初中数学浙教版九年级上册第1章 二次函数综合与测试单元测试巩固练习

这是一份初中数学浙教版九年级上册第1章 二次函数综合与测试单元测试巩固练习，共21页。试卷主要包含了min，有下列结论等内容，欢迎下载使用。
1．（2020秋•沂水县期末）抛物线y＝2x2﹣5x+1的对称轴是直线（ ）
A．x＝B．x＝C．x＝﹣D．x＝﹣
2．（2021•滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2020•广陵区二模）在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
则m、n的大小关系为（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．无法确定
4．（2020秋•大理市期末）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.4x﹣2，则最佳加工时间为（ ）min．
A．2B．5C．2或5D．3.5
5．（2021•锦江区模拟）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的大致图象可以是（ ）
A．B． C．D．
6．（2021•黔东南州）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2020秋•宁德期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（0，3）．若该抛物线的顶点在第一象限，记m＝a+b+c，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1B．0＜m＜3C．0＜m＜6D．3＜m＜6
8．（2021•碑林区校级模拟）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（ ）
A．x1＜m＜n＜x2B．m＜x1＜x2＜nC．m＜x1＜n＜x2D．x1＜m＜x2＜n
9．（2020春•西湖区校级月考）对于二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3．下列说法正确的是（ ）
①对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点；
②该函数图象与x轴必有交点；
③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；
④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝﹣1．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
10．（2021春•九龙坡区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（1，m），且与x轴的一个交点为（3，0），与y轴的交点在（0，﹣1）和（0，﹣2）之间（不包括这两个点）有下列结论：
①abc＜0；②不等式y＜0的解集为﹣1＜x＜3；③＜a＜；④c＝m+；⑤b2﹣4ac＝16a2．正确的结论有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2020秋•云县校级期末）二次函数y＝2x2﹣2x的顶点坐标为 ．
12．（2020秋•乳山市期末）二次函数y＝x2﹣2x﹣3（3≤x≤6）的最小值是 ．
13．（2021•绵竹市模拟）函数y＝ax2+bx+c的三项系数分别为a、b、c，则定义[a，b，c]为该函数的“特征数”．如：函数y＝x2+3x﹣2的“特征数”是[1，3，﹣2]，函数y＝﹣x+4的“特征数”是[0，﹣1，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图象向左平移3个单位，得到一个新的函数图象，那么这个新图象相应的函数表达式是 ．
14．（2020秋•兴隆台区期末）抛物线y＝ax2+a﹣2与x轴有两个交点，且当x＞0时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ．
15．（2020•武汉模拟）抛物线经过原点O，还经过A（2，m），B（4，m），若△AOB的面积为4，则抛物线的解析式为 ．
16．（2020•复兴区二模）如图，一段抛物线：y＝x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，直至得C10．
（1）请写出抛物线C4的解析式： ；
（2）若P（19，a）在第10段抛物线C10上，则a＝ ．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）（2021•宁波模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），且二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，4），点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
18．（8分）（2020秋•长春期末）如图为抛物线y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系上的图象，回答下列问题：
（1）关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是 ；
（2）关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ；
（3）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有实数根，则k的取值范围是 ．
19．（8分）（2020秋•兴隆台区期末）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+6．
（1）请用配方法将y＝﹣2x2+4x+6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出对称轴和顶点的坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出y＝﹣2x2+4x+6的图象；
（3）如果该抛物线沿x轴向左或向右平移m（m＞0）个单位后经过原点，求m的值；
（4）当0≤x≤4时，求y的取值范围．
20．（10分）（2021•工业园区一模）我们把抛物线上横、纵坐标之和为零的点叫做这条抛物线的“和谐点”（原点除外）．
