x+1∈Z,则x+1=1,2,3,6,即x=0,1,2,5,所以集合M中的元素是0,1,2,5。
24.(2019·青岛二中检测)已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,则实数a= 。
答案：-32
解析：由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,
所以a=-1或a=-32。
当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故a=-1应舍去。
当a=-32时,a-2=-72,2a2+5a=-3,满足题意,所以a=-32。
25.(2019·湖北枝江一中单元测评)已知方程ax2+2x+1=0,a∈R的根组成集合A。
(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;
答案：A中有且只有一个元素,即ax2+2x+1=0有且只有一个实根或有两个相等的实根。①当a=0时,方程的根为-12;②当a≠0时,由Δ=4-4a=0,得a=1,此时方程的两个相等的根为-1。综上,当a=0时,集合A中的元素为-12;当a=1时,集合A中的元素为-1。
(2)当A中至少有一个元素时,求a满足的条件;
答案：A中至少有一个元素,即方程ax2+2x+1=0有两个不等实根或有两个相等实根或有一个实根。
①当方程有两个不等实根时,a≠0,且Δ=4-4a>0,∴a<1且a≠0;
②当方程有两个相等实根时,a≠0,且Δ=4-4a=0,∴a=1;
③当方程有一个实根时,a=0。故a≤1。
(3)当A中至多有一个元素时,求a满足的条件。
答案：①A中只有一个元素时,a=0或a=1。
②A为空集时,a≠0,Δ<0,
解得a>1。
综上知A中至多有一个元素时,a的取值范围为a≥1,或a=0。
26.(2019·西南师大附中检测)集合A中共有3个元素-4,2a-1,a2,集合B中也共有3个元素9,a-5,1-a,现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值?若能,则求出来;若不能,则说明理由。
答案：解:∵9∈A,∴2a-1=9或a2=9。
若2a-1=9,则a=5,此时A中的元素为-4,9,25;B中的元素为9,0,-4,显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去。
若a2=9,则a=±3,当a=3时,A中的元素为-4,5,9;B中的元素为9,-2,-2,B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去。
当a=-3时,A中的元素为-4,-7,9;B中的元素为9,-8,4,符合题意。
综上所述,能根据已知条件求出实数a的值,且a=-3。
第2课时 集合的表示
考点1 集合的表示方法
1.(2019·福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考)把集合{x|x2-4x+3=0}用列举法表示为( )。
A.{1,3} B.{x|x=1,x=3} C.{x2-4x+3=0} D.{x=1,x=3}
答案：A
解析：解方程x2-4x+3=0得x=1或x=3,用列举法表示解集为{1,3}。
2.(2019·陕西黄陵中学月考)已知集合M={y|y=x2},用自然语言描述M应为( )。
A.满足y=x2的所有函数值y组成的集合
B.满足y=x2的所有自变量x的取值组成的集合
C.函数y=x2图像上的所有点组成的集合
D.以上均不对
答案：A
解析：由于集合M={y|y=x2}的代表元素是y,而y为函数y=x2的函数值,则M为满足y=x2的所有函数值y组成的集合。
3.(2019·北京育才学校期中)集合{x∈N*|x<6}的另一种表示方法是( )。
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
答案：D
解析：N*是非零自然数。
4.(2019·长沙一中月考)将集合(x,y)x+y=5,2x-y=1用列举法表示,正确的是( )。
A.{2,3} B.{(2,3)}
C.{x=2,y=3} D.(2,3)
答案：B
解析：解方程组x+y=5,2x-y=1,得x=2,y=3。所以用列举法表示为{(2,3)}。
5.(2019·贵州铜仁思南中学高一期中)已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,a≠b},则集合N中所有元素之和为( )。
A.-1 B.0
C.1 D.2
答案：A
解析：∵集合M={-1,0,1},∴N={x|x=ab,a,b∈M,a≠b}={-1,0},∴集合N中所有元素之和为-1。
6.(2019·广西桂林第十八中学高一开学考试)已知P={x|2
解析：∵P={x|2
答案：{x|x=2n,n∈N*}
解析：正整数中所有的偶数均能被2整除。
8.(2019·成都七中单元测试)用列举法表示集合A=xxZ,86-xN: 。
