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初中数学浙教版九年级上册第1章 二次函数综合与测试单元测试复习练习题
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这是一份初中数学浙教版九年级上册第1章 二次函数综合与测试单元测试复习练习题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙教版初中数学九年级上册第一单元《二次函数》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数y=k-1x2-4x+4与x轴只有一个交点，则k的取值范围是
A. k≤2且k≠1 B. k<2且k≠1 C. k=2 D. k=2或1
2. 下列函数中，y是x的二次函数的是( )
A. y=2x−1 B. y=1x C. y=1x+2 D. y=−x2+2x
3. 如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论：①abc<0；②10a+3b+c>0；③抛物线经过点4,y1与点(—3,y2)，则y1>y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点(—ca,0)；⑤am2+bm+a⩾0(m为任意实数)，其中所有正确的结论有几个．( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)开口向下且过点A(1,0)，B(m,0)(−20；②2a+c<0；③a(m+1)−b+c>0；④若方程a(x−m)(x−1)−1=0有两个不相等的实数根，则4ac−b2<4a.其中正确结论的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 如图，抛物线y=−2x2+8x−6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B，D.若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
A. −2
A. 32 B. 2 C. 32或2 D. −32或2
7. 若二次函数y=2x2−2mx+2m−2的图象的顶点在x轴上，则m的值是( )
A. 2 B. −2 C. ±2 D. ±1
8. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=−1，其图象如图所示．下列结论：①abc<0；②(4a+c)2<(2b)2；③若(x1,y1)和(x2,y2)是抛物线上的两点，则当|x1+1|>|x2+1|时，y1
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
9. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限，通过0,1，−1,0，则S=a+b+c的值的变化范围是( )
A. 0
A. m< -2 B. m< -2或m>3
C. m>3 D. m< -2或m>4
11. 小明用4块长、宽均为3和1的矩形按如图围成一个相邻两边之比为2：1的矩形ABCD，AD=2AB，小明在调整矩形ABCD大小的过程中发现：过P，Q两点的圆的面积存在最小值，则此时该圆的半径为( )
A. 10
B. 755
C. 13
D. 362
12. 已知二次函数y=ax2+bx+1，一次函数y=k(x−1)−k24 ，若它们的图象对于任意的非零实数k都只有一个公共点，则a，b的值分别为 ( )
A. a=1，b=2 B. a=1，b=−2
C. a=−1，b=2 D. a=−1，b=−2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 若二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有交点则实数k的取值范围为___________．
14. 将y=−2x2−6x+1配凑成y=a(x+h)2+k的形式，应为__________________．
15. 若点A(−5,y1)，B(−72,y2)，C(32,y3)为二次函数y=x2+4x+5的图象上的三点，则y1,y2,y3的大小关系是_______(用“<”连接)．
16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4,3)，D是抛物线y=−x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为_______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知函数y=(a+3)xa2+a−4+(a+2)x+3．
(1)当a为何值时，y为x的二次函数⋅
(2)当a为何值时，y为x的一次函数⋅
18. (本小题8.0分)
已知函数y=−(m+2)xm2−2(m为常数)，求当m为何值时：
(1)y是x的反比例函数？
(2)y是x的二次函数？并求出此函数图象上纵坐标为−8的点的坐标．
19. (本小题8.0分)
若函数y=(a−1)x(b+1)+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围．
20. (本小题8.0分)
如图，抛物线y1=14x2−x−3与直线y2=−12x−1交于A、B两点．
(1)直接写出当y1
21. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx−3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
(1)求点C的坐标；
(2)求抛物线的对称轴；
(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
22. (本小题8.0分)
在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C，与x轴相交于A、B两点(如图)，点C的坐标为(0,-3)，且BO=CO
(1)求出B点坐标和这个二次函数的解析式；
(2)求△ABC的面积．
23. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)，B(0,2)，在第一象限内取一点C，使得∠BAC=90∘，且AB=AC，抛物线y=12x2+bx−2的图象过点C．
(1)求出点C的坐标和抛物线的表达式;
(2)当该抛物线的对称轴直线l平移至直线x=m后，恰好将△ABC的面积分成相等的两部分，求m的值．
24. (本小题8.0分)
在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(AD足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB=xm．
(1)若花园的面积为192m2，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．
(3)若CD不超过10米，兴趣小组准备在BC边上开一个2米的门，如图，求围成矩形场地最大面积为多少？
25. (本小题8.0分)
如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A(−2,0)，B，C三点的抛物线y=ax2+bx+83(a<0)与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的34，求点R的坐标；
(3)已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE=45°，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的定义，一次函数图象上点的坐标，一次函数与二次函数的.由于不知道是一次函数还是二次函数，需对k进行讨论，当k=1时，函数y=−4x+4是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；当k≠1，函数y=(k−1)x2−4x+4是二次函数，当△=0时，二次函数与x轴有一个交点，解△=0，求出k的范围．
【解答】
解：当k−1=0，即k=1时，函数为y=−4x+4，与x轴只有一个交点；
当k−1≠0，即k≠1时，函数y=(k−1)x2−4x+4是二次函数，当(−4)2−4(k−1)×4=0，解得k=2，即当k=2时，函数的图象与x轴只有一个交点．
综上可得，k的取值范围是k=2或k=1．
故选D．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的定义、一次函数以及反比例函数的定义，解题的关键是正确理解二次函数的定义，本题属于基础题型．