（1）已知抛物线y＝﹣x2+2x，求其顶点A及“和谐点”B的坐标；
（2）平移抛物线y＝﹣x2+2x，若所得新抛物线经过点B，且顶点D是新抛物线的“和谐点”，求新抛物线的表达式．
21．（10分）（2020秋•巩义市期末）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青眯，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可售出100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若销售期间保证销售单价不低于成本单价且每条获利不高60%，设该网店每月获得的利润为W元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”在销售单价不低于成本单价且每条获利不高于60%的前提下，该网店店主决定每月从利润中捐出1000元用于抗疫．为了保证捐款后每月利润不低于3000元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
22．（12分）（2020秋•卧龙区期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B（﹣3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点O和点C的距离之和最小，求出此时点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．
23．（12分）（2020秋•拱墅区期末）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a，b是实数，a≠0）．
（1）判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x＝1，A（x1，y1），B（x2，y2）为函数y图象上的任意两点，其中x1＜x2，求当x1，x2为何值时，y1＝y2＝5a；
（3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点（1，1），当a＜b时，求2a+b的取值范围．
答案与解析
一．选择题
1．（2020秋•沂水县期末）抛物线y＝2x2﹣5x+1的对称轴是直线（ ）
A．x＝B．x＝C．x＝﹣D．x＝﹣
【解析】解：在y＝2x2﹣5x+1中，a＝2，b＝﹣5，
∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝，
故选：B．
2．（2021•滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，
∴该函数的对称轴为直线x＝6，函数图象开口向上，
当5＜x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y随x的增大而增大，故①不符合题意；
当x＝6时，y有最小值3，故②符合题意；
当y＝0时，无实数根，即图象与x轴无交点，故③不符合题意；
图象是由抛物线y＝x2向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，故④不符合题意；
故正确的是②，正确的个数是1，
故选：A．
3．（2020•广陵区二模）在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
则m、n的大小关系为（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．无法确定
【解析】解：把x＝1，y＝2和x＝﹣1，y＝﹣2都代入y＝﹣x2+bx+c中，得
解得，，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+1，
把x＝2，y＝m和x＝3，y＝n代入y＝﹣x2+2x+1得，
m＝﹣4+4+1＝1，
n＝﹣9+6+1＝﹣2，
∴m＞n，
故选：A．
4．（2020秋•大理市期末）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.4x﹣2，则最佳加工时间为（ ）min．
A．2B．5C．2或5D．3.5
【解析】解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.4x﹣2，
当x＝﹣＝﹣＝3.5时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.5min．
故选：D．
5．（2021•锦江区模拟）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的大致图象可以是（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：A、由直线可知，图象与y轴交于负半轴，b＜0，由抛物线可知，开口向上，b＞0矛盾，故此选项错误；
B、由抛物线可知，图象与y轴交于正半轴a＞0，二次项系数b为负数，与一次函数y＝ax+b中b＞0矛盾，故此选项错误；
C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，二，三象限，a＞0，故此选项错误；D、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，二，四象限a＜0，故此选项正确；
故选：D．
6．（2021•黔东南州）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】解：如图所示，
过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），
∴OB＝2，OA＝1，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA•AD＝1×2＝2．
故选：B．
7．（2020秋•宁德期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（0，3）．若该抛物线的顶点在第一象限，记m＝a+b+c，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1B．0＜m＜3C．0＜m＜6D．3＜m＜6
【解析】解：将A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得：，
∴m＝a+b+c＝a+（a+3）+3＝2a+6，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3，
∵抛物线的顶点在第一象限，