答案：{5,4,2,-2}
解析：∵x∈Z,86-x∈N,∴6-x∈{1,2,4,8}。此时x∈{5,4,2,-2},即A={5,4,2,-2}。
9.(教材习题改编)下列六种表示方法:
①{x=1,y=4};
②(x,y)x=1,y=4;
③{1,4};
④(1,4);
⑤{(1,4)};
⑥{x,y|x=1,或y=4}。
其中,能表示“一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合”的是 。
答案：②⑤
解析：①中含两个元素,且都是式子,而方程组的解集中只有一个元素,是一个点;②代表元素是点的形式,且对应值与方程组的解相同;③中含两个元素,是数集,而方程组的解集是点集,且只有一个元素;④没用“{}”括起来,不表示集合;⑤中只含有一个元素,且为点集,与方程组的解集对应;⑥代表元素与方程组的解的一般形式不符,需加小括号,条件中“或”也要改为“且”。
10.(2019·深圳中学检测)用列举法表示集合D=xZ|81+xN为D= 。
答案：{0,1,3,7}
解析：∵81+x∈N,∴81+x=8,或81+x=4,或81+x=2,或81+x=1。∴1+x=1,或1+x=2,或1+x=4,或1+x=8。∴x=0,或x=1,或x=3,或x=7。∴D={0,1,3,7}。
11.(2019·东北育才中学模块测试)已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},若a∈A,a∈B,则a为 。
答案：(2,5)
解析：由题意知,a∈A,a∈B,所以a是方程组y=2x+1,y=x+3的解,解得x=2,y=5。
12.(2019·武汉模块统测)下列各组集合中,满足P=Q的有 (填序号)。
①P={(1,2)},Q={(2,1)};②P={1,2,3},Q={3,1,2};③P={(x,y)|y=x-1,x∈R},Q={y|y=x-1,x∈R}。
答案：②
解析：①中P,Q表示的是不同的点组成的集合;②中P=Q;③中P表示的是点集,Q表示的是数集。
13.(2019·北师大附属实验中学模拟测评)设集合A={2,0,1,3},集合B={x|-x∈A,2-x2∉A},则集合B中所有元素的和为 。
答案：-5
解析：当x=-2,-3时,2-x2=-2,-7,有2-x2∉A;
而当x=0,-1时,2-x2=2,1,有2-x2∈A。
因此,根据集合B的定义可知B={-2,-3}。
所以集合B中所有元素的和为-5。
14.(2019·湖南边城一中单元测评)用适当的方法表示下列集合:
(1)绝对值小于5的全体实数组成的集合;
答案：绝对值小于5的全体实数组成的集合可表示为{x||x|<5}。
(2)所有正方形组成的集合;
答案：所有正方形组成的集合可表示为{正方形}。
(3)除以3余1的所有整数组成的集合;
答案：除以3余1的所有整数组成的集合可表示为{a|a=3x+1,x∈Z}。
(4)构成英文单词mathematics的全体字母。
答案：构成英文单词mathematics的全体字母可表示为{m,a,t,h,e,i,c,s}。
15.(2019·黄冈中学单元测试)完成下列题目。
(1)用描述法表示图1-1-2-1阴影部分(不含边界)的点构成的集合;
图1-1-2-1
答案：{(x,y)|0
答案：解不等式组得1≤x<3,在数轴上表示如图。
考点2 集合的含义与表示与方程的综合问题
16.(2018·河南洛阳期中)已知集合M={x∈R|x2+2ax+1=0},若M中只有一个元素,则a的值是( )。
A.-1 B.0或-1 C.1 D.-1或1
答案：D
解析：集合M中只含有一个元素,也就意味着方程x2+2ax+1=0只有一个解。只需Δ=4a2-4=0,即a=±1。综上所述,a的值为-1或1。
17.(2018·福建南安诗山中学月考)已知方程x2+ax+b=0。
(1)若方程的解集只有一个元素,求实数a,b满足的关系式;
答案：若方程x2+ax+b=0的解集只有一个元素,则方程x2+ax+b=0有两个相等的实数根,故Δ=0,即a2-4b=0。
(2)若方程的解集有两个元素1,3,求实数a,b的值。
答案：若方程的解集有两个元素1,3,则x2+ax+b=0的根为1,3,根据韦达定理得1+3=-a,1×3=b,a2-4b>0,∴a=-4,b=3。
考点3 与集合概念相关的新定义创新题
18.(2018·江西抚州南城县二中月考)定义A-B={x|x∈A且x∉B},若A={1,2,3,4,5},B={2,3,6},则A-(A-B)等于( )。
A.B B.{2,3} C.{1,4,5} D.{6}
答案：B
解析：定义A-B={x|x∈A且x∉B},A={1,2,3,4,5},B={2,3,6},则A-B={1,4,5},A-(A-B)={2,3}。
19.设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}。令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三个条件x
