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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用精品精练
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用精品精练，共25页。试卷主要包含了0分），【答案】B，【答案】C，【答案】A，【答案】D等内容，欢迎下载使用。
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5.3.1函数的单调性同步练习
人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知，x∈（0，＋∞），对，且x1＜x2，恒有，则实数a的取值范围是（）
A. （－∞，] B. [，＋∞） C. （－∞，e2] D. （，＋∞）
2. 若函数f(x)＝kex－x2在区间(0，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是( )
A. B. (0，＋∞) C. D. [0，＋∞)
3. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 若函数在单调递增，则a的取值范围是
A. B. C. D.
5. 函数f (x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是( )
A. (0，＋∞) B. (－∞，0) C. (－∞，1) D. (1，＋∞)
6. 若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A. 或 B. C. D.
7. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
8. 是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若，则必有（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图,那么y=f(x), y=g(x)的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A. f（x）＝sin2x B. f（x）＝xex
C. f（x）＝x3﹣x D. f（x）＝﹣x+lnx
11. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为( ）
A. B. C. D.
12. 设P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈R，β∈Q，使得|α－β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n度零点函数”．若f（x）＝2x－2－1，与g（x）＝x2－aex（e为自然对数的底数）互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
13. 已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围是 (1) ；若不等式有解，则t的取值范围是 (2) .
14. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P点在正方形内（含边界，且.
①若，则的值是 ；
②若向量，则的最小值为 ．
15. 设函数 (a为常数)，若f(x)为奇函数,则a= ；若 f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是 .
16. 已知f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，满足0≤x1＜x2＜x3≤3．且f（x1）=f（x2）=f（x3），则x2的取值范围为 ；x2x3-的最大值为 ．
17. 已知函数，，构造新函数，则函数的极小值为 ；若关于的不等式的解集中恰好有一个整数，则实数的取值范围是 .
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）
18. 已知函数,讨论函数的单调性；
19. 已知函数f（x）=x3-3x+1．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
20. 已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋b.
(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；
(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．
21. 已知函数f（x）=x-2lnx-+1，g（x）=ex（2lnx-x）．
（1）若函数f（x）在定义域上是增函数，求a的取值范围；
（2）求g（x）的单调区间．
22. 在“①函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线斜率为2a;②函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直;③函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线4x-y=0平行”这三个条件中任选一个,补充在下面问题(1)中,求出实数a的值.
已知函数f(x)=x2+2aln x.
(1)若_____,求实数a的值;
(2)若函数g(x)=+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.
23. 已知f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．
（1）若a=0时，求函数y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．
24. 已知函数．
(Ⅰ)若f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；
(Ⅱ)当a＝－2时，求f(x)的单调区间．
25. 已知函数，求：
函数的图象在点处的切线方程；
的单调递减区间．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查不等式恒成立问题，属于一般题.
结合题意构造函数，进一步利用导数求函数的最值即可，
【解答】
解：依题意，得，且，，
所以，则在上单调递增，
令，则在x∈（0，＋∞）恒成立，
即，
令，则，
当时，；当时，，
故，所以，
故选B.
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了函数的单调性与导数的关系，属于中档题.
因为在区间上单调递增，所以当时，恒成立，即在上恒成立.令（x＞0），求得g(x)在的最大值，即可得答案．
【解答】
解：∵，
∴.
∵函数在上单调递增，
∴在上恒成立，
即在上恒成立.
令（x＞0），则（x＞0），
∴当时，单调递增，
当时，单调递减.
∴,
∴.
故选C.
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及集合的包含关系，属于中档题．
求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到关于的不等式组，解出的范围即可．
【解答】
解：的定义域是，
，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
若函数在区间上单调递减，
则且且，解得：，
故选：．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于一般题.
由函数f(x)在单调递增，可得在上恒成立,结合选项即可确定答案.
【解答】
解：因为函数f(x)在单调递增，
所以有在上恒成立,
因为，
当时，，
此时，不符合题意，
所以可以排除，即排除A、B、D项，
故选C.
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.
用导数求函数的单调区间，先求函数的导数，再令其大于0，解出不等式的解集，即得其单调区间．
【解答】
解：f′（x）=ex-e，
令f′（x）＞0得x>1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
可知在其定义域上不单调等价于有两个解，利用即可求解.
【解答】
解:求导可得，
在其定义域上不单调等价于方程有两个解，
，解得或.
故选A.
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查导数图象与原函数图象的关系，属于基础题.