根据二次函数、一次函数以及反比例函数的定义即可求出答案．
【解答】解：A、y=2x−1是一次函数，故A不是二次函数，
B、y=1x是反比例函数，故B不是二次函数，
C、y=1x+2既不是反比例函数也不是二次函数，故C不是二次函数；
D、y=−x2+2x，是二次函数，符合题意．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于中档题．
由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断①；由x=3时的函数值及a>0可判断②；由抛物线的增减性可判断③；由当x=−ca 时，y=a⋅(−ca )2+b⋅(−ca )+c=ca−b+ca 且a−b+c=0可判断④；由x=1时函数y取得最小值及b=−2a可判断⑤．
【解答】
解：由图象可知，抛物线开口向上，则a>0，
顶点在y轴右侧，则b<0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c<0，
∴abc>0，故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c过点(3,0)，
∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，
∵a>0，
∴10a+3b+c>0，故②正确；
∵对称轴为x=1，且开口向上，
∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∴y1
∵当x=−1时，y=a−b+c=0，
∴当x=−ca 时，y=a⋅(−ca )2+b⋅(−ca )+c=0，
即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点(−ca ，0)，故④正确；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又∵x=1时函数取得最小值，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
∵b=−2a，
∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；
故选B．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意得a+b+c=0，
∴b=−a−c，
当x=−2时，有4a−2b+c<0，
∴4a−2(−a−c)+c<0，
∴2a+c<0，
∴②正确，
由2a+c<0，得−2a−c>0，
∴2(−a−c)+c>0，
∴2b+c>0，
∴①正确，
由a(m+1)−b+c>0得a−b+c>−am，
当x=−1时，a−b+c>0，而a<0，m<0，
∴−am<0
∴③正确，
若方程a(x−m)(x−1)−1=0有两个不相等的实数根，
即a(x−m)(x−1)=1有两个不相等的实数根，
∴顶点的纵坐标4ac−b24a>1，
∴4ac−b2<4a，
∴④正确，
故选：A．
根据题意得出x=−2时函数值的符号和x=−1时函数的值，以及顶点的坐标公即可得出答案．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在理解系数对图象的影响，a决定抛物线的开口方向和大小，b决定对称轴的位置，c决定图象与y轴的交点位置，还有x轴上方的点对应的y>0，下方的点对应的y<0．
5.【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查抛物线与×轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确的画出图形，利用数形结合进行解题是关键．
首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=×+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=×+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
【解答】
解：令y=0，即x2−4x+3=0，
解得x=1或3，
则点A(1,0)，B(3,0)，
∴将C1向右平移2个单位得到C2，
∵y=−2x2+8x−6=−2(x−2)2+2，
∴C2的解析式为y=−2(x−4)2+2(3≤x≤5)，
当直线y=x+m1与C2所在抛物线只有一个交点时，
令x+m1=−2(x−4)2+2，即2x2−15x+30+m1=0，
∴b2−4ac=−8m1−15=0，
解得m1=−158;
当直线y=x+m2过点B时，0=3+m2，
解得m2=−3，
结合图象可知，当−3
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
将二次函数配方成顶点式，分m<−1、m>2和−1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为−2，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】
解：y=x2−2mx=(x−m)2−m2，
①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2，
解得：m=−32；
②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2，
解得：m=32<2(舍)；
③若−1≤m≤2，当x=m时，y=−m2=−2，
解得：m=2或m=−2<−1(舍)，
∴m的值为−32或2，
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=2x2−2mx+2m−2的顶点在x轴上，
∴△=(2m)2−4×2×(2m−2)=0，
解得m=2．
故选A．
因为抛物线顶点在x轴上，故函数图象与x轴只有一个交点，根据△=0，即可求出m的值．
此题考查了二次函数图象与y轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：△>0时，图象与x轴有两个交点；△=0，图象与x轴有一个交点；△<0，图象与x轴无交点．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a，b，c与函数图象的关系．
①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号．
②把x=±2分别代入函数解析式，结合图象可得(4a+c)2−(2b)2的结果符号为负．
③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大．
④由抛物线顶点纵坐标为m可得ax2+bx+c≥m，从而进行判断ax2+bx+c=m−1无实数根．
【解答】
解：①∵抛物线图象开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在直线y轴左侧，
∴a，b同号，b>0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，故①正确．
②由题可知抛物线与x轴另一个交点坐标为(1,0)，
(4a+c)2−(2b)2=(4a+c+2b)(4a+c−2b)，
当x=2时ax2+bx+c=4a+c+2b，由图象可得4a+c+2b>0，
当x=−2时，ax2+bx+c=4a+c−2b，由图象可得4a+c−2b<0，
∴(4a+c)2−(2b)2<0，即(4a+c)2<(2b)2，
故②正确．
③|x1+1|=|x1−(−1)|，|x2+1|=|x2−(−1)|，
∵|x1+1|>|x2+1|，
∴点(x1,y1)到对称轴的距离大于点(x2,y2)到对称轴的距离，
∴y1>y2，
故③错误．
④∵抛物线的顶点坐标为(−1,m)，
∴y≥m，
∴ax2+bx+c≥m，
∴ax2+bx+c=m−1无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图像和二次函数的性质.解决本题的关键之处在于正确理解并掌握二次函数中常数a、b、c的符号与函数性质及位置的关系。当二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，可知二次函数的对称轴为x=−b2a，且当a>0时，函数图像开口向上；当a<0时，函数图像开口向下。
根据题意将已知点代入函数解析式，即可得到a−b+1=0及c=1，再利用函数图像的顶点坐标在第一象限及开口方向，可判断出a、b的正负性，结合所求得的式子，进而求出s=a+b+1的变化范围．
【解答】
解：如图：
∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点(−1,0)，
∴易得a−b+1=0，a<0，b>0，
由a=b−1<0得到b<1，结合上面b>0，所以0
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式的关系以及分类讨论的思想，解题关键是把不等式问题转化为二次函数问题.把不等式x2−2mx+m2+m−2>x变形为x2−(2m+1)x+(m+2)(m−1)>0，得出此抛物线的对称轴为x=2m+12，然后运用二次函数的性质进行分类讨论即可得出结论．
【解答】
解：∵x2−2mx+m2+m−2>x恒成立，
则x2−(2m+1)x+(m+2)(m−1)>0恒成立，
设y=x2−(2m+1)x+(m+2)(m−1)，对称轴为直线x=2m+12，
①当2m+12<0时，y>0恒成立，
∴x=0时，y=m2+m−2>0成立即可，
解得m< -2；
②当2m+12>2时，y>0恒成立，
∴x=2时，y=m2−3m>0成立即可，
解得m>3；
③当0≤2m+12≤2时，y>0恒成立，
∴x=2m+12时，y=−94>0成立即可，
此时无解；
综上所述：m< -2或m>3．
故选：B
11.【答案】B
【解析】解：如图所示：过点P作QE的垂线，交QE的延长线于点O，
∵AD=2AB，
∴设AB=x，则AD=2x，
∵4块小矩形的长、宽均为3和1，
∴PO=3+1+(3−1−x)=6−x，
OQ=1+2x+1=2+2x，
在Rt△POQ中，
PQ2=PO2+OQ2
=(6−x)2+(2+2x)2
=36−12x+x2+4+8x+4x2
=5x2−4x+40
=5(x−25)2+1965，
∵5>0，
∴当x=25时，PQ有最小值，最小值为1965=1455，
∴该圆的半径有最小值为12PQ=755．
故选：B．
过点P作QE的垂线，交QE的延长线于点O，设AB=x，则AD=2x，然后求出PO，OQ由勾股定理得出PQ2=5(x−25)2+1965，再由函数的性质求出PQ的最小值，再得出结论．
本题考查二次函数的应用和矩形的性质以及勾股定理，关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式有关知识，根据题意求出一元二次方程，然后再利用根的判别式进行解答即可．
【解答】
解：根据题意得，y=ax2+bx+1①
y=kx−1−k24②，
解由①②组成的方程组，消去y，整理得ax2+(b−k)x+1+k+k24=0，
∵它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则方程组只有一组解，
∴x有两个相等的值，
即Δ=(b−k)2−4a(1+k+k24)=0，
∴(1−a)k2−2(2a+b)k+b2−4a=0，
由于对于非零实数k都成立，所以有1−a=0，2a+b=0，
∴b2−4a=0，
∴a=1，b=−2，
故选B．
13.【答案】k≤3且k≠0
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数的定义、根的判别式、抛物线与x轴的交点问题等有关知识．
根据二次函数与x轴有交点则b2−4ac≥0，进而求出k得取值范围即可．
【解答】
解：∵二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有交点，
∴b2−4ac=36−4·k·3=36−12k≥0，且k≠0，
解得：k≤3，且k≠0，
则k的取值范围是k≤3，且k≠0，
故答案为k≤3且k≠0．
14.【答案】y=−2x+322+112
【解析】【分析
本题考查的是二次函数的性质有关知识，首先根据题意对该函数进行配方，然后解答即可．
【解答】
解：∵y=−2x2−6x+1
=−2x2+3x+1
=−2x2+3x+94−94+1
=−2x+322+92+1
=−2x+322+112．
故答案为y=−2x+322+112．
15.【答案】y2
【分析】
本题主要考查的是二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质的有关知识，将二次函数y=x2+4x+5配方，求对称轴，再根据A、B、C三点与对称轴的位置关系，开口方向判断y1，y2，y3的大小．
【解答】
解：∵y=x2+4x+5=(x+2)2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=−2，
∵A(−5,y1)，B(−72,y2)，C(32,y3)三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，
∴y2
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二次函数的应用，二次函数的最值，三角形的面积，菱形的性质，勾股定理等有关知识，设D(x,−x2+6x)，根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出S▵BCD=12×5×(−x2+6x−3)=−52(x−3)2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【解答】
解：∵D是抛物线y=−x2+6x上一点，
∴设D(x,−x2+6x)．
∵顶点C的坐标为(4,3)，
∴OC=42+32=5．
又∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OC=5，BC//x轴，
∴S▵BCD=12×5×(−x2+6x−3)=−52(x−3)2+15．
∵−52<0，
∴当x=3时，S△BCD有最大值，最大值为15．
故答案为15．
17.【答案】解：(1)根据题意得a+3≠0且a2+a− 4=2，
解得a=2，即当a为2时，y是x的二次函数．
(2)当a+3=0且a+2≠0，即a=−3时，y是x的一次函数;
当a2+a−4=0且a+2≠0时，y是x的一次函数，解得a=−1±172;
当a2+a−4=1且a+3+a+2≠0时，y是x的一次函数，解得a=−1±212．
综上，当a为−3或−1±172或−1±212时，y是x的一次函数．
【解析】本考查了二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义．
(1)根据二次函数的定义得到得a+3≠0且a2+a−4=2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值；
(2)根据一次函数的定义分类讨论：当a+3=0时，y是x的一次函数；当a2+a−4=0且a+2≠0时，y是x的一次函数；当a2+a−4=1且a+3+a+2≠0时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可．
18.【答案】解：(1)由y=−(m+2)xm2−2(m为常数)y是x的反函数，
得m2−2=−1，
解得m=±1，此时−(m+2)≠0，
∴m=±1时，y是x的反比例函数．
(2)由y=−(m+2)xm2−2(m为常数)是x的二次函数，
得m2−2=2m+2≠0，
解得m=2，m=−2(不符合题意的要舍去)
当m=2时，y是x的二次函数，
当y=−8时，−8=−4x2，解得x=±2，
故纵坐标为−8的点的坐标是(±2,−8)
【解析】本题考查了反比例函数的定义和二次函数的性质．
(1)本题考查了反比例函数的定义，利用反比例函数解析式的形式解决此题，
(2)本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，利用二次函数的定义和二次函数的性质解决此题．
19.【答案】解： ①a−1+1≠0且b+1=2时，解得a≠0，b=1．
②a−1=0且b为任意实数时，解得a=1，b为任意实数．
③a为任意实数且b+1=1或0时，解得a为任意实数，b=0或−1．
综上所述，当a≠0，b=1或a=1，b为任意实数或a为任意实数，b=0或a为任意实数，b=−1时，y=(a−1)x(b+1)+x2+1是二次函数．
【解析】见答案
20.【答案】解：(1)−2
设C(a,14a2−a−3)，D(b,−12b−1)，
∵CD//OA，
∴14a2−a−3=−12b−1，
即14a2−a+12b−2=0．
由(1)知：A(−2,0)，
∴OA=2，
∴CD=2，
∴b−a=2，
∴14a2−a+12b−2=0b−a=2，
解得：a1=1−5b1=3−5，a2=1+5b2=3+5．
∴点C的横坐标为1−5或1+5．
【解析】
【分析】
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
(1)首先将两个函数关系式联立成方程组，解方程组求得A，B坐标；利用函数的图象，发现抛物线在直线AB下方的部分满足条件，结合图象指出对应部分的x的值即可；