B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S
C.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈S
D.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S
答案：B
解析：方法一:∵(x,y,z)∈S,则x,y,z的大小关系有3种情况,同理,(z,w,x)∈S,则z,w,x的大小关系也有3种情况,如图所示,由图可知x,y,w,z的大小关系有4种可能,符合(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S。故选B。
方法二(特例排除法):不妨令x=2,y=3,z=4,w=1,则(y,z,w)=(3,4,1)∈S,(x,y,w)=(2,3,1)∈S。
20.(2019·华中师大一附中单元测试)定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B},设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )。
A.0 B.2 C.3 D.6
答案：D
解析：∵z=xy,x∈A,y∈B,
∴z的取值有1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4,
∴A*B={0,2,4},
故集合A*B的所有元素之和为0+2+4=6。
21.(2019·枣庄滕州一中单元检测)集合G关于运算满足:(1)对任意的a,b∈G,都有ab∈G;(2)存在e∈G,对任意a∈G,都有ae=ea=a,则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算:
①G={非负整数},为整数的加法;
②G={偶数},为整数的乘法;
③G={二次三项式},为多项式的加法。
其中G关于运算为“融洽集”的是 。(写出所有“融洽集”的序号)
答案：①
解析：根据题意,判断给出的集合对运算?是否满足条件(1)(2)即可。其中,条件(1)的含义是:集合G中任意两个元素关于运算的结果仍然是集合G的元素;条件(2)的含义是:集合G中存在一个特殊元素e,它与G中任何一个元素a关于运算满足交换律,且运算结果依然等于a本身。
①G={非负整数},为整数的加法,满足对任意a,b∈G,都有ab∈G,且存在e=0,使得a0=0a=a,
∴①符合要求;
②G={偶数},为整数的乘法,若存在ae=ea=a,则e=1,与e∈G矛盾,
∴②不符合要求;
③G={二次三项式},为多项式的加法,两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式,
∴③不符合要求。综上可知,G关于运算?为“融洽集”的只有①。
新20版练B1数学人教A版1.1集合的概念
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第1课时
考点1 对集合的含义的理解
1.(2019·河北张家口联考)下列各选项中,不能组成集合的是( )。
A.所有的整数
B.所有大于0的数
C.高一(1)班所有长得帅的同学
D.所有的偶数
答案：C
解析：集合中的元素具有确定性,而C选项中高一(1)班所有长得帅的同学不满足这一条件。
2.(2019·河北衡水枣强中学检测)下列各组集合中,表示同一个集合的是( )。
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={3,2},N={2,3}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={(1,2)},N={1,2}
答案：B
解析：选项A,两个集合中的元素是有序数对,显然元素不同;选项C,集合M表示的是直线x+y=1上的点,而集合N表示的是直线y=1-x上的点的纵坐标,不是同一个集合;选项D,集合M中的元素是有序数对,而集合N中的元素是1,2两个数,不是同一个集合;选项B,两个集合都表示由2,3这两个元素构成的集合。
3.(2019·江西樟树联考)下列说法中正确的是( )。
A.参加某一次大地震救援的所有国家组成一个集合
B.樟树中学年龄较小的学生组成一个集合
C.{1,2,3}与{2,1,3}是不同的集合
D.由1,0,5,1,2,5组成的集合有六个元素
答案：A
解析：对于B,不满足确定性,故B错误;对于C,根据集合中元素的互异性可得{1,2,3}与{2,1,3}是同一个集合,故C错误;对于D,根据集合中元素的互异性,由1,0,5,1,2,5组成的集合有四个元素。
4.(2019·湖南娄底高一调考)考察下列每组对象,能组成一个集合的是( )。
①某中学高一年级聪明的学生;
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;
③不小于3的正整数;
④3的近似值。
A.①② B.③④ C.②③ D.①③
答案：C
