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浙教版九年级上册第1章 二次函数综合与测试单元测试课后测评
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这是一份浙教版九年级上册第1章 二次函数综合与测试单元测试课后测评，共17页。试卷主要包含了抛物线y＝，抛物线y＝2，已知A，已知二次函数y＝等内容，欢迎下载使用。
满分120分
班级：__________姓名：__________学号：__________成绩：__________
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝C．y＝3x2+x﹣1D．y＝2x2+
2．抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）
3．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向上
B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线对称轴左侧部分是下降的
D．抛物线顶点到x轴的距离是2
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x的部分取值和对应函数值y如表：
则在实数范围内能使得y﹣3＞0成立的x取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜﹣1C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3
5．抛物线y＝2（x﹣2）2+5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x＝2B．x＝﹣1C．x＝5D．x＝0
6．如图，抛物线y＝x2+2x﹣1与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，则线段CD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．
7．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．已知A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y3＞y2＞y1D．y2＞y1＞y3
9．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝7.9（1+2x） B．y＝7.9（1﹣x）2
C．y＝7.9（1+x）2 D．y＝7.9+7.9（1+x）+7.9（1+x）2
10．已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（ ）
A．0B．﹣1C．﹣D．﹣
11．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A．23.5mB．22.5mC．21.5mD．20.5m
12．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c的一个根．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
13．如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数，那么m＝ ．
14．二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），则m的值为 ．
15．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ．
16．二次函数y＝x2﹣16x﹣8的最小值是 ．
17．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
18．若二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
则它的图象与x轴的两个交点横坐标的和为 ．
19．若二次函数y＝ax2﹣bx﹣1的图象经过点（2，1），则2020﹣2a+b＝ ．
20．已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）．则下列说法正确的有： ．（填序号）
①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5）；
②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：＜m＜2；
③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m﹣5；
④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1、x2满足﹣3＜x1＜2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：＜m＜11．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（7分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
22．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3．
（1）该抛物线的对称轴是 ；
（2）选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
（3）根据函数的图象，直接写出不等式﹣x2+2x+3＞0的解．
23．（7分）已知抛物线L：y＝﹣ax2+2ax+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将抛物线L沿x轴翻折后得到的新抛物线记为L'，且记L和L'的顶点分别记为M、M'，要使点A、B、M、M'为顶点的四边形是正方形，请求抛物线L的解析式．
24．（7分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
25．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
26．（9分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）当点Q与点M重合时，求m的值．
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．解：A．y＝3x﹣1是一次函数，不符合题意；
B．y＝中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
C．y＝3x2+x﹣1是二次函数，符合题意；
D．y＝2x2+中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
故选：C．
2．解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（3，﹣5），
故选：C．
3．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），
在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴A、B、C不正确；
∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，
∴D正确，
故选：D．
4．解：由表格可知，
该二次函数的对称轴是直线x＝＝1，函数图象开口向上，
故y﹣3＞0成立的x的取值范围是x＜﹣1或x＞3，
故选：D．
5．解：抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标为（1，5），抛物线y＝2（x﹣1）2+5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到顶点的对应点的坐标为（﹣1，3），
所以平移的抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
故选：B．
6．解：函数的对称轴为直线x＝﹣1，
∵CD∥AB，
∴CD＝1×2＝2，
故选：A．
7．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项正确；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误．
故选：B．
8．解：把x1＝0，x2＝1，x3＝4分别代入y＝x2﹣3x得，y1＝0，y2＝﹣2，y3＝4，
∴y3＞y1＞y2，
故选：B．
9．解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y＝7.9（1+x）2．
故选：C．
10．解：∵二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，
则，
解得：a＝﹣2，
则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0为﹣4x2+1＝0，
则两根之积为，
故选：D．
11．解：由题意可得，
h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，
故选：C．
12．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣a＝0，
∵c＞0，
∴a+b+c＞0，所以②错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以③错误；