(2)利用抛物线y1=14x2−x−3求出点A的坐标，得到线段AO的长，利用平行四边形的对边相等，AO=DC=2和平行线之间的距离相等，列出方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】
解：(1)由题意得：
y=14x2−x−3y=−12x−1，
解得：x1=−2y1=0，x2=4y2=−3．
∴A(−2,0)，B(4,−3)．
由函数的图象，发现抛物线在直线AB下方的部分满足条件y1
21.【答案】解：(1)与y轴交点：令x=0代入直线y=4x+4得y=4，
∴B(0,4)，
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C(5,4)；
(2)与x轴交点：令y=0代入直线y=4x+4得x=−1，
∴A(−1,0)，
将点A(−1,0)代入抛物线y=ax2+bx−3a中得0=a−b−3a，即b=−2a，
∴抛物线的对称轴x=−b2a=−−2a2a=1；
(3)∵抛物线y=ax2+bx−3a经过点A(−1,0)且对称轴x=1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点(3,0)，
①a>0时，如图1，
将x=0代入抛物线得y=−3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴−3a<4，
a>−43，
将x=5代入抛物线得y=12a，
∴12a≥4，
a≥13，
∴a≥13；
②a<0时，如图2，
将x=0代入抛物线得y=−3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴−3a>4，
a<−43；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为(1,4)，如图3，
将点(1,4)代入抛物线得4=a−2a−3a，
解得a=−1．
综上所述，a≥13或a<−43或a=−1．
【解析】(1)根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；
(2)根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；
(3)结合图形，分三种情况：①a>0；②a<0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．
本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．
22.【答案】解：(1)∵BO=CO，且点C的坐标为(0,−3)，
∴点B的坐标为：(3,0)，
把点B，C的坐标分别代入二次函数y=x2+bx+c得：
9+3b+c=0c=−3，
解得：b=−2，c=−3，
∴解析式为：y=x2−2x−3；
(2)由(1)得，令y=0可得x2−2x−3=0，
解得x1=3，x2=−1，
即得点A的坐标为(−1,0)，
∴AB的长度为4，
∴S△ABC=12×AB×OC=12×4×3=6．
【解析】(1)首先根据BO=CO，可得B点的坐标为(3,0)，然后把B，C点坐标分别代入解析式可得b，c的值，即可得解析式；
(2)令y=0，求出A点的坐标，即可根据图象求出△ABC的面积为12×AB×OC．
本题考查待定系数法求二次函数解析式，同时还考查图象的性质及三角形的面积．
23.【答案】解：(1)∵A(1,0)，B(0,2)，
∴OA=1，OB=2，
如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠BAC=90°
∴∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，
在△AOB与△CDA中，
∵∠AOB=∠CDA∠OAB=∠DCAAB=CA,
∴△AOB≌△CDA(AAS)，
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C(3,1)，
∵点C(3,1)在抛物线y=12x2+bx−2上，
∴1=12×9+3b−2，解得：b=−12，
∴抛物线的解析式为：y=12x2−12x−2；
(2)在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，
由勾股定理得：AB=5，
∴S△ABC=12AB2=(5)22=52，
设直线BC的解析式为y=kx+b1，
∵B(0,2)，C(3,1)，
∴b1=23k+b1=1，解得k=−13b1=2,
∴直线BC的解析式为y=−13x+2，
同理求得直线AC的解析式为：y=12x−12，
设直线l平移至直线x=m后与BC、AC分别交于点F、E，则点E的坐标为(m,12m−12)，点F的坐标为(m,−13m+2)
则EF=(−13m+2)−(12m−12)=52−56m，
在△CEF中，FE边上的高h=OD−m=3−m，
由题意得：S△CEF=12S△ABC，
即：12 EF⋅h=12S△ABC，
∴12(52−56m)⋅(3−m)=12×52，
整理得：(3−m)2=3，
解得m=3−3或m=3+3(不合题意，舍去)，
∴当直线l解析式为m=3−3时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分；
【解析】本题考查一次函数与二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、三角形全等的性质和判定、三角形的面积等知识．
(1)证明△AOB≌△CDA，则CD=OA=1，AD=OB=2，可得点C(3,1)，代入抛物线解析式即可；
(2)先求△ABC的面积，分别求BC和AC的解析式，表示EF的长，根据面积一半列等式即可求解.
24.【答案】解：(1)∵AB=xm，则BC=(28−x)m，
∴x(28−x)=192，
解得：x1=12，x2=16，
答：x的值为12或16；
(2)∵AB=xm，
∴BC=(28−x)m，
∴S=x(28−x)=−x2+28x=−(x−14)2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28−15=13，
∴6≤x≤13，
∴当x=13时，S取到最大值为：S=−(13−14)2+196=195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
(3)∵AB=xm，
∴BC=28+2−x=(30−x)m，
即S=x(30−x)=−(x−15)2+225，
∵0
故围成矩形场地最大面积为200平方米．
【解析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
(1)根据题意得出长×宽=192，列出一元二次方程，进而得出答案；
(2)由题意可得出：S=x(28−x)=−x2+28x=−(x−14)2+196，再利用二次函数增减性以及x的范围求得最值．
(3)先表示出矩形的长和宽，然后可得关于面积S的二次函数，根据x的取值范围可得矩形场地的最大面积．
25.【答案】解：(1)OA=2=BC，故函数的对称轴为x=1，则x=−b2a=1①，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4a−2b+83②，
联立①②并解得a=−13b=23，
故抛物线的表达式为：y=−13x2+23x+83③；
(2)由抛物线的表达式得，点M(1,3)、点D(4,0)；
∵△ADR的面积是▱OABC的面积的34，
∴12×AD×|yR|=34×OA×OB，则12×6×|yR|=34×2×83，解得：yR=±43④，
联立④③并解得x=1±13y=4或x=1±5y=−4，
故点R的坐标为(1+13,4)或(1−13,4)或(1+5,−4)或(1−5,−4)；
(3)作△PEQ的外接圆R，
∵∠PQE=45°，
故∠PRE=90°，则△PRE为等腰直角三角形，
当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，
点M、D的坐标分别为(1,4)、(4,0)，
则ME=4，ED=4−1=3，则MD=5，
过点R作RH⊥ME于点H，
设点P(1,2m)，则PH=HE=HR=m，
则圆R的半径为2m，则点R(1+m,m)，
S△MED=S△MRD+S△MRE+S△DRE，
即12×EM⋅ED=12×MD×RQ+12×ED⋅yR+12×ME⋅RH，
∴12×4×3=12×5×2m+12×4×m+12×3×m，解得m=602−84，
故点P(1,1202−168)．
【解析】(1)OA=2=BC，故函数的对称轴为x=1，则x=−b2a=1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4a−2b+83②，联立①②即可求解；
(2)△ADR的面积是▱OABC的面积的34，则12×AD×|yR|=34×OA×OB，则12×6×|yR|=34×2×83，即可求解；