运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间即可．
【解答】
解：根据已知导函数的图象可知，
原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，
故选D．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，恰当构造函数和熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．
构造函数g（x）=xf（x），x∈（0，+∞），通过求导利用已知条件即可得出．
【解答】
解：
设g（x）=xf（x），x∈（0，+∞）， 则g′（x）=xf′（x）+f（x）≤0，
∴g（x）在区间x∈（0，+∞）单调递减或者g（x）为常值函数，
∵0＜a＜b，∴g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b）．
，
两式相乘得：，
即：bf(a)af(b).
故选C.
9.【答案】D
【解析】解：由导数的图象可知,函数y=f(x)与y= g(x)的图象在处的切线斜率相等,排除选项B、C;显然,函数y=f(x)的导数在减小,故函数y=f(x)的图象较为平缓,排除选项A, 故选D.
素养探究:本题考查由导函数的图象确定原函数的图象,根据导数的几何意义可知,导数的绝对值越大,原函数增减变化的“越快”,原函数的图象越“陡峭”;导数的绝对值越小,原函数增减变化的“越慢”,原函数的图象越“平缓”.
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，正弦函数的周期性，属于中档题.
A中f(x)=2x在(0,+)上无单调性;B中,利用导数判定f(x)=在(0,+)上是增函数;C中,利用导数判定f(x)=-x在(0,)上是减函数,在(,+)上是增函数;D中,利用导数判定f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+)上是减函数.
【解答】
解：对于A,f(x)=2x是周期函数,在(0,+)上无单调性,不满足题意;
对于B,f(x)=,f'(x)=(1+x),当x(0,+)时,f'(x)>0,f(x)在(0,+)上是增函数;
对于C,f(x)=-x,f'(x)=-1,当x(0,)时,f'(x)<0,f(x)是减函数;x(,+)时,f'(x)>0,f(x)是增函数;不满足题意;
对于 D,f(x)=-x+x,f'(x)=-1+=，当x(0,1)时,f'(x)>0,f(x)是增函数,当x(1,+)时,f'(x)<0,f(x)是减函数,不满足题意.
综上,在(0,+)上为增函数的是B.
故选B.
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查导数的综合应用及函数的性质的应用，注意构造新函数，分析函数的单调性.
根据题意，构造新函数g（x）=，分析可得g（x）在R上为减函数，再由奇函数的性质可得，
f（0）=2021，进而可得g（0）==2019，原不等式变形可得＜2019，即g（x）＜g（0）；据此分析可得不等式的解集．
【解答】
解：根据题意，设g（x）=，
其导数g′（x）==，
又由对任意的x∈R，都有f（x）＞f'（x）+2，
则g′（x）=＜0，
则g（x）在R上为减函数；
又由f（x）-2021为奇函数，得f（0）-2021=0，则f（0）=2021，则有g（0）==2019，
f（x）-2019ex＜2⇒＜2019，即g（x）＜g（0）；
又由g（x）在R上为减函数；
则不等式f（x）-2019ex＜2的解集为（0，+∞），
故选A．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查实数取值范围的求法，考查函数性质、构造法、导数性质等基础知识，属于中档题．
由f（x）=22-x-1=0，解得x=2，由g（x）=x2-aex=0，解得x2=aex，设其解为x0，由f（x）=32-x-1与g（x）=x2-aex互为“1度零点函数“，得1＜x0＜3，设h（x）=，则，x∈（1，3），当1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，当2＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】
解：由f（x）=22-x-1=0，解得x=2，
由g（x）=x2-aex=0，解得x2=aex，
设其解为x0，
∵f（x）=22-x-1与g（x）=x2-aex互为“1度零点函数“，
∴|x0-2|＜1，解得1＜x0＜3，
∵，∴a=，
设h（x）=，则，x∈（1，3），
当1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，
当2＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
∴h（x）max=h（2）=，h（1）=，h（3）=，
∴实数a的取值范围为（，]．
故选：B．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值，重点在于将题干中“两个不同的极值点”转化为导函数等于0时，有两个不相等的实数根，然后进行求解，计算难度偏大，属中档题.
根据有两个不同极值点，可得两个不相等的正实数根，根据二次函数的性质即可求解；将不等式转化为，代入方程，化简整理，即可得结果.
【解答】
解：由题可得（），
因为函数有两个不同的极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有解得.
若不等式有解，
所以
因为
.