∵A（﹣c，0），对称轴为直线x＝1，
∴B（2+c，0），
∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确；
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
13．解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数，
∴m2﹣m＝2，
（m﹣2）（m+1）＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣1，
∵m+1≠0，
∴m≠﹣1，
故m＝2．
故答案为：2．
14．解：∵根二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），
∴5﹣m2＝4，
解得m＝±1．
故答案为±1．
15．解：抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．
故答案为：y＝x2+3．
16．解：y＝x2﹣16x﹣8＝（x﹣8）2﹣72，
由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣72，
故答案为：﹣72．
17．解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，
∴△＝4﹣4×（﹣1）•k＞0，
解得：k＞﹣1，
故答案为：k＞﹣1．
18．解：从表格看，函数的对称轴为x＝2，
根据点的对称性，x＝0，y＝0，则x＝4时，y＝0，
即图象和x轴的两个交点的横坐标为0、4，
则图象与x轴的两个交点横坐标的和为0+4＝4，
故答案为4．
19．解：∵二次函数y＝ax2﹣bx﹣1的图象经过点（2，1），
∴4a﹣2b﹣1＝1，
∴2a﹣b＝1，
∵2020﹣2a+b＝2020﹣1＝2019，
故答案为2019．
20．解：①y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3＝m（x+1）2﹣2x2﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣5，故该函数图象一定过定点（﹣1，﹣5），故①正确；
②若该函数图象开口向下，则m﹣2＜0，且△＞0，
△＝b2﹣4ac＝20m﹣24＞0，解得：m＞，且m＜2，故m的取值范围为：＜m＜2，故②正确；
③当m＞2，函数的对称轴在y轴左侧，当1≤x≤2时，y的最大值在x＝2处取得，故y的最大为：（m﹣2）×4+2m×4+m﹣3＝9m﹣11，故③错误；
④当m＞2，x＝﹣3时，y＝9（m﹣2）﹣6m+m﹣3＝4m﹣21，当x＝﹣2时，y＝m﹣11，当﹣3＜x1＜﹣2时，则（4m﹣21）（m﹣11）＜0，解得：＜m＜11；
同理﹣1＜x2＜0时，m＞3，故m的取值范围为：＜m＜11正确，故④正确；
故答案为①②④．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解；（1）根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∵a＞0，
∴当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．
22．解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1；
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0；
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3；
当x＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝4；
当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝3；
当x＝3时，y＝﹣x2+2x+3＝0；
故答案为直线x＝1；﹣1，0，1，2，3；0，3，4，3，0；
如图，
（3）当﹣1＜x＜3时，y＞0，
所以不等式﹣x2+2x+3＞0的解集为﹣1＜x＜3、
23．解：（1）∵抛物线L：y＝﹣ax2+2ax+c的对称轴为x＝﹣＝1，且AB＝4，
∴OB＝3，OA＝1，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
（2）∵点A、B、M、M'为顶点的四边形是正方形，
∴MM′＝AB＝4，
∴||＝2，即|c+a|＝2，
当c+a＝2时，c＝2﹣a，
∴抛物线L为：y＝﹣ax2+2ax+2﹣a，
代入A（﹣1，0）得，﹣a﹣2a+2﹣a＝0，解得a＝，c＝，
∴抛物线L的解析式为：y＝﹣x2+x+；
当c+a＝﹣2时，c＝﹣2﹣a，
∴抛物线L为：y＝﹣ax2+2ax﹣2﹣a，
代入A（﹣1，0）得，﹣a﹣2a﹣2﹣a＝0，解得a＝﹣，c＝﹣，
∴抛物线L解析式为：y＝x2﹣x﹣，
综上，抛物线L的解析式为y＝﹣x2+x+或y＝x2﹣x﹣．
24．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+170；
（2）W＝（x﹣90）（﹣x+170）
＝﹣x2+260x﹣15300，
∵W＝﹣x2+260x﹣15300＝﹣（x﹣130）2+1600，
而a＝﹣1＜0，
∴当x＝130时，W有最大值1600．
答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．
25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；
（2）∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线y＝﹣x2+x，
∴﹣＜0，即y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2；
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴0＜n＜，
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得：，
∴不等式组无解，
综上所述：0＜n＜．
26．解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵点B（3，0），点C（0，3），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，
如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，
设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），
∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵S△PBC＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S△PBC有最大值，
∴点P（，）；
（3）存在N满足条件，
理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，
∴点A（﹣1，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M为（1，4），
∵点M为（1，4），点C（0，3），
∴直线MC的解析式为：y＝﹣x+3，
如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，
∴点E（﹣3，0），
∴DE＝4＝MD，
∴∠NMQ＝45°，
∵NQ⊥MC，
∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，
∴MQ＝NQ，
∴MQ＝NQ＝MN，
设点N（1，n），
∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，
∴NQ＝AN，
∴NQ2＝AN2，
∴（MN）2＝AN2，
∴（|4﹣n|）2＝4+n2，
∴n2+8n﹣8＝0，
∴n＝﹣4±2，
∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
27．解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，
解得b＝1．
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，
∴P（m，﹣m2+m+），
∵M，Q重合，
∴﹣m+＝﹣m2+m+，
解得m＝0或4．
（3）由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，
∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+）且﹣m+＞2，得m＜﹣
解得m＝1﹣或1+（不合题意舍弃），
∴m＝1﹣．
（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
则有﹣m+＜﹣m2+m+，
∴m2﹣4m＜0，
解得0＜m＜4，
观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，
当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，
当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，
综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
8
3
0