(3)∠PQE=45°，故∠PRE=90°，则△PRE为等腰直角三角形，当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，难度较大．
浙教版初中数学九年级上册第一单元《二次函数》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数y=k-1x2-4x+4与x轴只有一个交点，则k的取值范围是
A. k≤2且k≠1 B. k<2且k≠1 C. k=2 D. k=2或1
2. 下列函数中，y是x的二次函数的是( )
A. y=2x−1 B. y=1x C. y=1x+2 D. y=−x2+2x
3. 如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论：①abc<0；②10a+3b+c>0；③抛物线经过点4,y1与点(—3,y2)，则y1>y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点(—ca,0)；⑤am2+bm+a⩾0(m为任意实数)，其中所有正确的结论有几个．( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)开口向下且过点A(1,0)，B(m,0)(−2
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 如图，抛物线y=−2x2+8x−6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B，D.若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
A. −2
A. 32 B. 2 C. 32或2 D. −32或2
7. 若二次函数y=2x2−2mx+2m−2的图象的顶点在x轴上，则m的值是( )
A. 2 B. −2 C. ±2 D. ±1
8. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=−1，其图象如图所示．下列结论：①abc<0；②(4a+c)2<(2b)2；③若(x1,y1)和(x2,y2)是抛物线上的两点，则当|x1+1|>|x2+1|时，y1
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
9. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限，通过0,1，−1,0，则S=a+b+c的值的变化范围是( )
A. 0
A. m< -2 B. m< -2或m>3
C. m>3 D. m< -2或m>4
11. 小明用4块长、宽均为3和1的矩形按如图围成一个相邻两边之比为2：1的矩形ABCD，AD=2AB，小明在调整矩形ABCD大小的过程中发现：过P，Q两点的圆的面积存在最小值，则此时该圆的半径为( )
A. 10
B. 755
C. 13
D. 362
12. 已知二次函数y=ax2+bx+1，一次函数y=k(x−1)−k24 ，若它们的图象对于任意的非零实数k都只有一个公共点，则a，b的值分别为 ( )
A. a=1，b=2 B. a=1，b=−2
C. a=−1，b=2 D. a=−1，b=−2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 若二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有交点则实数k的取值范围为___________．
14. 将y=−2x2−6x+1配凑成y=a(x+h)2+k的形式，应为__________________．
15. 若点A(−5,y1)，B(−72,y2)，C(32,y3)为二次函数y=x2+4x+5的图象上的三点，则y1,y2,y3的大小关系是_______(用“<”连接)．
16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4,3)，D是抛物线y=−x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为_______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知函数y=(a+3)xa2+a−4+(a+2)x+3．
(1)当a为何值时，y为x的二次函数⋅
(2)当a为何值时，y为x的一次函数⋅
18. (本小题8.0分)
已知函数y=−(m+2)xm2−2(m为常数)，求当m为何值时：
(1)y是x的反比例函数？
(2)y是x的二次函数？并求出此函数图象上纵坐标为−8的点的坐标．
19. (本小题8.0分)
若函数y=(a−1)x(b+1)+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围．
20. (本小题8.0分)
如图，抛物线y1=14x2−x−3与直线y2=−12x−1交于A、B两点．
(1)直接写出当y1
21. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx−3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
(1)求点C的坐标；
(2)求抛物线的对称轴；
(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
22. (本小题8.0分)
在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C，与x轴相交于A、B两点(如图)，点C的坐标为(0,-3)，且BO=CO
(1)求出B点坐标和这个二次函数的解析式；
(2)求△ABC的面积．
23. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)，B(0,2)，在第一象限内取一点C，使得∠BAC=90∘，且AB=AC，抛物线y=12x2+bx−2的图象过点C．
(1)求出点C的坐标和抛物线的表达式;
(2)当该抛物线的对称轴直线l平移至直线x=m后，恰好将△ABC的面积分成相等的两部分，求m的值．
24. (本小题8.0分)
在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(AD足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB=xm．
(1)若花园的面积为192m2，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．
(3)若CD不超过10米，兴趣小组准备在BC边上开一个2米的门，如图，求围成矩形场地最大面积为多少？
25. (本小题8.0分)
如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A(−2,0)，B，C三点的抛物线y=ax2+bx+83(a<0)与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的34，求点R的坐标；
(3)已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE=45°，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的定义，一次函数图象上点的坐标，一次函数与二次函数的.由于不知道是一次函数还是二次函数，需对k进行讨论，当k=1时，函数y=−4x+4是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；当k≠1，函数y=(k−1)x2−4x+4是二次函数，当△=0时，二次函数与x轴有一个交点，解△=0，求出k的范围．
【解答】
解：当k−1=0，即k=1时，函数为y=−4x+4，与x轴只有一个交点；
当k−1≠0，即k≠1时，函数y=(k−1)x2−4x+4是二次函数，当(−4)2−4(k−1)×4=0，解得k=2，即当k=2时，函数的图象与x轴只有一个交点．
综上可得，k的取值范围是k=2或k=1．
故选D．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的定义、一次函数以及反比例函数的定义，解题的关键是正确理解二次函数的定义，本题属于基础题型．
根据二次函数、一次函数以及反比例函数的定义即可求出答案．
【解答】解：A、y=2x−1是一次函数，故A不是二次函数，
B、y=1x是反比例函数，故B不是二次函数，
C、y=1x+2既不是反比例函数也不是二次函数，故C不是二次函数；