∴＞0①且＞0②，
由②得＞0，
∵（a﹣3）2≥0，
∴4a＜0，即a＜0，
由a＜0，＞0可得a+3＞0，
∴a＞﹣3，
∴a的范围是﹣3＜a＜0，
∴0＜2a+6＜6，即0＜m＜6，
故选：C．
8．（2021•碑林区校级模拟）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（ ）
A．x1＜m＜n＜x2B．m＜x1＜x2＜nC．m＜x1＜n＜x2D．x1＜m＜x2＜n
【解析】解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，
而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，
即函数y′向上平移1个单位得到函数y，
则两个函数的图象如下图所示（省略了y轴），
从图象看，x1＜m＜n＜x2，
故选：A．
9．（2020春•西湖区校级月考）对于二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3．下列说法正确的是（ ）
①对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点；
②该函数图象与x轴必有交点；
③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；
④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝﹣1．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【解析】解：∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x﹣3），
∴对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点，故①正确；
对于任何满足条件的k，该二次函数中当x＝3时，y＝0，即该函数图象与x轴必有交点，故②正确；
∵二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3的对称轴是直线x＝＝2+，
∴若k＜0，则2+＜2，该函数图象开口向下，
∴若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小，故③正确；
∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x﹣3），
∴当y＝0时，x1＝+1，x2＝3，
∴若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝±1，故④错误；
故选：A．
10．（2021春•九龙坡区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（1，m），且与x轴的一个交点为（3，0），与y轴的交点在（0，﹣1）和（0，﹣2）之间（不包括这两个点）有下列结论：
①abc＜0；②不等式y＜0的解集为﹣1＜x＜3；③＜a＜；④c＝m+；⑤b2﹣4ac＝16a2．正确的结论有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【解析】解：∵开口向上、对称轴为直线x＝1、与y轴的交点在y轴负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故①不符合题意；
∵抛物线过点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的两个交点为：（3，0），（﹣1，0），
∴不等式y＜0的解集为﹣1＜x＜3，故②符合题意；
∵抛物线与x轴的两个交点为：（3，0），（﹣1，0），
∴y＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax﹣3a＝ax2+bx+c，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣1）和（0，﹣2）之间（不包括这两个点），
∴﹣2＜c＜﹣1，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＜a＜，故③符合题意；
当x＝1时，y＝﹣4a＝m，
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴b2﹣4ac＝4a2+12a2＝16a2＝（﹣4a）2＝﹣4am，
∴c＝m+，故④符合题意；⑤符合题意．
∴正确的结论有②③④⑤四个．
故选：A．
二．填空题
11．（2020秋•云县校级期末）二次函数y＝2x2﹣2x的顶点坐标为 （，﹣） ．
【解析】解：∵二次函数y＝2x2﹣2x＝2（x2﹣x）＝2（x﹣）2﹣，
∴二次函数y＝2x2﹣2x的顶点坐标为（，﹣），
故答案为：（，﹣）．
12．（2020秋•乳山市期末）二次函数y＝x2﹣2x﹣3（3≤x≤6）的最小值是 0 ．
【解析】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为x＝1，
∵3≤x≤6时，y随x的增大而增大，
∴x＝3时，有最小值，y最小值＝22﹣4＝0；
故答案为：0．
13．（2021•绵竹市模拟）函数y＝ax2+bx+c的三项系数分别为a、b、c，则定义[a，b，c]为该函数的“特征数”．如：函数y＝x2+3x﹣2的“特征数”是[1，3，﹣2]，函数y＝﹣x+4的“特征数”是[0，﹣1，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图象向左平移3个单位，得到一个新的函数图象，那么这个新图象相应的函数表达式是 y＝2（x+3）2+4 ．
【解析】解：∵“特征数”是[2，0，4]，
∴函数解析式为y＝2x2+4，
∴函数的顶点坐标为（0，4），
∵函数图象向左平移3个单位，
∴得到的新的函数图象的顶点坐标为（﹣3，4），
∴函数表达式为y＝2（x+3）2+4．
故答案为：y＝2（x+3）2+4．
14．（2020秋•兴隆台区期末）抛物线y＝ax2+a﹣2与x轴有两个交点，且当x＞0时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 a＞0 ．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+a﹣2与x轴有两个交点，
∴Δ＝a2﹣4a×（﹣2）＝a2+8a＞0，
∴a＞0或a＜﹣8，
由抛物线y＝ax2+a﹣2可知，抛物线对称轴为直线：x＝﹣，
又当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，即a＞0，