﹣1
0
3
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
0
6
8
6
…
x
…
…
y
…
…
满分120分
班级：__________姓名：__________学号：__________成绩：__________
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝C．y＝3x2+x﹣1D．y＝2x2+
2．抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）
3．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向上
B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线对称轴左侧部分是下降的
D．抛物线顶点到x轴的距离是2
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x的部分取值和对应函数值y如表：
则在实数范围内能使得y﹣3＞0成立的x取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜﹣1C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3
5．抛物线y＝2（x﹣2）2+5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x＝2B．x＝﹣1C．x＝5D．x＝0
6．如图，抛物线y＝x2+2x﹣1与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，则线段CD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．
7．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．已知A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y3＞y2＞y1D．y2＞y1＞y3
9．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝7.9（1+2x） B．y＝7.9（1﹣x）2
C．y＝7.9（1+x）2 D．y＝7.9+7.9（1+x）+7.9（1+x）2
10．已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（ ）
A．0B．﹣1C．﹣D．﹣
11．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A．23.5mB．22.5mC．21.5mD．20.5m
12．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c的一个根．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
13．如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数，那么m＝ ．
14．二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），则m的值为 ．
15．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ．
16．二次函数y＝x2﹣16x﹣8的最小值是 ．
17．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
18．若二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
则它的图象与x轴的两个交点横坐标的和为 ．
19．若二次函数y＝ax2﹣bx﹣1的图象经过点（2，1），则2020﹣2a+b＝ ．
20．已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）．则下列说法正确的有： ．（填序号）
①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5）；
②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：＜m＜2；
③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m﹣5；
④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1、x2满足﹣3＜x1＜2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：＜m＜11．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（7分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
22．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3．
（1）该抛物线的对称轴是 ；
（2）选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
（3）根据函数的图象，直接写出不等式﹣x2+2x+3＞0的解．
23．（7分）已知抛物线L：y＝﹣ax2+2ax+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将抛物线L沿x轴翻折后得到的新抛物线记为L'，且记L和L'的顶点分别记为M、M'，要使点A、B、M、M'为顶点的四边形是正方形，请求抛物线L的解析式．
24．（7分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
25．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
26．（9分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）当点Q与点M重合时，求m的值．
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．解：A．y＝3x﹣1是一次函数，不符合题意；
B．y＝中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
C．y＝3x2+x﹣1是二次函数，符合题意；
D．y＝2x2+中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
故选：C．
2．解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（3，﹣5），
故选：C．
3．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），
在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴A、B、C不正确；
∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，
∴D正确，
故选：D．
4．解：由表格可知，
该二次函数的对称轴是直线x＝＝1，函数图象开口向上，
故y﹣3＞0成立的x的取值范围是x＜﹣1或x＞3，
故选：D．
5．解：抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标为（1，5），抛物线y＝2（x﹣1）2+5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到顶点的对应点的坐标为（﹣1，3），
所以平移的抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
故选：B．
6．解：函数的对称轴为直线x＝﹣1，
∵CD∥AB，
∴CD＝1×2＝2，
故选：A．
7．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项正确；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误．
故选：B．
8．解：把x1＝0，x2＝1，x3＝4分别代入y＝x2﹣3x得，y1＝0，y2＝﹣2，y3＝4，
∴y3＞y1＞y2，
故选：B．
9．解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y＝7.9（1+x）2．
故选：C．
10．解：∵二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，
则，
解得：a＝﹣2，
则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0为﹣4x2+1＝0，
则两根之积为，
故选：D．
11．解：由题意可得，
h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，
故选：C．
12．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣a＝0，
∵c＞0，
∴a+b+c＞0，所以②错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以③错误；
∵A（﹣c，0），对称轴为直线x＝1，
∴B（2+c，0），
∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确；
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