解析：①“某中学高一年级聪明的学生”的标准不确定,因而不能构成集合;②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定,能构成集合;③“不小于3的正整数”的标准确定,能构成集合;④“3的近似值”的标准不确定,不能构成集合。
5.(2019·合肥八中模块测试)下列每组对象能构成一个集合的是( )。
①2022年冬季奥运会的举办城市;②2019年高考数学试卷中所有的难题;③清华大学2019级的新生;④接近0的数的全体;⑤比较小的正整数的全体;⑥平面上到坐标原点O的距离等于1的点的全体。
A.①②⑥ B.①③⑥ C.②④⑤ D.①③④
答案：B
解析：②中“难题”不确定,④中“接近0的数”不确定,⑤中“比较小的正整数”不确定。
6.(2019·湖南长郡中学检测)已知集合A含有两个元素2,-1,集合B含有两个元素m2-m,-1,且集合A与集合B相等,则实数m等于( )。
A.2 B.-1 C.2或-1 D.4
答案：C
解析：由于两个集合相等,因此m2-m=2,解得m=2或m=-1。
考点2 集合中元素的特性
7.(2019·北京四中测试)下列说法正确的是( )。
A.某个班年龄较小的学生组成一个集合
B.由数字1,2,3和3,2,1可以组成两个不同的集合
C.由数字0,12,0.5,-12,sin 30°组成的集合含有3个元素
D.从1,2,3这三个数字中取出一个或两个数字能构成一个集合
答案：D
解析：A中的这组对象是不确定的,因为年龄较小没有明确标准,所以不能构成集合。B中的数字1,2,3与3,2,1只能构成一个集合,因为集合中的元素是无序的。C中的五个数值形式归入同一集合中只有两个元素,故选D。
8.(2019·银川一中测试)已知集合M含1,2,x2三个元素,则x满足( )。
A.x≠1,且x≠2 B.x≠±1
C.x≠±2 D.x≠±1,且x≠±2
答案：D
解析：∵x2≠2,x2≠1,∴x≠±2,x≠±1。即x≠±1,且x=±2。
9.(2019·南昌一中测试)已知集合M中的元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )。
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
答案：D
解析：因为集合中元素具有互异性,所以a,b,c互不相等,因此选D。
10.(2019·西北工大附中单元测评)由实数x,-x,|x|,x2-3x3所组成的集合中最多含有( )。,
A.2个元素 B.3个元素
C.4个元素 D.5个元素
答案：A
解析：∵x2=|x|,-3x3=-x,∴由实数x,-x,|x|,x2,-3x3所组成的集合中最多含有2个元素,故选A。
11.(2019·广东广雅中学单元检测)以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的根为元素的集合中共有 个元素。
答案：3
解析：方程x2-5x+6=0的根是2,3,方程x2-x-2=0的根是-1,2。根据集合中元素的互异性知,以两方程的根为元素的集合中共有3个元素。
12.(2019·西安调考)设x,y,z是非零实数,若a=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|,则以a的值为元素的集合中元素的个数是 。
答案：3
解析：当x,y,z都是正数时,a=4;当x,y,z都是负数时,a=-4;当x,y,z中有1个是正数另2个是负数或有2个是正数另1个是负数时,a=0。所以以a的值为元素的集合中有3个元素。
考点3 元素与集合的关系
13.(2019·海南临高二中月考)下列关系中,正确的有( )。
①72∈R;②2∉Q;③π∈Q;④|-3|∉N;⑤-4∈Z。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：C
解析：72为实数,故①正确;2是无理数,故②正确;由于π是无理数,故③不正确;|-3|=3∈N,故④不正确;-4=-2∈Z,故⑤正确。综上,①②⑤正确。
14.(2019·浙江杭州四中检测)设x=13-52,y=3+2π,集合M={m|m=a+b2,a∈Q,b∈Q},那么x,y与集合M的关系是( )。
A.x∈M,y∈M B.x∈M,y∉M
C.x∉M,y∈M D.x∉M,y∉M
答案：B
解析：x=13-52 =-341-5412,即a=-341,b=-541;y=3+2π,即a=3,b=π,故x∈M,y∉M。
15.(2019·海口中学单元测评)集合A中只含有三个元素2,4,8,若a∈A,且8-a∈A,则a为( )。
A.2 B.4 C.8 D.0
答案：B
解析：若a=2,则8-a=8-2=6∉A;若a=4,则8-a=8-4=4∈A;若a=8,则8-a=8-8=0∉A,故选B。
16.(2019·深圳中学周测)若集合A中只含有元素a,则下列关系正确的是( )。
A.0∈A B.a∈A C.a∉A D.a=A
答案：B
解析：集合A中只含有元素a,则a是集合A中的元素,即a∈A。故选B。