设，
，故在上单调递增，
故，
所以，所以的取值范围是.
故答案为 ； .
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，两个向量的坐标运算，利用导数研究函数的单调性、最值，用cosθ，sinθ表示λ和μ是解题的难点，属于中档题.
由题意及平面向量的数量积运算可得①；建立平面直角坐标系，设 P（cosθ，sinθ），根据向量的坐标运算用cosθ，sinθ表示λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，再结合导数研究函数λ+μ的单调性、最值，即可求出最小值.
【解答】
解：①由，，
则=，所以是等边三角形，
；
②以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，
正方形ABCD的边长为1，
则A（0，0），E（，0），C（1，1），D（0，1），B（1，0）．
设 P（cosθ，sinθ），0≤θ≤
∴=（1，1），=（cosθ，sinθ），
∵，
则=λ（，-1）+μ（cosθ，sinθ）
=（+μcosθ，-λ+μsinθ ）=（1，1），
∴，∴，
∴λ+μ=
=
=-1+，
由题意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1，
求得（λ+μ）'=＞0，
故λ+μ在[0，]上是增函数，
当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=.
故答案为：，.
15.【答案】-1
（-∞，0]
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属于中档题．
对于第一空：由奇函数的定义可得f（-x）=-f（x），即e-x+aex=-（ex+ae-x），变形分析可得a的值，即可得答案；
对于第二空：可得对恒成立，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f（x）=ex+ae-x，
若f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
即e-x+aex=-（ex+ae-x），变形可得a=-1，经检验，a=-1满足f（x）为奇函数，
∵f(x)是R上的增函数，
∴对恒成立，
即对恒成立，
∴恒成立．
∵，
∴a≤0．
故答案为-1；（-∞，0]．
16.【答案】[2，]
-
【解析】
【分析】
本题考查了分段函数的最值的求法及三角函数的应用，构造新函数，利用导函数求解最值，属于拔高题．
作出f（x）的图象，根据图象数形结合，可得x2的取值范围；x2，x3关于x=对称，利用x2取代x1，x3，构造新函数，利用导函数求解最值.
【解答】
解：由题意，函数f（x）的大致图象如图所示，
由图象知，x2∈[2，]；
由x2，x3关于x=对称，可得x3=5-x2，
x1=2sinπx2，可得x1=sinπx2，
那么x2x3-=x2（5-x2）-sinπx2，
构造新函数g（x）=5x-x2-sinπx，x∈[2，]，
则g′（x）=5-2x-cosπx，x∈[2，]，
令h(x)=g′（x）=5-2x-cosπx，x∈[2，],
h′（x）=-2+πsinπx在区间[2，]单调递增，
可得h′（x）＜h′（）＜0，
∴g′（x）在区间[2，]单调递减，
∵g′（）=0，可得函数g（x）在区间[2，]单调递增，[，]单调递减，
∴当x=时，g（x）取得最大值为-，
故答案为[2，]；-．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导数的运用，运用导数研究函数的单调性和极值，函数图象的运用，考查了综合分析能力，属于中档题.
根据题意可得，构造函数设h(x)==，运用导数求出函数h(x)的单调性和极值，作出函数h(x)的大致图象，数形结合即可求解.
【解答】
解：，则，设，
则，令，所以或，
在上递减，在上递增，在上递减，
在取极小值，，在取极大值，
，作图，时，，，，
由图知在下方图象中只有一个整数点，，
所以实数的取值范围是.
18.【答案】解：f(x)的定义域为（0，+∞）,,
当a≥0时，f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）单调递增；
当a≤-1时，f'(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）单调递减；
当-1＜a＜0时，令f'(x)=0，解得，（舍去），
则当时，f'(x)＞0；
时，f'(x)＜0，
故f(x)在单调递增，在单调递减.
综上可得，当a≥0时，f(x)在（0，+∞）单调递增；
当a≤-1时，f(x)在（0，+∞）单调递减；
当-1＜a＜0时，f(x)在单调递增，在单调递减.
【解析】本题主要考查利用导函数讨论函数的单调性，属于中档题.
先求导，再对a的取值进行讨论，可得函数的单调性.
19.【答案】解：（1）f（x）=x3-3x+1，所以f（0）=1，
又f'（x）=3x2-3，
所以k=f'（0）=-3，
故切线方程为3x+y-1=0．
（2）f'（x）=3x2-3＞0，则x＞1或x＜-1，
f'（x）=3x2-3＜0，则-1＜x＜1．
故函数在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减．
【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性以及导数的应用，是一道常规题．
（1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
20.【答案】解：(1)由已知得，
∴，即．
∵，
∴，
∴.