13．解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数，
∴m2﹣m＝2，
（m﹣2）（m+1）＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣1，
∵m+1≠0，
∴m≠﹣1，
故m＝2．
故答案为：2．
14．解：∵根二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），
∴5﹣m2＝4，
解得m＝±1．
故答案为±1．
15．解：抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．
故答案为：y＝x2+3．
16．解：y＝x2﹣16x﹣8＝（x﹣8）2﹣72，
由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣72，
故答案为：﹣72．
17．解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，
∴△＝4﹣4×（﹣1）•k＞0，
解得：k＞﹣1，
故答案为：k＞﹣1．
18．解：从表格看，函数的对称轴为x＝2，
根据点的对称性，x＝0，y＝0，则x＝4时，y＝0，
即图象和x轴的两个交点的横坐标为0、4，
则图象与x轴的两个交点横坐标的和为0+4＝4，
故答案为4．
19．解：∵二次函数y＝ax2﹣bx﹣1的图象经过点（2，1），
∴4a﹣2b﹣1＝1，
∴2a﹣b＝1，
∵2020﹣2a+b＝2020﹣1＝2019，
故答案为2019．
20．解：①y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3＝m（x+1）2﹣2x2﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣5，故该函数图象一定过定点（﹣1，﹣5），故①正确；
②若该函数图象开口向下，则m﹣2＜0，且△＞0，
△＝b2﹣4ac＝20m﹣24＞0，解得：m＞，且m＜2，故m的取值范围为：＜m＜2，故②正确；
③当m＞2，函数的对称轴在y轴左侧，当1≤x≤2时，y的最大值在x＝2处取得，故y的最大为：（m﹣2）×4+2m×4+m﹣3＝9m﹣11，故③错误；
④当m＞2，x＝﹣3时，y＝9（m﹣2）﹣6m+m﹣3＝4m﹣21，当x＝﹣2时，y＝m﹣11，当﹣3＜x1＜﹣2时，则（4m﹣21）（m﹣11）＜0，解得：＜m＜11；
同理﹣1＜x2＜0时，m＞3，故m的取值范围为：＜m＜11正确，故④正确；
故答案为①②④．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解；（1）根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∵a＞0，
∴当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．
22．解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1；
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0；
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3；
当x＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝4；
当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝3；
当x＝3时，y＝﹣x2+2x+3＝0；
故答案为直线x＝1；﹣1，0，1，2，3；0，3，4，3，0；
如图，
（3）当﹣1＜x＜3时，y＞0，
所以不等式﹣x2+2x+3＞0的解集为﹣1＜x＜3、
23．解：（1）∵抛物线L：y＝﹣ax2+2ax+c的对称轴为x＝﹣＝1，且AB＝4，
∴OB＝3，OA＝1，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
（2）∵点A、B、M、M'为顶点的四边形是正方形，
∴MM′＝AB＝4，
∴||＝2，即|c+a|＝2，
当c+a＝2时，c＝2﹣a，
∴抛物线L为：y＝﹣ax2+2ax+2﹣a，
代入A（﹣1，0）得，﹣a﹣2a+2﹣a＝0，解得a＝，c＝，
∴抛物线L的解析式为：y＝﹣x2+x+；
当c+a＝﹣2时，c＝﹣2﹣a，
∴抛物线L为：y＝﹣ax2+2ax﹣2﹣a，
代入A（﹣1，0）得，﹣a﹣2a﹣2﹣a＝0，解得a＝﹣，c＝﹣，
∴抛物线L解析式为：y＝x2﹣x﹣，
综上，抛物线L的解析式为y＝﹣x2+x+或y＝x2﹣x﹣．
24．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+170；
（2）W＝（x﹣90）（﹣x+170）
＝﹣x2+260x﹣15300，
∵W＝﹣x2+260x﹣15300＝﹣（x﹣130）2+1600，
而a＝﹣1＜0，
∴当x＝130时，W有最大值1600．
答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．
25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；
（2）∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线y＝﹣x2+x，
∴﹣＜0，即y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2；
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴0＜n＜，
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得：，
∴不等式组无解，
综上所述：0＜n＜．
26．解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵点B（3，0），点C（0，3），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，
如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，
设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），
∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵S△PBC＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S△PBC有最大值，
∴点P（，）；
（3）存在N满足条件，
理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，
∴点A（﹣1，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M为（1，4），
∵点M为（1，4），点C（0，3），
∴直线MC的解析式为：y＝﹣x+3，
如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，
∴点E（﹣3，0），
∴DE＝4＝MD，
∴∠NMQ＝45°，
∵NQ⊥MC，
∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，
∴MQ＝NQ，
∴MQ＝NQ＝MN，
设点N（1，n），
∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，
∴NQ＝AN，
∴NQ2＝AN2，
∴（MN）2＝AN2，
∴（|4﹣n|）2＝4+n2，
∴n2+8n﹣8＝0，
∴n＝﹣4±2，
∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
27．解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，
解得b＝1．
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，
∴P（m，﹣m2+m+），
∵M，Q重合，
∴﹣m+＝﹣m2+m+，
解得m＝0或4．
（3）由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，
∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+）且﹣m+＞2，得m＜﹣
解得m＝1﹣或1+（不合题意舍弃），
∴m＝1﹣．
（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
则有﹣m+＜﹣m2+m+，
∴m2﹣4m＜0，
解得0＜m＜4，
观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，
当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，
当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，
综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
8
3
0
﹣1
0
3
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
0
6
8
6
…
x
…
…
y
…
…
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