17.(2019·黑龙江大庆中学高一期中)已知3∈{1,a,a-2},则实数a的值为( )。
A.3 B.5 C.3或5 D.无解
答案：B
解析：因为3∈{1,a,a-2},所以a-2=3或a=3。当a-2=3,即a=5时,满足题意;当a=3时,不满足集合中元素的互异性,故舍去。综上可得a的值为5,故选B。
18.(2019·福建闽侯第四中学高一期中)已知集合A={x|x≤10},a=2+3,则a与集合A的关系是( )。
A.a∈A B.a∉A C.a=A D.{a}∈A
答案：A
解析：因为2 +3<10,所以a∈A,故选A。
19.(2019·江苏宿豫中学高一检测)下列命题中正确的个数为 。
①N中最小的元素是1;
②a∈N,则-a∉N;
③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2;
④|-3|∈Q。
答案：D
解析：自然数集中最小的元素是0,故①③不正确;若a∈N,则a是自然数,当a=0时,-a仍为自然数,故②也不正确;3是无理数,故④不正确。
20.(2019·黄冈中学周练)用符号“∈”或“∉”填空。
设集合M中的元素为平行四边形,p表示某个矩形,q表示某个梯形,则p M,q M。
答案：∈ ∉
解析：矩形是平行四边形,梯形不是平行四边形,故p∈M,q∉M。
21.(2019·东北师大附中月考)集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为 。
答案：0或1
解析：因为y=-x2+1≤1,且y∈N,所以y的值为0,1,即集合A中的元素为0,1。又t∈A,所以t=0或1。
22.(2019·宁波效实中学测试)集合A中含有三个元素0,1,x,且x2∈A,则实数x的值为 。
答案：-1
解析：当x=0,1,-1时,都有x2∈A,但考虑到集合中元素的互异性,x≠0,x≠1,故答案为-1。
23.(2019·银川一中单元检测)已知x∈N,且6x+1∈Z,若x的所有取值构成集合M,则集合M中的元素为 。
答案：0,1,2,5
解析：因为x∈N,且6x+1∈Z,则x+1=1,2,3,6,即x=0,1,2,5,所以集合M中的元素是0,1,2,5。
24.(2019·青岛二中检测)已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,则实数a= 。
答案：-32
解析：由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,
所以a=-1或a=-32。
当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故a=-1应舍去。
当a=-32时,a-2=-72,2a2+5a=-3,满足题意,所以a=-32。
25.(2019·湖北枝江一中单元测评)已知方程ax2+2x+1=0,a∈R的根组成集合A。
(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;
答案：A中有且只有一个元素,即ax2+2x+1=0有且只有一个实根或有两个相等的实根。①当a=0时,方程的根为-12;②当a≠0时,由Δ=4-4a=0,得a=1,此时方程的两个相等的根为-1。综上,当a=0时,集合A中的元素为-12;当a=1时,集合A中的元素为-1。
(2)当A中至少有一个元素时,求a满足的条件;
答案：A中至少有一个元素,即方程ax2+2x+1=0有两个不等实根或有两个相等实根或有一个实根。
①当方程有两个不等实根时,a≠0,且Δ=4-4a>0,∴a<1且a≠0;
②当方程有两个相等实根时,a≠0,且Δ=4-4a=0,∴a=1;
③当方程有一个实根时,a=0。故a≤1。
(3)当A中至多有一个元素时,求a满足的条件。
答案：①A中只有一个元素时,a=0或a=1。
②A为空集时,a≠0,Δ<0,
解得a>1。
综上知A中至多有一个元素时,a的取值范围为a≥1,或a=0。
26.(2019·西南师大附中检测)集合A中共有3个元素-4,2a-1,a2,集合B中也共有3个元素9,a-5,1-a,现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值?若能,则求出来;若不能,则说明理由。
答案：解:∵9∈A,∴2a-1=9或a2=9。
若2a-1=9,则a=5,此时A中的元素为-4,9,25;B中的元素为9,0,-4,显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去。
若a2=9,则a=±3,当a=3时,A中的元素为-4,5,9;B中的元素为9,-2,-2,B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去。
当a=-3时,A中的元素为-4,-7,9;B中的元素为9,-8,4,符合题意。
综上所述,能根据已知条件求出实数a的值,且a=-3。
第2课时 集合的表示
考点1 集合的表示方法