（2）∵在上是减函数，
∴，在上恒成立，
即在上恒成立，
则．
∵，
∴2m-2≤2，即m≤2，
故实数m的取值范围是．
【解析】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，考查学生灵活运用数学知识的能力，属于中档题.
(1)求出函数的导数,得到关于a的方程,求出a的值,计算,求出b的值,从而求出的解析式即可;
(2)求出函数的导数,问题转化为,,根据函数的单调性求出m的范围即可.
21.【答案】解：（1）由题意得x＞0，f′（x）=1-+，
由函数f（x）在定义域上是增函数得，f′（x）≥0，
即a≥2x-x2=-（x-1）2+1（x＞0）恒成立，
因为-（x-1）2+1≤1（当x=1时，取等号），
所以a的取值范围是[1，+∞）．
（2）g′（x）=-ex（x-2lnx-+1），
由（1）得a=2时，f（x）=x-2lnx-+1，
此时f（x）在定义域上是增函数，又f（1）=0，
所以，当x∈（0，1）时，f（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0．
所以，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0．
所以g （x）的单调递增区间是（0，1），
g （x）的单调递减区间是（1，+∞）．
【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．
（1）求出函数的导数，分离参数，问题转化为a≥2x-x2，从而求出a的范围即可；
（2）求出函数g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
22.【答案】解：(1)若选①,对f(x)求导,得f'(x)=2x+=,
由已知f'(2)=2a,得=2a,解得a=4.
若选②,对f(x)求导,得f'(x)=2x+=,直线x+y+1=0的斜率为-,
由题意得f'(1)=2,得2+2a=2,解得a=0.
若选③,对f(x)求导,得f'(x)=2x+=,直线4x-y=0的斜率为4,
由题意得f'(1)=4,得2+2a=4,解得a=1.
(2)对g(x)=+x2+2aln x求导,得g'(x)=-+2x+.
由函数g(x)在[1,2]上是减函数,可得g'(x)≤0在[1,2]上恒成立,
即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立,即a≤-x2在[1,2]上恒成立.
令h(x)=-x2,x∈[1,2]，
当x∈[1,2]时,h'(x)=--2x<0,
由此知h(x)在[1,2]上为减函数,所以h(x)min=h(2)=-,故a≤-.
于是实数a的取值范围为.
【解析】本题考查导数的几何意义、导数法研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，属于中档题.
(1) 无论选择哪个条件，利用导数的几何意义求解即可；
(2)对g(x)=+x2+2aln x求导,得g'(x)=-+2x+≤0在[1,2]上恒成立,再分离变量，转化为函数的最值问题，求得函数的最小值，即可得到a的取值范围.
23.【答案】解：（1）a=0时，f′（x）=2x-=（2x2-1），∴f′（1）=1,
∴f（1）=1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-x=0，即x-y=0；
（2）f′（x）=2x+a-=（2x2+ax-1），记g（x）=2x2+ax-1，
∵函数f（x）在区间[1，2]上单调递减,
∴2x2+ax-1≤0在区间[1，2]上恒成立,
∴，∴，
∴a．
【解析】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确求导是关键．
（1）求导函数，确定切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）求导数f′（x）=2x+a-=（2x2+ax-1），记g（x）=2x2+ax-1，利用函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，可得2x2+ax-1≤0在区间[1，2]上恒成立，从而可建立不等式组，即可求a的取值范围．
24.【答案】解:（Ⅰ）函数的定义域为 ,
又，
依题有，解得;
（Ⅱ）当时，，
令，解得，（舍）,
当时，，单调递增，
时，，单调递减；
所以函数的单调增区间为，单调递减区间为．
【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属基础题.
（Ⅰ）由f(x)在x＝1处的切线与x轴平行即，即可求解;
(Ⅱ) 当时求出导函数，判断导函数的正负，即可确定f（x）的单调区间.
25.【答案】解：(1)f(x)=-++9x-2,f'(x)=-+6x+9,
f'(0)=9，又f(0)=-2,
函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y-(-2)=9x,即9x-y-2=0.
(2)由(1)得f'(x)=-+6x+9,
令f'(x)<0,解得x<-1或x>3,
f(x)的单调递减区间为(-,-1),(3,+).