综上，a的取值范围为a＞0．
故答案为：a＞0．
15．（2020•武汉模拟）抛物线经过原点O，还经过A（2，m），B（4，m），若△AOB的面积为4，则抛物线的解析式为 y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x ．
【解析】解：∵抛物线经过A（2，m），B（4，m），
∴对称轴是：x＝3，AB＝2，
∵△AOB的面积为4，
∴AB•|m|＝4，
m＝±4，
当m＝4时，A（2，4），B（4，4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，
把（0，0）和（2，4）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，即y＝﹣x2+3x；
当m＝﹣4时，A（2，﹣4），B（4，﹣4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，
把（0，0）和（2，﹣4）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣＝x2﹣3x；
综上所述，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x，
故答案为y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x．
16．（2020•复兴区二模）如图，一段抛物线：y＝x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，直至得C10．
（1）请写出抛物线C4的解析式： y＝﹣（x﹣6）（x﹣8） ；
（2）若P（19，a）在第10段抛物线C10上，则a＝ 1 ．
【解析】解：（1）∵一段抛物线：y＝x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，
∴C1，过（0，0），（2，0）两点，
∴抛物线C2的解析式二次项系数为：﹣1，且过点（2，0），（4，0），抛物线C3的解析式二次项系数为：1，且过点（4，0），（6，0），抛物线C4的解析式二次项系数为：﹣1，且过点（6，0），（8，0），
∴抛物线C4的解析式为y＝﹣（x﹣6）（x﹣8）；
故答案为：y＝﹣（x﹣6）（x﹣8）；
（2）∵一段抛物线：y＝x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（2，0），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C10．
∴C10与x轴的交点坐标为（18，0），（20，0），且图象在x轴上方，
∴C10的解析式为：y10＝﹣（x﹣18）（x﹣20），
把（19，a）代入得，a＝﹣（19﹣18）×（19﹣20）＝1．
故答案为：1．
三．解答题
17．（2021•宁波模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），且二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，4），点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【解析】解：（1）设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+4，
把点C（0，3）代入，得3＝a+4，解得a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，
当y＝0时，解得x＝1或x＝﹣3，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）；
（2）∵点C，D是抛物线上的一对对称点，C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，
∴D（﹣2，3），
由图象可知，使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围x＜﹣2或x＞1．
18．（2020秋•长春期末）如图为抛物线y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系上的图象，回答下列问题：
（1）关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是 x＝0或x＝2 ；
（2）关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是 0＜x＜2 ；
（3）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣1 ．
【解析】解：（1）∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（0，0）和（2，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x＝0或x＝2，
故答案为x＝0或x＝2；
（2）由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0解集为0＜x＜2，
故答案为0＜x＜2；
（3）关于x的方程ax2+bx+c＝k有实数根，相当于抛物线与y＝k有一个或两个不同的交点，
∴k≥﹣1，
故答案为k≥﹣1．
19．（2020秋•兴隆台区期末）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+6．
（1）请用配方法将y＝﹣2x2+4x+6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出对称轴和顶点的坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出y＝﹣2x2+4x+6的图象；
（3）如果该抛物线沿x轴向左或向右平移m（m＞0）个单位后经过原点，求m的值；
（4）当0≤x≤4时，求y的取值范围．
【解析】解：（1）由题意可得：y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，
对称轴为：直线x＝1，顶点坐标为：（1，8）；
（2）如图所示：
（3）由图象可知，抛物线沿x轴向左平移3个单位或向右平移1个单位后经过原点，
∴m＝3或1；
（4）当0≤x≤4时，
当x＝1，y＝8，当x＝4，y＝﹣10，
则y的取值范围为：﹣10≤y≤8．