1.(2019·福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考)把集合{x|x2-4x+3=0}用列举法表示为( )。
A.{1,3} B.{x|x=1,x=3} C.{x2-4x+3=0} D.{x=1,x=3}
答案：A
解析：解方程x2-4x+3=0得x=1或x=3,用列举法表示解集为{1,3}。
2.(2019·陕西黄陵中学月考)已知集合M={y|y=x2},用自然语言描述M应为( )。
A.满足y=x2的所有函数值y组成的集合
B.满足y=x2的所有自变量x的取值组成的集合
C.函数y=x2图像上的所有点组成的集合
D.以上均不对
答案：A
解析：由于集合M={y|y=x2}的代表元素是y,而y为函数y=x2的函数值,则M为满足y=x2的所有函数值y组成的集合。
3.(2019·北京育才学校期中)集合{x∈N*|x<6}的另一种表示方法是( )。
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
答案：D
解析：N*是非零自然数。
4.(2019·长沙一中月考)将集合(x,y)x+y=5,2x-y=1用列举法表示,正确的是( )。
A.{2,3} B.{(2,3)}
C.{x=2,y=3} D.(2,3)
答案：B
解析：解方程组x+y=5,2x-y=1,得x=2,y=3。所以用列举法表示为{(2,3)}。
5.(2019·贵州铜仁思南中学高一期中)已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,a≠b},则集合N中所有元素之和为( )。
A.-1 B.0
C.1 D.2
答案：A
解析：∵集合M={-1,0,1},∴N={x|x=ab,a,b∈M,a≠b}={-1,0},∴集合N中所有元素之和为-1。
6.(2019·广西桂林第十八中学高一开学考试)已知P={x|2
解析：∵P={x|2
答案：{x|x=2n,n∈N*}
解析：正整数中所有的偶数均能被2整除。
8.(2019·成都七中单元测试)用列举法表示集合A=xxZ,86-xN: 。
答案：{5,4,2,-2}
解析：∵x∈Z,86-x∈N,∴6-x∈{1,2,4,8}。此时x∈{5,4,2,-2},即A={5,4,2,-2}。
9.(教材习题改编)下列六种表示方法:
①{x=1,y=4};
②(x,y)x=1,y=4;
③{1,4};
④(1,4);
⑤{(1,4)};
⑥{x,y|x=1,或y=4}。
其中,能表示“一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合”的是 。
答案：②⑤
解析：①中含两个元素,且都是式子,而方程组的解集中只有一个元素,是一个点;②代表元素是点的形式,且对应值与方程组的解相同;③中含两个元素,是数集,而方程组的解集是点集,且只有一个元素;④没用“{}”括起来,不表示集合;⑤中只含有一个元素,且为点集,与方程组的解集对应;⑥代表元素与方程组的解的一般形式不符,需加小括号,条件中“或”也要改为“且”。
10.(2019·深圳中学检测)用列举法表示集合D=xZ|81+xN为D= 。
答案：{0,1,3,7}
解析：∵81+x∈N,∴81+x=8,或81+x=4,或81+x=2,或81+x=1。∴1+x=1,或1+x=2,或1+x=4,或1+x=8。∴x=0,或x=1,或x=3,或x=7。∴D={0,1,3,7}。
11.(2019·东北育才中学模块测试)已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},若a∈A,a∈B,则a为 。
答案：(2,5)
解析：由题意知,a∈A,a∈B,所以a是方程组y=2x+1,y=x+3的解,解得x=2,y=5。
12.(2019·武汉模块统测)下列各组集合中,满足P=Q的有 (填序号)。
①P={(1,2)},Q={(2,1)};②P={1,2,3},Q={3,1,2};③P={(x,y)|y=x-1,x∈R},Q={y|y=x-1,x∈R}。
答案：②
解析：①中P,Q表示的是不同的点组成的集合;②中P=Q;③中P表示的是点集,Q表示的是数集。
13.(2019·北师大附属实验中学模拟测评)设集合A={2,0,1,3},集合B={x|-x∈A,2-x2∉A},则集合B中所有元素的和为 。
答案：-5
解析：当x=-2,-3时,2-x2=-2,-7,有2-x2∉A;
而当x=0,-1时,2-x2=2,1,有2-x2∈A。
因此,根据集合B的定义可知B={-2,-3}。
所以集合B中所有元素的和为-5。
14.(2019·湖南边城一中单元测评)用适当的方法表示下列集合:
(1)绝对值小于5的全体实数组成的集合;
答案：绝对值小于5的全体实数组成的集合可表示为{x||x|<5}。
(2)所有正方形组成的集合;
答案：所有正方形组成的集合可表示为{正方形}。
(3)除以3余1的所有整数组成的集合;
答案：除以3余1的所有整数组成的集合可表示为{a|a=3x+1,x∈Z}。
(4)构成英文单词mathematics的全体字母。