【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调性等基础知识．
（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，-2），由点斜式即可得所求切线的方程；
（2）利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间．
绝密★启用前
5.3.1函数的单调性同步练习
人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知，x∈（0，＋∞），对，且x1＜x2，恒有，则实数a的取值范围是（）
A. （－∞，] B. [，＋∞） C. （－∞，e2] D. （，＋∞）
2. 若函数f(x)＝kex－x2在区间(0，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是( )
A. B. (0，＋∞) C. D. [0，＋∞)
3. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 若函数在单调递增，则a的取值范围是
A. B. C. D.
5. 函数f (x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是( )
A. (0，＋∞) B. (－∞，0) C. (－∞，1) D. (1，＋∞)
6. 若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A. 或 B. C. D.
7. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
8. 是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若，则必有（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图,那么y=f(x), y=g(x)的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A. f（x）＝sin2x B. f（x）＝xex
C. f（x）＝x3﹣x D. f（x）＝﹣x+lnx
11. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为( ）
A. B. C. D.
12. 设P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈R，β∈Q，使得|α－β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n度零点函数”．若f（x）＝2x－2－1，与g（x）＝x2－aex（e为自然对数的底数）互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
13. 已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围是 (1) ；若不等式有解，则t的取值范围是 (2) .
14. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P点在正方形内（含边界，且.
①若，则的值是 ；
②若向量，则的最小值为 ．
15. 设函数 (a为常数)，若f(x)为奇函数,则a= ；若 f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是 .
16. 已知f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，满足0≤x1＜x2＜x3≤3．且f（x1）=f（x2）=f（x3），则x2的取值范围为 ；x2x3-的最大值为 ．
17. 已知函数，，构造新函数，则函数的极小值为 ；若关于的不等式的解集中恰好有一个整数，则实数的取值范围是 .
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）
18. 已知函数,讨论函数的单调性；
19. 已知函数f（x）=x3-3x+1．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
20. 已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋b.
(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；
(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．
21. 已知函数f（x）=x-2lnx-+1，g（x）=ex（2lnx-x）．
（1）若函数f（x）在定义域上是增函数，求a的取值范围；
（2）求g（x）的单调区间．
22. 在“①函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线斜率为2a;②函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直;③函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线4x-y=0平行”这三个条件中任选一个,补充在下面问题(1)中,求出实数a的值.
已知函数f(x)=x2+2aln x.
(1)若_____,求实数a的值;
(2)若函数g(x)=+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.
23. 已知f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．
（1）若a=0时，求函数y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．
24. 已知函数．
(Ⅰ)若f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；
(Ⅱ)当a＝－2时，求f(x)的单调区间．
25. 已知函数，求：
函数的图象在点处的切线方程；
的单调递减区间．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查不等式恒成立问题，属于一般题.
结合题意构造函数，进一步利用导数求函数的最值即可，
【解答】
解：依题意，得，且，，
所以，则在上单调递增，
令，则在x∈（0，＋∞）恒成立，
即，
令，则，
当时，；当时，，
故，所以，
故选B.
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了函数的单调性与导数的关系，属于中档题.
因为在区间上单调递增，所以当时，恒成立，即在上恒成立.令（x＞0），求得g(x)在的最大值，即可得答案．
【解答】
解：∵，
∴.
∵函数在上单调递增，
∴在上恒成立，
即在上恒成立.
令（x＞0），则（x＞0），
∴当时，单调递增，
当时，单调递减.
∴,
∴.
故选C.
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及集合的包含关系，属于中档题．
求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到关于的不等式组，解出的范围即可．
【解答】
解：的定义域是，
，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
若函数在区间上单调递减，
则且且，解得：，
故选：．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于一般题.
由函数f(x)在单调递增，可得在上恒成立,结合选项即可确定答案.
【解答】
解：因为函数f(x)在单调递增，
所以有在上恒成立,
因为，
当时，，
此时，不符合题意，
所以可以排除，即排除A、B、D项，
故选C.
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.
用导数求函数的单调区间，先求函数的导数，再令其大于0，解出不等式的解集，即得其单调区间．
【解答】
解：f′（x）=ex-e，
令f′（x）＞0得x>1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
可知在其定义域上不单调等价于有两个解，利用即可求解.
【解答】
解:求导可得，
在其定义域上不单调等价于方程有两个解，
，解得或.
故选A.
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查导数图象与原函数图象的关系，属于基础题.