20．（2021•工业园区一模）我们把抛物线上横、纵坐标之和为零的点叫做这条抛物线的“和谐点”（原点除外）．
（1）已知抛物线y＝﹣x2+2x，求其顶点A及“和谐点”B的坐标；
（2）平移抛物线y＝﹣x2+2x，若所得新抛物线经过点B，且顶点D是新抛物线的“和谐点”，求新抛物线的表达式．
【解析】解：（1）∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴抛物线y＝﹣x2+2x的顶点A为（1，1），
设抛物线y＝﹣x2+2x的“和谐点”的坐标（t，﹣t），
则﹣t＝﹣t2+2t，
∴t＝0或t＝3，
∴抛物线的y＝﹣x2+2x“和谐点”B为（3，﹣3）；
（2）根据题意设D（m，﹣m），
∴新抛物线为y＝﹣（x﹣m）2﹣m，
∵新抛物线经过点B，
∴﹣3＝﹣（3﹣m）2﹣m，
解得m＝2或3，
∴新抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2﹣2或y＝﹣（x﹣3）2﹣3．
21．（2020秋•巩义市期末）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青眯，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可售出100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若销售期间保证销售单价不低于成本单价且每条获利不高60%，设该网店每月获得的利润为W元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”在销售单价不低于成本单价且每条获利不高于60%的前提下，该网店店主决定每月从利润中捐出1000元用于抗疫．为了保证捐款后每月利润不低于3000元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【解析】解：（1）根据题意得：
y＝100+5（80﹣x）＝﹣5x+500；
（2）根据题意得：
W＝y（x﹣40）＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜70时，W随x的增大而增大，
∵每件单价不低于成本单价且每条获利不高于60%，
∴40×（1+60%）＝64，
∴40≤x≤64，
∴当x＝64时，W有最大值，最大值为4320．
答：当每条售价为64元时，每月获得利润最大，最大利润为4320元；
（3）根据题意得：
W≥3000+1000，即﹣5（x﹣70）2+4500≥3000+1000，
解方程﹣5（x﹣70）2+4500＝3000+1000，得x1＝60，x2＝80，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，
∴60≤x≤80，
∵销售单价不低于成本单价且每条获利不高于60%，
∴40≤x≤64，
∴60≤x≤64时，符合该网店要求，
∵为了让顾客得到最大实惠，
∴x＝60．
∴销售单价定为60元．
22．（2020秋•卧龙区期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B（﹣3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点O和点C的距离之和最小，求出此时点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．
【解析】解：（1）把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c中，
得 ，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，
作点C（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点D（﹣2，3），如图，
设直线OD表达式为y＝kx，代入点D，3＝﹣2k，
解得k＝﹣，
∴直线OD的解析式为：．
当x＝﹣1时，．
∴M（﹣1，）；
（3）设P点坐标为（﹣1，m），
∵B（﹣3，0）、C（0，3），
∴BC2＝（﹣3﹣0）2+（0﹣3）2＝18，BP2＝（﹣3+1）2+（0﹣m）2＝4+m2，CP2＝（0+1）2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10，
①当∠BPC＝90°时，PB2+PC2＝BC2，
即4+m2+m2﹣6m+10＝18，
解得：，；
②当∠BCP＝90°时，CB2+CP2＝BP2，
即18+m2﹣6m+10＝4+m2，
解得 P3（﹣1，4）；
③当∠PBC＝90°时，BC2+BP2＝PC2，
即18+4+m2＝m2﹣6m+10，
解得P4（﹣1，﹣2），
综上所述，，，P3（﹣1，4），P4（﹣1，﹣2）时，△BPC为直角三角形．
23．（2020秋•拱墅区期末）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a，b是实数，a≠0）．
（1）判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x＝1，A（x1，y1），B（x2，y2）为函数y图象上的任意两点，其中x1＜x2，求当x1，x2为何值时，y1＝y2＝5a；
（3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点（1，1），当a＜b时，求2a+b的取值范围．
【解析】解：（1）△＝b2﹣4a（﹣3a）＝b2+12a2＞0，且a≠0，
故函数图象与x轴的交点个数为2；
（2）∵x＝1＝﹣，则b＝﹣2a，
则抛物线表达式为y＝ax2+bx﹣3a＝ax2﹣2ax﹣3a，
当y1＝y2＝5a时，即y＝ax2﹣2ax﹣3a＝5a，
解得x＝4或﹣2，
则x1＝﹣2，x2＝4；
（3）将（1，1）代入抛物线表达式得：1＝a+b﹣3a，则b＝2a+1，
∵a＜b，故a＜2a+1，解得a＞﹣1，
则抛物线的表达式为y＝y＝ax2+（2a+1）x﹣3a，
由（1）知，函数图象与x轴的交点个数为2且图象的顶点在第二象限，
则抛物线开口向下，即a＜0，
则函数的对称轴x＝﹣＝﹣＜0，
解得a＜﹣，
故﹣1＜a＜﹣，
故﹣3＜4a+1＜﹣1，
，即2a+b的取值范围：﹣3＜2a+b＜﹣1．
x
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
y
﹣14
﹣7
﹣2
2
m
n
﹣7
﹣14
x
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
y
﹣14
﹣7
﹣2
2
m
n
﹣7
﹣14