D、y=−x2+2x，是二次函数，符合题意．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于中档题．
由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断①；由x=3时的函数值及a>0可判断②；由抛物线的增减性可判断③；由当x=−ca 时，y=a⋅(−ca )2+b⋅(−ca )+c=ca−b+ca 且a−b+c=0可判断④；由x=1时函数y取得最小值及b=−2a可判断⑤．
【解答】
解：由图象可知，抛物线开口向上，则a>0，
顶点在y轴右侧，则b<0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c<0，
∴abc>0，故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c过点(3,0)，
∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，
∵a>0，
∴10a+3b+c>0，故②正确；
∵对称轴为x=1，且开口向上，
∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∴y1
∵当x=−1时，y=a−b+c=0，
∴当x=−ca 时，y=a⋅(−ca )2+b⋅(−ca )+c=0，
即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点(−ca ，0)，故④正确；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又∵x=1时函数取得最小值，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
∵b=−2a，
∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；
故选B．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意得a+b+c=0，
∴b=−a−c，
当x=−2时，有4a−2b+c<0，
∴4a−2(−a−c)+c<0，
∴2a+c<0，
∴②正确，
由2a+c<0，得−2a−c>0，
∴2(−a−c)+c>0，
∴2b+c>0，
∴①正确，
由a(m+1)−b+c>0得a−b+c>−am，
当x=−1时，a−b+c>0，而a<0，m<0，
∴−am<0
∴③正确，
若方程a(x−m)(x−1)−1=0有两个不相等的实数根，
即a(x−m)(x−1)=1有两个不相等的实数根，
∴顶点的纵坐标4ac−b24a>1，
∴4ac−b2<4a，
∴④正确，
故选：A．
根据题意得出x=−2时函数值的符号和x=−1时函数的值，以及顶点的坐标公即可得出答案．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在理解系数对图象的影响，a决定抛物线的开口方向和大小，b决定对称轴的位置，c决定图象与y轴的交点位置，还有x轴上方的点对应的y>0，下方的点对应的y<0．
5.【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查抛物线与×轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确的画出图形，利用数形结合进行解题是关键．
首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=×+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=×+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
【解答】
解：令y=0，即x2−4x+3=0，
解得x=1或3，
则点A(1,0)，B(3,0)，
∴将C1向右平移2个单位得到C2，
∵y=−2x2+8x−6=−2(x−2)2+2，
∴C2的解析式为y=−2(x−4)2+2(3≤x≤5)，
当直线y=x+m1与C2所在抛物线只有一个交点时，
令x+m1=−2(x−4)2+2，即2x2−15x+30+m1=0，
∴b2−4ac=−8m1−15=0，
解得m1=−158;
当直线y=x+m2过点B时，0=3+m2，
解得m2=−3，
结合图象可知，当−3
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
将二次函数配方成顶点式，分m<−1、m>2和−1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为−2，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】
解：y=x2−2mx=(x−m)2−m2，
①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2，
解得：m=−32；
②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2，
解得：m=32<2(舍)；
③若−1≤m≤2，当x=m时，y=−m2=−2，
解得：m=2或m=−2<−1(舍)，
∴m的值为−32或2，
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=2x2−2mx+2m−2的顶点在x轴上，
∴△=(2m)2−4×2×(2m−2)=0，
解得m=2．
故选A．
因为抛物线顶点在x轴上，故函数图象与x轴只有一个交点，根据△=0，即可求出m的值．
此题考查了二次函数图象与y轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：△>0时，图象与x轴有两个交点；△=0，图象与x轴有一个交点；△<0，图象与x轴无交点．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a，b，c与函数图象的关系．
①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号．
②把x=±2分别代入函数解析式，结合图象可得(4a+c)2−(2b)2的结果符号为负．
③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大．
④由抛物线顶点纵坐标为m可得ax2+bx+c≥m，从而进行判断ax2+bx+c=m−1无实数根．
【解答】
解：①∵抛物线图象开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在直线y轴左侧，
∴a，b同号，b>0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，故①正确．
②由题可知抛物线与x轴另一个交点坐标为(1,0)，
(4a+c)2−(2b)2=(4a+c+2b)(4a+c−2b)，
当x=2时ax2+bx+c=4a+c+2b，由图象可得4a+c+2b>0，
当x=−2时，ax2+bx+c=4a+c−2b，由图象可得4a+c−2b<0，
∴(4a+c)2−(2b)2<0，即(4a+c)2<(2b)2，
故②正确．
③|x1+1|=|x1−(−1)|，|x2+1|=|x2−(−1)|，
∵|x1+1|>|x2+1|，
∴点(x1,y1)到对称轴的距离大于点(x2,y2)到对称轴的距离，
∴y1>y2，
故③错误．
④∵抛物线的顶点坐标为(−1,m)，
∴y≥m，
∴ax2+bx+c≥m，
∴ax2+bx+c=m−1无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图像和二次函数的性质.解决本题的关键之处在于正确理解并掌握二次函数中常数a、b、c的符号与函数性质及位置的关系。当二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，可知二次函数的对称轴为x=−b2a，且当a>0时，函数图像开口向上；当a<0时，函数图像开口向下。
根据题意将已知点代入函数解析式，即可得到a−b+1=0及c=1，再利用函数图像的顶点坐标在第一象限及开口方向，可判断出a、b的正负性，结合所求得的式子，进而求出s=a+b+1的变化范围．
【解答】
解：如图：
∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点(−1,0)，
∴易得a−b+1=0，a<0，b>0，
由a=b−1<0得到b<1，结合上面b>0，所以0
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式的关系以及分类讨论的思想，解题关键是把不等式问题转化为二次函数问题.把不等式x2−2mx+m2+m−2>x变形为x2−(2m+1)x+(m+2)(m−1)>0，得出此抛物线的对称轴为x=2m+12，然后运用二次函数的性质进行分类讨论即可得出结论．