运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间即可．
【解答】
解：根据已知导函数的图象可知，
原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，
故选D．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，恰当构造函数和熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．
构造函数g（x）=xf（x），x∈（0，+∞），通过求导利用已知条件即可得出．
【解答】
解：
设g（x）=xf（x），x∈（0，+∞）， 则g′（x）=xf′（x）+f（x）≤0，
∴g（x）在区间x∈（0，+∞）单调递减或者g（x）为常值函数，
∵0＜a＜b，∴g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b）．
，
两式相乘得：，
即：bf(a)af(b).
故选C.
9.【答案】D
【解析】解：由导数的图象可知,函数y=f(x)与y= g(x)的图象在处的切线斜率相等,排除选项B、C;显然,函数y=f(x)的导数在减小,故函数y=f(x)的图象较为平缓,排除选项A, 故选D.
素养探究:本题考查由导函数的图象确定原函数的图象,根据导数的几何意义可知,导数的绝对值越大,原函数增减变化的“越快”,原函数的图象越“陡峭”;导数的绝对值越小,原函数增减变化的“越慢”,原函数的图象越“平缓”.
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，正弦函数的周期性，属于中档题.
A中f(x)=2x在(0,+)上无单调性;B中,利用导数判定f(x)=在(0,+)上是增函数;C中,利用导数判定f(x)=-x在(0,)上是减函数,在(,+)上是增函数;D中,利用导数判定f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+)上是减函数.
【解答】
解：对于A,f(x)=2x是周期函数,在(0,+)上无单调性,不满足题意;
对于B,f(x)=,f'(x)=(1+x),当x(0,+)时,f'(x)>0,f(x)在(0,+)上是增函数;
对于C,f(x)=-x,f'(x)=-1,当x(0,)时,f'(x)<0,f(x)是减函数;x(,+)时,f'(x)>0,f(x)是增函数;不满足题意;
对于 D,f(x)=-x+x,f'(x)=-1+=，当x(0,1)时,f'(x)>0,f(x)是增函数,当x(1,+)时,f'(x)<0,f(x)是减函数,不满足题意.
综上,在(0,+)上为增函数的是B.
故选B.
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查导数的综合应用及函数的性质的应用，注意构造新函数，分析函数的单调性.
根据题意，构造新函数g（x）=，分析可得g（x）在R上为减函数，再由奇函数的性质可得，
f（0）=2021，进而可得g（0）==2019，原不等式变形可得＜2019，即g（x）＜g（0）；据此分析可得不等式的解集．
【解答】
解：根据题意，设g（x）=，
其导数g′（x）==，
又由对任意的x∈R，都有f（x）＞f'（x）+2，
则g′（x）=＜0，
则g（x）在R上为减函数；
又由f（x）-2021为奇函数，得f（0）-2021=0，则f（0）=2021，则有g（0）==2019，
f（x）-2019ex＜2⇒＜2019，即g（x）＜g（0）；
又由g（x）在R上为减函数；
则不等式f（x）-2019ex＜2的解集为（0，+∞），
故选A．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查实数取值范围的求法，考查函数性质、构造法、导数性质等基础知识，属于中档题．
由f（x）=22-x-1=0，解得x=2，由g（x）=x2-aex=0，解得x2=aex，设其解为x0，由f（x）=32-x-1与g（x）=x2-aex互为“1度零点函数“，得1＜x0＜3，设h（x）=，则，x∈（1，3），当1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，当2＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】
解：由f（x）=22-x-1=0，解得x=2，
由g（x）=x2-aex=0，解得x2=aex，
设其解为x0，
∵f（x）=22-x-1与g（x）=x2-aex互为“1度零点函数“，
∴|x0-2|＜1，解得1＜x0＜3，
∵，∴a=，
设h（x）=，则，x∈（1，3），
当1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，
当2＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
∴h（x）max=h（2）=，h（1）=，h（3）=，
∴实数a的取值范围为（，]．
故选：B．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值，重点在于将题干中“两个不同的极值点”转化为导函数等于0时，有两个不相等的实数根，然后进行求解，计算难度偏大，属中档题.
根据有两个不同极值点，可得两个不相等的正实数根，根据二次函数的性质即可求解；将不等式转化为，代入方程，化简整理，即可得结果.
【解答】
解：由题可得（），
因为函数有两个不同的极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有解得.
若不等式有解，
所以
因为
.
设，
，故在上单调递增，
故，
所以，所以的取值范围是.
故答案为 ； .
