数学八年级上册第十一章 三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.2 三角形的高、中线与角平分线教学设计及反思

11．2　与三角形有关的角

11．2.1　三角形的内角

第1课时　三角形的内角和定理

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解“三角形三个内角的和等于180°”．

2．能运用三角形内角和定理进行计算．

【过程与方法】

通过测量、猜想、推理等数学活动，探索三角形的内角和，感受数学思考过程的条理性，发展合情推理能力和语言表达能力．

【情感态度与价值观】

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．

二、重难点目标

【教学重点】

三角形内角和定理．

【教学难点】

三角形内角和定理的推导、验证．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P11～P13的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形的内角和．

图1　　　　图2

图1：30°＋60°＋90°＝180°；

图2：45°＋45°＋90°＝180°.

2．探索任意三角形的内角和都为180°.

(1)在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．

(2)动手把一个三角形的两个角剪下，拼在第三个角的顶点处，如图．用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.

(3)把∠B和∠C剪下拼在一起，如图．用量角器量一量∠MAN的度数，可得到∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.

(4)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

3．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C＝40°.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

(方法一)分析与解答过程见教材P12～P13.

(方法二)【互动探索】(引发学生思考)过点C作AD的垂线，求∠ACB的度数可转化为利用平角为180°来求解．

【解答】∠ABC的求法同“方法一”．

如图，过点C作CF⊥AD，则CH⊥BE.

∵∠ACF＝180°－∠DAC－∠AFC＝180°－50°－90°＝40°，∠BCH＝180°－∠CBH－∠CHB＝180°－40°－90°＝50°，

∴∠ACB＝180°－∠ACF－∠BCH＝180°－40°－50°＝90°.

故从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°.从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.

【例2】如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于点F，交AC于点E.若∠A＝46°，∠D＝50°，求∠ACB的度数．

【互动探索】(引发学生思考)DF⊥AB，∠D＝50°→得∠B的度数，结合∠A＝46°→得∠ACB的度数(三角形内角和定理)．

【解答】∵DF⊥AB，

∴∠DFB＝90°.

∵∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，

∴∠B＝40°.

又∵∠A＝46°，

∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角形的内角，一般要用到三角形内角和定理．解决问题时，要根据图形特点，在不同的三角形中灵活运用三角形内角和定理求解．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°.

2．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，则这三个内角的度数分别为20°，60°，100°.

3．已知△ABC中，DE∥BC，∠AED＝50°，CD平分∠ACB，求∠CDE的度数．

解：∵DE∥BC，∠AED＝50°，

∴∠ACB＝∠AED＝50°.

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD＝∠ACB＝25°.

又∵DE∥BC，

∴∠CDE＝∠BCD＝25°.

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

请完成本课时对应练习！

第2课时　直角三角形的两锐角互余

一、基本目标

【知识与技能】

理解并掌握直角三角形的两锐角互余及其逆定理．

【过程与方法】

通过三角形的内角和定理推导出直角三角形的两锐角互余．

【情感态度与价值观】

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．

二、重难点目标

【教学重点】

直角三角形的两锐角互余．

【教学难点】

判断三角形是直角三角形的方法．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P13～P14的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°.

2．直角三角形的两个锐角互余.

3．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.

4．由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形．

5．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于70°.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，DF⊥AB，∠A＝40°，∠D＝43°，则∠ACD的度数是________.

【互动探索】(引发学生思考)DF⊥AB，∠A＝40°→∠AEF＝50°(直角三角形的两个锐角互余)→∠CED＝50°(对顶角相等)，结合∠D＝43°→∠ACD＝87°(三角形内角和定理)．

【答案】87°

【互动总结】(学生总结，老师点评)“直角三角形的两个锐角互余”常常和三角形内角和定理综合起来求角的度数．

【例2】在△ABC中，如果∠A＝∠B＝∠C，那么△ABC是什么三角形？

【互动探索】(引发学生思考)分析法：要判断三角形的形状，应从三角形的边或角入手→已知∠A、∠B、∠C的数量关系→△ABC各内角的度数→△ABC的形状．

【解答】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x.

根据题意，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.

∴∠A＝30°，∠B＝60°，

∴△ABC是直角三角形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)已知三角形内角的数量关系，可以利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”判断三角形的形状．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是(　B　)

A．锐角三角形　 B．直角三角形

C．钝角三角形　 D．等腰三角形

2．如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，则∠A＝52°.

3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B，∠2＝∠3，则图中共有5个直角三角形．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．直角三角形的两个锐角互余．

2．有两个角互余的三角形是直角三角形．

请完成本课时对应练习！

11.2.2　三角形的外角(第3课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．三角形的外角的定义和性质．

2．能利用三角形的外角性质解决问题．

【过程与方法】

通过合作研究三角形的内、外角之间的关系，提高学生的合作意识和沟通、表达能力．

【情感态度与价值观】

通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学方法，培养主动探索、勇于发现、敢于实践及合作交流的习惯．

二、重难点目标

【教学重点】

与三角形的外角有关的性质．

【教学难点】

三角形外角性质的推导．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P14～P15的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

2．试结合图形写出证明过程：

证明：过点C作CM∥AB，延长BC到点D，

则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，

∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等)，

所以∠1＋∠2＝∠A＋∠B，

即∠ACD＝∠A＋∠B.

3．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

4．△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝120°.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？

(方法一)见教材P15解答过程．

(方法二)【互动探索】(引发学生思考)考虑利用平角的性质与三角形的内角和定理求解．

【解答】∵∠BAE＝180°－∠1，∠CBF＝180°－∠2，∠ACD＝180°－∠3，

∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝180°－∠1＋180°－∠2＋180°－∠3＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)＝540°－180°＝360°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)由此题可以得出：任意三角形的外角和都等于360°.(2)拓展：任意多边形的外角和都等于360°(同学们可自行进行证明)．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于(　B　)

A．120°  B．105°

C．60°  D．45°

2．求下列各图中∠1的度数．

解：左图：∠1＝90°；中图：∠1＝80°；右图：∠1＝95°.

3．求下列各图中∠1和∠2的度数．

解：左图：∠1＝60°，∠2＝30°；右图：∠1＝50°，∠2＝140°.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．

【互动探索】∠A与已知角不在同一个三角形内→考虑作辅助线→利用三角形外角的性质求解．

【解答】延长BP交AC于点E，则∠BPC、∠PEC分别为△PCE、△ABE的外角．

∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，

∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°，

∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题的一般方法是作辅助线，利用三角形外角的性质将已知与未知的角联系起来计算角的度数．此题也可以延长CP与AB相交，还可以连结AP并延长与BC相交，同学们可以自己尝试另外两种解法．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

请完成本课时对应练习！