【解答】
解：∵x2−2mx+m2+m−2>x恒成立，
则x2−(2m+1)x+(m+2)(m−1)>0恒成立，
设y=x2−(2m+1)x+(m+2)(m−1)，对称轴为直线x=2m+12，
①当2m+12<0时，y>0恒成立，
∴x=0时，y=m2+m−2>0成立即可，
解得m< -2；
②当2m+12>2时，y>0恒成立，
∴x=2时，y=m2−3m>0成立即可，
解得m>3；
③当0≤2m+12≤2时，y>0恒成立，
∴x=2m+12时，y=−94>0成立即可，
此时无解；
综上所述：m< -2或m>3．
故选：B
11.【答案】B
【解析】解：如图所示：过点P作QE的垂线，交QE的延长线于点O，
∵AD=2AB，
∴设AB=x，则AD=2x，
∵4块小矩形的长、宽均为3和1，
∴PO=3+1+(3−1−x)=6−x，
OQ=1+2x+1=2+2x，
在Rt△POQ中，
PQ2=PO2+OQ2
=(6−x)2+(2+2x)2
=36−12x+x2+4+8x+4x2
=5x2−4x+40
=5(x−25)2+1965，
∵5>0，
∴当x=25时，PQ有最小值，最小值为1965=1455，
∴该圆的半径有最小值为12PQ=755．
故选：B．
过点P作QE的垂线，交QE的延长线于点O，设AB=x，则AD=2x，然后求出PO，OQ由勾股定理得出PQ2=5(x−25)2+1965，再由函数的性质求出PQ的最小值，再得出结论．
本题考查二次函数的应用和矩形的性质以及勾股定理，关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式有关知识，根据题意求出一元二次方程，然后再利用根的判别式进行解答即可．
【解答】
解：根据题意得，y=ax2+bx+1①
y=kx−1−k24②，
解由①②组成的方程组，消去y，整理得ax2+(b−k)x+1+k+k24=0，
∵它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则方程组只有一组解，
∴x有两个相等的值，
即Δ=(b−k)2−4a(1+k+k24)=0，
∴(1−a)k2−2(2a+b)k+b2−4a=0，
由于对于非零实数k都成立，所以有1−a=0，2a+b=0，
∴b2−4a=0，
∴a=1，b=−2，
故选B．
13.【答案】k≤3且k≠0
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数的定义、根的判别式、抛物线与x轴的交点问题等有关知识．
根据二次函数与x轴有交点则b2−4ac≥0，进而求出k得取值范围即可．
【解答】
解：∵二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有交点，
∴b2−4ac=36−4·k·3=36−12k≥0，且k≠0，
解得：k≤3，且k≠0，
则k的取值范围是k≤3，且k≠0，
故答案为k≤3且k≠0．
14.【答案】y=−2x+322+112
【解析】【分析
本题考查的是二次函数的性质有关知识，首先根据题意对该函数进行配方，然后解答即可．
【解答】
解：∵y=−2x2−6x+1
=−2x2+3x+1
=−2x2+3x+94−94+1
=−2x+322+92+1
=−2x+322+112．
故答案为y=−2x+322+112．
15.【答案】y2
【分析】
本题主要考查的是二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质的有关知识，将二次函数y=x2+4x+5配方，求对称轴，再根据A、B、C三点与对称轴的位置关系，开口方向判断y1，y2，y3的大小．
【解答】
解：∵y=x2+4x+5=(x+2)2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=−2，
∵A(−5,y1)，B(−72,y2)，C(32,y3)三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，
∴y2
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二次函数的应用，二次函数的最值，三角形的面积，菱形的性质，勾股定理等有关知识，设D(x,−x2+6x)，根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出S▵BCD=12×5×(−x2+6x−3)=−52(x−3)2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【解答】
解：∵D是抛物线y=−x2+6x上一点，
∴设D(x,−x2+6x)．
∵顶点C的坐标为(4,3)，
∴OC=42+32=5．
又∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OC=5，BC//x轴，
∴S▵BCD=12×5×(−x2+6x−3)=−52(x−3)2+15．
∵−52<0，
∴当x=3时，S△BCD有最大值，最大值为15．
故答案为15．
17.【答案】解：(1)根据题意得a+3≠0且a2+a− 4=2，
解得a=2，即当a为2时，y是x的二次函数．
(2)当a+3=0且a+2≠0，即a=−3时，y是x的一次函数;
当a2+a−4=0且a+2≠0时，y是x的一次函数，解得a=−1±172;
当a2+a−4=1且a+3+a+2≠0时，y是x的一次函数，解得a=−1±212．
综上，当a为−3或−1±172或−1±212时，y是x的一次函数．
【解析】本考查了二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义．
(1)根据二次函数的定义得到得a+3≠0且a2+a−4=2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值；
(2)根据一次函数的定义分类讨论：当a+3=0时，y是x的一次函数；当a2+a−4=0且a+2≠0时，y是x的一次函数；当a2+a−4=1且a+3+a+2≠0时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可．
18.【答案】解：(1)由y=−(m+2)xm2−2(m为常数)y是x的反函数，
得m2−2=−1，
解得m=±1，此时−(m+2)≠0，
∴m=±1时，y是x的反比例函数．
(2)由y=−(m+2)xm2−2(m为常数)是x的二次函数，
得m2−2=2m+2≠0，
解得m=2，m=−2(不符合题意的要舍去)
当m=2时，y是x的二次函数，
当y=−8时，−8=−4x2，解得x=±2，
故纵坐标为−8的点的坐标是(±2,−8)
【解析】本题考查了反比例函数的定义和二次函数的性质．
(1)本题考查了反比例函数的定义，利用反比例函数解析式的形式解决此题，
(2)本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，利用二次函数的定义和二次函数的性质解决此题．
19.【答案】解： ①a−1+1≠0且b+1=2时，解得a≠0，b=1．
②a−1=0且b为任意实数时，解得a=1，b为任意实数．
③a为任意实数且b+1=1或0时，解得a为任意实数，b=0或−1．
综上所述，当a≠0，b=1或a=1，b为任意实数或a为任意实数，b=0或a为任意实数，b=−1时，y=(a−1)x(b+1)+x2+1是二次函数．
【解析】见答案
20.【答案】解：(1)−2
设C(a,14a2−a−3)，D(b,−12b−1)，
∵CD//OA，
∴14a2−a−3=−12b−1，
即14a2−a+12b−2=0．
由(1)知：A(−2,0)，
∴OA=2，
∴CD=2，
∴b−a=2，
∴14a2−a+12b−2=0b−a=2，
解得：a1=1−5b1=3−5，a2=1+5b2=3+5．
∴点C的横坐标为1−5或1+5．
【解析】
【分析】
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
(1)首先将两个函数关系式联立成方程组，解方程组求得A，B坐标；利用函数的图象，发现抛物线在直线AB下方的部分满足条件，结合图象指出对应部分的x的值即可；
(2)利用抛物线y1=14x2−x−3求出点A的坐标，得到线段AO的长，利用平行四边形的对边相等，AO=DC=2和平行线之间的距离相等，列出方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】
解：(1)由题意得：
y=14x2−x−3y=−12x−1，
解得：x1=−2y1=0，x2=4y2=−3．
∴A(−2,0)，B(4,−3)．