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，两个向量的坐标运算，利用导数研究函数的单调性、最值，用cosθ，sinθ表示λ和μ是解题的难点，属于中档题.
由题意及平面向量的数量积运算可得①；建立平面直角坐标系，设 P（cosθ，sinθ），根据向量的坐标运算用cosθ，sinθ表示λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，再结合导数研究函数λ+μ的单调性、最值，即可求出最小值.
【解答】
解：①由，，
则=，所以是等边三角形，
；
②以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，
正方形ABCD的边长为1，
则A（0，0），E（，0），C（1，1），D（0，1），B（1，0）．
设 P（cosθ，sinθ），0≤θ≤
∴=（1，1），=（cosθ，sinθ），
∵，
则=λ（，-1）+μ（cosθ，sinθ）
=（+μcosθ，-λ+μsinθ ）=（1，1），
∴，∴，
∴λ+μ=
=
=-1+，
由题意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1，
求得（λ+μ）'=＞0，
故λ+μ在[0，]上是增函数，
当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=.
故答案为：，.
15.【答案】-1
（-∞，0]
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属于中档题．
对于第一空：由奇函数的定义可得f（-x）=-f（x），即e-x+aex=-（ex+ae-x），变形分析可得a的值，即可得答案；
对于第二空：可得对恒成立，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f（x）=ex+ae-x，
若f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
即e-x+aex=-（ex+ae-x），变形可得a=-1，经检验，a=-1满足f（x）为奇函数，
∵f(x)是R上的增函数，
∴对恒成立，
即对恒成立，
∴恒成立．
∵，
∴a≤0．
故答案为-1；（-∞，0]．
16.【答案】[2，]
-
【解析】
【分析】
本题考查了分段函数的最值的求法及三角函数的应用，构造新函数，利用导函数求解最值，属于拔高题．
作出f（x）的图象，根据图象数形结合，可得x2的取值范围；x2，x3关于x=对称，利用x2取代x1，x3，构造新函数，利用导函数求解最值.
【解答】
解：由题意，函数f（x）的大致图象如图所示，
由图象知，x2∈[2，]；
由x2，x3关于x=对称，可得x3=5-x2，
x1=2sinπx2，可得x1=sinπx2，
那么x2x3-=x2（5-x2）-sinπx2，
构造新函数g（x）=5x-x2-sinπx，x∈[2，]，
则g′（x）=5-2x-cosπx，x∈[2，]，
令h(x)=g′（x）=5-2x-cosπx，x∈[2，],
h′（x）=-2+πsinπx在区间[2，]单调递增，
可得h′（x）＜h′（）＜0，
∴g′（x）在区间[2，]单调递减，
∵g′（）=0，可得函数g（x）在区间[2，]单调递增，[，]单调递减，
∴当x=时，g（x）取得最大值为-，
故答案为[2，]；-．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导数的运用，运用导数研究函数的单调性和极值，函数图象的运用，考查了综合分析能力，属于中档题.
根据题意可得，构造函数设h(x)==，运用导数求出函数h(x)的单调性和极值，作出函数h(x)的大致图象，数形结合即可求解.
【解答】
解：，则，设，
则，令，所以或，
在上递减，在上递增，在上递减，
在取极小值，，在取极大值，
，作图，时，，，，
由图知在下方图象中只有一个整数点，，
所以实数的取值范围是.
18.【答案】解：f(x)的定义域为（0，+∞）,,
当a≥0时，f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）单调递增；
当a≤-1时，f'(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）单调递减；
当-1＜a＜0时，令f'(x)=0，解得，（舍去），
则当时，f'(x)＞0；
时，f'(x)＜0，
故f(x)在单调递增，在单调递减.
综上可得，当a≥0时，f(x)在（0，+∞）单调递增；
当a≤-1时，f(x)在（0，+∞）单调递减；
当-1＜a＜0时，f(x)在单调递增，在单调递减.
【解析】本题主要考查利用导函数讨论函数的单调性，属于中档题.
先求导，再对a的取值进行讨论，可得函数的单调性.
19.【答案】解：（1）f（x）=x3-3x+1，所以f（0）=1，
又f'（x）=3x2-3，
所以k=f'（0）=-3，
故切线方程为3x+y-1=0．
（2）f'（x）=3x2-3＞0，则x＞1或x＜-1，
f'（x）=3x2-3＜0，则-1＜x＜1．
故函数在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减．
【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性以及导数的应用，是一道常规题．
（1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
20.【答案】解：(1)由已知得，
∴，即．
∵，
∴，
∴.