答案：构成英文单词mathematics的全体字母可表示为{m,a,t,h,e,i,c,s}。
15.(2019·黄冈中学单元测试)完成下列题目。
(1)用描述法表示图1-1-2-1阴影部分(不含边界)的点构成的集合;
图1-1-2-1
答案：{(x,y)|0
答案：解不等式组得1≤x<3,在数轴上表示如图。
考点2 集合的含义与表示与方程的综合问题
16.(2018·河南洛阳期中)已知集合M={x∈R|x2+2ax+1=0},若M中只有一个元素,则a的值是( )。
A.-1 B.0或-1 C.1 D.-1或1
答案：D
解析：集合M中只含有一个元素,也就意味着方程x2+2ax+1=0只有一个解。只需Δ=4a2-4=0,即a=±1。综上所述,a的值为-1或1。
17.(2018·福建南安诗山中学月考)已知方程x2+ax+b=0。
(1)若方程的解集只有一个元素,求实数a,b满足的关系式;
答案：若方程x2+ax+b=0的解集只有一个元素,则方程x2+ax+b=0有两个相等的实数根,故Δ=0,即a2-4b=0。
(2)若方程的解集有两个元素1,3,求实数a,b的值。
答案：若方程的解集有两个元素1,3,则x2+ax+b=0的根为1,3,根据韦达定理得1+3=-a,1×3=b,a2-4b>0,∴a=-4,b=3。
考点3 与集合概念相关的新定义创新题
18.(2018·江西抚州南城县二中月考)定义A-B={x|x∈A且x∉B},若A={1,2,3,4,5},B={2,3,6},则A-(A-B)等于( )。
A.B B.{2,3} C.{1,4,5} D.{6}
答案：B
解析：定义A-B={x|x∈A且x∉B},A={1,2,3,4,5},B={2,3,6},则A-B={1,4,5},A-(A-B)={2,3}。
19.设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}。令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三个条件x
B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S
C.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈S
D.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S
答案：B
解析：方法一:∵(x,y,z)∈S,则x,y,z的大小关系有3种情况,同理,(z,w,x)∈S,则z,w,x的大小关系也有3种情况,如图所示,由图可知x,y,w,z的大小关系有4种可能,符合(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S。故选B。
方法二(特例排除法):不妨令x=2,y=3,z=4,w=1,则(y,z,w)=(3,4,1)∈S,(x,y,w)=(2,3,1)∈S。
20.(2019·华中师大一附中单元测试)定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B},设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )。
A.0 B.2 C.3 D.6
答案：D
解析：∵z=xy,x∈A,y∈B,
∴z的取值有1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4,
∴A*B={0,2,4},
故集合A*B的所有元素之和为0+2+4=6。
21.(2019·枣庄滕州一中单元检测)集合G关于运算满足:(1)对任意的a,b∈G,都有ab∈G;(2)存在e∈G,对任意a∈G,都有ae=ea=a,则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算:
①G={非负整数},为整数的加法;
②G={偶数},为整数的乘法;
③G={二次三项式},为多项式的加法。
其中G关于运算为“融洽集”的是 。(写出所有“融洽集”的序号)
答案：①
解析：根据题意,判断给出的集合对运算?是否满足条件(1)(2)即可。其中,条件(1)的含义是:集合G中任意两个元素关于运算的结果仍然是集合G的元素;条件(2)的含义是:集合G中存在一个特殊元素e,它与G中任何一个元素a关于运算满足交换律,且运算结果依然等于a本身。
①G={非负整数},为整数的加法,满足对任意a,b∈G,都有ab∈G,且存在e=0,使得a0=0a=a,
∴①符合要求;
②G={偶数},为整数的乘法,若存在ae=ea=a,则e=1,与e∈G矛盾,
∴②不符合要求;
③G={二次三项式},为多项式的加法,两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式,
∴③不符合要求。综上可知,G关于运算?为“融洽集”的只有①。
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