由函数的图象，发现抛物线在直线AB下方的部分满足条件y1
21.【答案】解：(1)与y轴交点：令x=0代入直线y=4x+4得y=4，
∴B(0,4)，
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C(5,4)；
(2)与x轴交点：令y=0代入直线y=4x+4得x=−1，
∴A(−1,0)，
将点A(−1,0)代入抛物线y=ax2+bx−3a中得0=a−b−3a，即b=−2a，
∴抛物线的对称轴x=−b2a=−−2a2a=1；
(3)∵抛物线y=ax2+bx−3a经过点A(−1,0)且对称轴x=1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点(3,0)，
①a>0时，如图1，
将x=0代入抛物线得y=−3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴−3a<4，
a>−43，
将x=5代入抛物线得y=12a，
∴12a≥4，
a≥13，
∴a≥13；
②a<0时，如图2，
将x=0代入抛物线得y=−3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴−3a>4，
a<−43；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为(1,4)，如图3，
将点(1,4)代入抛物线得4=a−2a−3a，
解得a=−1．
综上所述，a≥13或a<−43或a=−1．
【解析】(1)根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；
(2)根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；
(3)结合图形，分三种情况：①a>0；②a<0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．
本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．
22.【答案】解：(1)∵BO=CO，且点C的坐标为(0,−3)，
∴点B的坐标为：(3,0)，
把点B，C的坐标分别代入二次函数y=x2+bx+c得：
9+3b+c=0c=−3，
解得：b=−2，c=−3，
∴解析式为：y=x2−2x−3；
(2)由(1)得，令y=0可得x2−2x−3=0，
解得x1=3，x2=−1，
即得点A的坐标为(−1,0)，
∴AB的长度为4，
∴S△ABC=12×AB×OC=12×4×3=6．
【解析】(1)首先根据BO=CO，可得B点的坐标为(3,0)，然后把B，C点坐标分别代入解析式可得b，c的值，即可得解析式；
(2)令y=0，求出A点的坐标，即可根据图象求出△ABC的面积为12×AB×OC．
本题考查待定系数法求二次函数解析式，同时还考查图象的性质及三角形的面积．
23.【答案】解：(1)∵A(1,0)，B(0,2)，
∴OA=1，OB=2，
如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠BAC=90°
∴∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，
在△AOB与△CDA中，
∵∠AOB=∠CDA∠OAB=∠DCAAB=CA,
∴△AOB≌△CDA(AAS)，
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C(3,1)，
∵点C(3,1)在抛物线y=12x2+bx−2上，
∴1=12×9+3b−2，解得：b=−12，
∴抛物线的解析式为：y=12x2−12x−2；
(2)在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，
由勾股定理得：AB=5，
∴S△ABC=12AB2=(5)22=52，
设直线BC的解析式为y=kx+b1，
∵B(0,2)，C(3,1)，
∴b1=23k+b1=1，解得k=−13b1=2,
∴直线BC的解析式为y=−13x+2，
同理求得直线AC的解析式为：y=12x−12，
设直线l平移至直线x=m后与BC、AC分别交于点F、E，则点E的坐标为(m,12m−12)，点F的坐标为(m,−13m+2)
则EF=(−13m+2)−(12m−12)=52−56m，
在△CEF中，FE边上的高h=OD−m=3−m，
由题意得：S△CEF=12S△ABC，
即：12 EF⋅h=12S△ABC，
∴12(52−56m)⋅(3−m)=12×52，
整理得：(3−m)2=3，
解得m=3−3或m=3+3(不合题意，舍去)，
∴当直线l解析式为m=3−3时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分；
【解析】本题考查一次函数与二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、三角形全等的性质和判定、三角形的面积等知识．
(1)证明△AOB≌△CDA，则CD=OA=1，AD=OB=2，可得点C(3,1)，代入抛物线解析式即可；
(2)先求△ABC的面积，分别求BC和AC的解析式，表示EF的长，根据面积一半列等式即可求解.
24.【答案】解：(1)∵AB=xm，则BC=(28−x)m，
∴x(28−x)=192，
解得：x1=12，x2=16，
答：x的值为12或16；
(2)∵AB=xm，
∴BC=(28−x)m，
∴S=x(28−x)=−x2+28x=−(x−14)2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28−15=13，
∴6≤x≤13，
∴当x=13时，S取到最大值为：S=−(13−14)2+196=195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
(3)∵AB=xm，
∴BC=28+2−x=(30−x)m，
即S=x(30−x)=−(x−15)2+225，
∵0
故围成矩形场地最大面积为200平方米．
【解析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
(1)根据题意得出长×宽=192，列出一元二次方程，进而得出答案；
(2)由题意可得出：S=x(28−x)=−x2+28x=−(x−14)2+196，再利用二次函数增减性以及x的范围求得最值．
(3)先表示出矩形的长和宽，然后可得关于面积S的二次函数，根据x的取值范围可得矩形场地的最大面积．
25.【答案】解：(1)OA=2=BC，故函数的对称轴为x=1，则x=−b2a=1①，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4a−2b+83②，
联立①②并解得a=−13b=23，
故抛物线的表达式为：y=−13x2+23x+83③；
(2)由抛物线的表达式得，点M(1,3)、点D(4,0)；
∵△ADR的面积是▱OABC的面积的34，
∴12×AD×|yR|=34×OA×OB，则12×6×|yR|=34×2×83，解得：yR=±43④，
联立④③并解得x=1±13y=4或x=1±5y=−4，
故点R的坐标为(1+13,4)或(1−13,4)或(1+5,−4)或(1−5,−4)；
(3)作△PEQ的外接圆R，
∵∠PQE=45°，
故∠PRE=90°，则△PRE为等腰直角三角形，
当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，
点M、D的坐标分别为(1,4)、(4,0)，
则ME=4，ED=4−1=3，则MD=5，
过点R作RH⊥ME于点H，
设点P(1,2m)，则PH=HE=HR=m，
则圆R的半径为2m，则点R(1+m,m)，
S△MED=S△MRD+S△MRE+S△DRE，
即12×EM⋅ED=12×MD×RQ+12×ED⋅yR+12×ME⋅RH，
∴12×4×3=12×5×2m+12×4×m+12×3×m，解得m=602−84，
故点P(1,1202−168)．
【解析】(1)OA=2=BC，故函数的对称轴为x=1，则x=−b2a=1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4a−2b+83②，联立①②即可求解；
(2)△ADR的面积是▱OABC的面积的34，则12×AD×|yR|=34×OA×OB，则12×6×|yR|=34×2×83，即可求解；
(3)∠PQE=45°，故∠PRE=90°，则△PRE为等腰直角三角形，当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，难度较大．
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