（2）∵在上是减函数，
∴，在上恒成立，
即在上恒成立，
则．
∵，
∴2m-2≤2，即m≤2，
故实数m的取值范围是．
【解析】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，考查学生灵活运用数学知识的能力，属于中档题.
(1)求出函数的导数,得到关于a的方程,求出a的值,计算,求出b的值,从而求出的解析式即可;
(2)求出函数的导数,问题转化为,,根据函数的单调性求出m的范围即可.
21.【答案】解：（1）由题意得x＞0，f′（x）=1-+，
由函数f（x）在定义域上是增函数得，f′（x）≥0，
即a≥2x-x2=-（x-1）2+1（x＞0）恒成立，
因为-（x-1）2+1≤1（当x=1时，取等号），
所以a的取值范围是[1，+∞）．
（2）g′（x）=-ex（x-2lnx-+1），
由（1）得a=2时，f（x）=x-2lnx-+1，
此时f（x）在定义域上是增函数，又f（1）=0，
所以，当x∈（0，1）时，f（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0．
所以，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0．
所以g （x）的单调递增区间是（0，1），
g （x）的单调递减区间是（1，+∞）．
【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．
（1）求出函数的导数，分离参数，问题转化为a≥2x-x2，从而求出a的范围即可；
（2）求出函数g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
22.【答案】解：(1)若选①,对f(x)求导,得f'(x)=2x+=,
由已知f'(2)=2a,得=2a,解得a=4.
若选②,对f(x)求导,得f'(x)=2x+=,直线x+y+1=0的斜率为-,
由题意得f'(1)=2,得2+2a=2,解得a=0.
若选③,对f(x)求导,得f'(x)=2x+=,直线4x-y=0的斜率为4,
由题意得f'(1)=4,得2+2a=4,解得a=1.
(2)对g(x)=+x2+2aln x求导,得g'(x)=-+2x+.
由函数g(x)在[1,2]上是减函数,可得g'(x)≤0在[1,2]上恒成立,
即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立,即a≤-x2在[1,2]上恒成立.
令h(x)=-x2,x∈[1,2]，
当x∈[1,2]时,h'(x)=--2x<0,
由此知h(x)在[1,2]上为减函数,所以h(x)min=h(2)=-,故a≤-.
于是实数a的取值范围为.
【解析】本题考查导数的几何意义、导数法研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，属于中档题.
(1) 无论选择哪个条件，利用导数的几何意义求解即可；
(2)对g(x)=+x2+2aln x求导,得g'(x)=-+2x+≤0在[1,2]上恒成立,再分离变量，转化为函数的最值问题，求得函数的最小值，即可得到a的取值范围.
23.【答案】解：（1）a=0时，f′（x）=2x-=（2x2-1），∴f′（1）=1,
∴f（1）=1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-x=0，即x-y=0；
（2）f′（x）=2x+a-=（2x2+ax-1），记g（x）=2x2+ax-1，
∵函数f（x）在区间[1，2]上单调递减,
∴2x2+ax-1≤0在区间[1，2]上恒成立,
∴，∴，
∴a．
【解析】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确求导是关键．
（1）求导函数，确定切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）求导数f′（x）=2x+a-=（2x2+ax-1），记g（x）=2x2+ax-1，利用函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，可得2x2+ax-1≤0在区间[1，2]上恒成立，从而可建立不等式组，即可求a的取值范围．
24.【答案】解:（Ⅰ）函数的定义域为 ,
又，
依题有，解得;
（Ⅱ）当时，，
令，解得，（舍）,
当时，，单调递增，
时，，单调递减；
所以函数的单调增区间为，单调递减区间为．
【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属基础题.
（Ⅰ）由f(x)在x＝1处的切线与x轴平行即，即可求解;
(Ⅱ) 当时求出导函数，判断导函数的正负，即可确定f（x）的单调区间.
25.【答案】解：(1)f(x)=-++9x-2,f'(x)=-+6x+9,
f'(0)=9，又f(0)=-2,
函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y-(-2)=9x,即9x-y-2=0.
(2)由(1)得f'(x)=-+6x+9,
令f'(x)<0,解得x<-1或x>3,
f(x)的单调递减区间为(-,-1),(3,+).
【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调性等基础知识．
（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，-2），由点斜式即可得所求切线的方程；
（2）利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间．
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